5.5 Объёмы многогранников

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: призма и пирамида, площадь правильного многоугольника, объём коробки из 6 класса

Смету на павильон мы уже посчитали: профиль на каркас и ткань на обшивку. Но заказчик задаёт следующий вопрос — сколько внутри места. Сколько кубометров воздуха придётся отапливать, сколько бетона уйдёт на фундамент, сколько зерна войдёт в бункер такой же формы.

Это уже не поверхность. Это объём — и считать его надо другими формулами.

В 6 классе ты складывал единичные кубики в коробку и получал $V=abc$. Сейчас мы разберёмся, откуда берутся формулы для любой призмы и любой пирамиды — и почему у пирамиды в формуле стоит именно $\tfrac13$, а не $\tfrac12$ и не $\tfrac14$.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять, что такое объём, и пользоваться его аддитивностью
• вычислять объём прямоугольного параллелепипеда и любой призмы по формуле V = S·h
• формулировать принцип Кавальери и объяснять, почему наклонная призма равновелика прямой
• выводить множитель ⅓ у пирамиды разрезанием куба на три равные пирамиды
• находить объём призмы и пирамиды и восстанавливать по объёму недостающий размер

Прогноз до вычислений

Ответь письменно, до всяких формул.

1. У призмы и у пирамиды одно и