10 класс · Алгебра ◷ 55–65 минут ◇ База Нужно знать: единичная окружность, четверти и знаки, квадратный корень
Датчик наклона сообщает: sin α = 0,6 \sin\alpha=0{,}6 sin α = 0 , 6
Слово «почти» тут ключевое: чисел получится два, и выбрать одно поможет четверть.
◎ После урока ты сможешьвыводить основное тригонометрическое тождество из уравнения окружности находить косинус по синусу и тангенс по ним обоим с учётом четверти применять формулы приведения, объясняя выбор функции и знака упрощать и доказывать тригонометрические тождества Известно, что sin α = 0,6 \sin\alpha=0{,}6 sin α = 0 , 6 cos α \cos\alpha cos α
А если добавить условие «α \alpha α
Поставь угол во вторую четверть и посмотри на пару чисел под чертежом. Потом переведи ту же точку в третью и четвёртую четверти: модули координат будут повторяться, а знаки — меняться.
Точка поворота Приведение к обороту
Точка поворота на единичной окружности Единичная окружность с центром в начале координат. Угол поворота 120 градусов приведён к 120 градусам: полных оборотов нет. Точка поворота имеет координаты x = −0,5 и y = 0,866, она лежит в 2 четверти. Абсцисса точки равна косинусу, ордината — синусу. x = cos y = sin 1 −1 1 −1 0 0° 90° 180° 270° 120° ? Угол поворота равен 120°. В какой четверти окажется точка? Сначала отбрось полные обороты, потом сравни остаток с 90°, 180° и 270°. Если точка попала на ось, введи 0.
↺ Вернуть пример Модуль координаты определяется опорным острым углом, знак — четвертью. Это ровно то, чего не хватало прогнозу.
Точка P α ( cos α ; sin α ) P_\alpha(\cos\alpha;\sin\alpha) P α ( cos α ; sin α ) x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1
∴ Три рабочих тождестваДля всех допустимых α \alpha α
sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = sin α cos α ( cos α ≠ 0 ) , ctg α = cos α sin α ( sin α ≠ 0 ) . \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\;(\cos\alpha\ne 0), \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\;(\sin\alpha\ne 0). sin 2 α + cos 2 α = 1 , tg α = c o s α s i n α ( cos α = 0 ) , ctg α = s i n α c o s α ( sin α = 0 ) .
Из них выводятся ещё два, удобных при работе с тангенсом:
1 + tg 2 α = 1 cos 2 α , 1 + ctg 2 α = 1 sin 2 α . 1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}, \qquad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}. 1 + tg 2 α = c o s 2 α 1 , 1 + ctg 2 α = s i n 2 α 1 .
Запись sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α ( sin α ) 2 (\sin\alpha)^2 ( sin α ) 2 sin ( α 2 ) \sin(\alpha^2) sin ( α 2 )
Первую производную формулу легко получить самому: раздели основное тождество на cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α
sin 2 α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α = 1 cos 2 α ⟹ tg 2 α + 1 = 1 cos 2 α . \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha} \;\Longrightarrow\; \operatorname{tg}^2\alpha+1=\frac{1}{\cos^2\alpha}. c o s 2 α s i n 2 α + c o s 2 α c o s 2 α = c o s 2 α 1 ⟹ tg 2 α + 1 = c o s 2 α 1 .
Синус известен, четверть известна Разбираем вместе Пусть sin α = 3 5 \sin\alpha=\dfrac{3}{5} sin α = 5 3 α \alpha α cos α \cos\alpha cos α tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
Из основного тождества:
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 9 25 = 16 25 . \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}. cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 25 9 = 25 16 .
Отсюда cos α = ± 4 5 \cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5} cos α = ± 5 4
cos α = − 4 5 , tg α = 3 / 5 − 4 / 5 = − 3 4 . \cos\alpha=-\frac{4}{5}, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}. cos α = − 5 4 , tg α = − 4/5 3/5 = − 4 3 .
Проверка знаком: во II четверти тангенс обязан быть отрицательным. Сходится.
Известен тангенс Разбираем вместе Пусть tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4} tg α = 4 3 α \alpha α
1 cos 2 α = 1 + tg 2 α = 1 + 9 16 = 25 16 ⟹ cos 2 α = 16 25 . \frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\operatorname{tg}^2\alpha=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16} \;\Longrightarrow\; \cos^2\alpha=\frac{16}{25}. c o s 2 α 1 = 1 + tg 2 α = 1 + 16 9 = 16 25 ⟹ cos 2 α = 25 16 .
В III четверти косинус отрицателен: cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\dfrac{4}{5} cos α = − 5 4
sin α = tg α ⋅ cos α = 3 4 ⋅ ( − 4 5 ) = − 3 5 . \sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}. sin α = tg α ⋅ cos α = 4 3 ⋅ ( − 5 4 ) = − 5 3 .
Проверка: ( − 3 5 ) 2 + ( − 4 5 ) 2 = 9 + 16 25 = 1 \left(-\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{9+16}{25}=1 ( − 5 3 ) 2 + ( − 5 4 ) 2 = 25 9 + 16 = 1
Углы π 2 ± α \dfrac{\pi}{2}\pm\alpha 2 π ± α π ± α \pi\pm\alpha π ± α 2 π − α 2\pi-\alpha 2 π − α α \alpha α
∴ Правило приведения
Если угол записан через π \pi π 2 π 2\pi 2 π не меняется .
Если угол записан через π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π 3 π 2 \dfrac{3\pi}{2} 2 3 π
Знак перед результатом — это знак исходного выражения в той четверти, куда попадает угол, если считать α \alpha α
Аргумент − α -\alpha − α π 2 − α \dfrac{\pi}{2}-\alpha 2 π − α π 2 + α \dfrac{\pi}{2}+\alpha 2 π + α π − α \pi-\alpha π − α π + α \pi+\alpha π + α 2 π − α 2\pi-\alpha 2 π − α синус − sin α -\sin\alpha − sin α cos α \cos\alpha cos α cos α \cos\alpha cos α sin α \sin\alpha sin α − sin α -\sin\alpha − sin α − sin α -\sin\alpha − sin α косинус cos α \cos\alpha cos α sin α \sin\alpha sin α − sin α -\sin\alpha − sin α − cos α -\cos\alpha − cos α − cos α -\cos\alpha − cos α cos α \cos\alpha cos α
Откуда берётся знак Разбираем вместе Упростим cos ( π 2 + α ) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) cos ( 2 π + α ) α \alpha α
Аргумент записан через π 2 \dfrac{\pi}{2} 2 π
Угол π 2 + α \dfrac{\pi}{2}+\alpha 2 π + α α \alpha α
cos ( π 2 + α ) = − sin α . \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha. cos ( 2 π + α ) = − sin α .
Проверка числами: α = 30 ° \alpha=30° α = 30° cos 120 ° = − 1 2 \cos 120°=-\dfrac{1}{2} cos 120° = − 2 1 − sin 30 ° = − 1 2 -\sin 30°=-\dfrac{1}{2} − sin 30° = − 2 1
Главные приёмы всего три: заменить 1 1 1 sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α cos α \cos\alpha cos α
Три упрощения подряд Разбираем вместе 1. 1 − cos 2 α sin α \dfrac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha} sin α 1 − cos 2 α sin α ≠ 0 \sin\alpha\ne 0 sin α = 0 sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α sin α \sin\alpha sin α
2. sin 2 α + cos 2 α + tg 2 α ⋅ cos 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α + tg 2 α ⋅ cos 2 α sin 2 α cos 2 α ⋅ cos 2 α = sin 2 α \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\cos^2\alpha=\sin^2\alpha cos 2 α sin 2 α ⋅ cos 2 α = sin 2 α 1 + sin 2 α 1+\sin^2\alpha 1 + sin 2 α
3. Пусть tg α = 2 \operatorname{tg}\alpha=2 tg α = 2 sin α + cos α sin α − cos α \dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha} sin α − cos α sin α + cos α cos α ≠ 0 \cos\alpha\ne 0 cos α = 0
tg α + 1 tg α − 1 = 2 + 1 2 − 1 = 3. \frac{\operatorname{tg}\alpha+1}{\operatorname{tg}\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3. tg α − 1 tg α + 1 = 2 − 1 2 + 1 = 3.
Заметь: конкретные sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α
! Где обычно теряют задачуПишут cos α = 1 − sin 2 α \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} cos α = 1 − sin 2 α Квадратный корень неотрицателен, а косинус — не всегда. Правильный ход: сначала cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α
Читают sin 2 α \sin^2\alpha sin 2 α sin ( α 2 ) \sin(\alpha^2) sin ( α 2 ) Это разные вещи: sin 2 30 ° = 0,25 \sin^2 30°=0{,}25 sin 2 30° = 0 , 25 sin ( 30 2 ) ° = sin 900 ° = sin 180 ° = 0 \sin(30^2)°=\sin 900°=\sin 180°=0 sin ( 3 0 2 ) ° = sin 900° = sin 180° = 0 900 = 360 ⋅ 2 + 180 900=360\cdot 2+180 900 = 360 ⋅ 2 + 180
Делят на cos α \cos\alpha cos α Приём законный, только когда cos α ≠ 0 \cos\alpha\ne 0 cos α = 0 tg α \operatorname{tg}\alpha tg α
Ставят знак по четверти, в которой лежит α \alpha α В правиле приведения знак определяет четверть всего аргумента, например π + α \pi+\alpha π + α α \alpha α
Проверка понимания
Известно, что sin α = 0,8 и α — угол II четверти. Чему равен cos α?
sin α = 0,6 \sin\alpha=0{,}6 sin α = 0 , 6 α \alpha α cos α \cos\alpha cos α tg α \operatorname{tg}\alpha tg α cos α = − 12 13 \cos\alpha=-\dfrac{12}{13} cos α = − 13 12 α \alpha α sin α \sin\alpha sin α tg α = 3 4 \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{3}{4} tg α = 4 3 α \alpha α sin α \sin\alpha sin α cos α \cos\alpha cos α Упрости выражение sin 2 α + cos 2 α + tg 2 α ⋅ cos 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α + tg 2 α ⋅ cos 2 α
Упрости выражение 1 − sin 2 α cos α \dfrac{1-\sin^2\alpha}{\cos\alpha} cos α 1 − sin 2 α cos α ≠ 0 \cos\alpha\ne 0 cos α = 0
Вычисли sin ( − π 3 ) \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) sin ( − 3 π )
Вычисли cos ( π − π 6 ) \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right) cos ( π − 6 π )
Упрости выражение sin ( π 2 − α ) + cos ( π − α ) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(\pi-\alpha) sin ( 2 π − α ) + cos ( π − α )
Известно, что tg α = 2 \operatorname{tg}\alpha=2 tg α = 2 sin α + cos α sin α − cos α \dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha} sin α − cos α sin α + cos α
Докажи тождество sin 4 α − cos 4 α = sin 2 α − cos 2 α \sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha sin 4 α − cos 4 α = sin 2 α − cos 2 α
Ответы и пояснения
cos 2 α = 1 − 0,36 = 0,64 \cos^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64 cos 2 α = 1 − 0 , 36 = 0 , 64 cos α = 0,8 \cos\alpha=0{,}8 cos α = 0 , 8 tg α = 0,6 0,8 = 0,75 \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75 tg α = 0 , 8 0 , 6 = 0 , 75 sin 2 α = 1 − 144 169 = 25 169 \sin^2\alpha=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169} sin 2 α = 1 − 169 144 = 169 25 sin α = 5 13 \sin\alpha=\dfrac{5}{13} sin α = 13 5 1 cos 2 α = 1 + 9 16 = 25 16 \dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16} cos 2 α 1 = 1 + 16 9 = 16 25 cos 2 α = 16 25 \cos^2\alpha=\dfrac{16}{25} cos 2 α = 25 16 cos α = − 4 5 \cos\alpha=-\dfrac{4}{5} cos α = − 5 4 sin α = tg α ⋅ cos α = − 3 5 \sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha=-\dfrac{3}{5} sin α = tg α ⋅ cos α = − 5 3 tg 2 α ⋅ cos 2 α = sin 2 α \operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=\sin^2\alpha tg 2 α ⋅ cos 2 α = sin 2 α 1 + sin 2 α 1+\sin^2\alpha 1 + sin 2 α Числитель равен cos 2 α \cos^2\alpha cos 2 α cos α \cos\alpha cos α
Синус нечётен: sin ( − π 3 ) = − sin π 3 = − 3 2 \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} sin ( − 3 π ) = − sin 3 π = − 2 3
π − π 6 = 5 π 6 \pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6} π − 6 π = 6 5 π 150 ° 150° 150° cos ( π − π 6 ) = − cos π 6 = − 3 2 \cos\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} cos ( π − 6 π ) = − cos 6 π = − 2 3 sin ( π 2 − α ) = cos α \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha sin ( 2 π − α ) = cos α cos ( π − α ) = − cos α \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha cos ( π − α ) = − cos α Разделим числитель и знаменатель на cos α ≠ 0 \cos\alpha\ne 0 cos α = 0 tg α + 1 tg α − 1 = 3 1 = 3 \dfrac{\operatorname{tg}\alpha+1}{\operatorname{tg}\alpha-1}=\dfrac{3}{1}=3 tg α − 1 tg α + 1 = 1 3 = 3
Разложим разность квадратов: sin 4 α − cos 4 α = ( sin 2 α − cos 2 α ) ( sin 2 α + cos 2 α ) \sin^4\alpha-\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) sin 4 α − cos 4 α = ( sin 2 α − cos 2 α ) ( sin 2 α + cos 2 α )
Основное тождество sin 2 α + cos 2 α = 1 \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 sin 2 α + cos 2 α = 1
По одной функции вторая находится с точностью до знака; знак выбирает четверть.
Формулы приведения не заучивают по одной: название функции меняется только у «вертикальных» аргументов, а знак берётся по четверти всего аргумента.
Деление числителя и знаменателя на cos α \cos\alpha cos α
Пока мы связывали функции одного угла. Дальше научимся считать функции суммы двух углов — и получим доступ к sin 75 ° \sin 75° sin 75° cos 15 ° \cos 15° cos 15°
← Графики и периодичность · Дальше: формулы сложения →
Закончил урок? Отметь прогресс — регистрация не нужна.
Отметить пройденным 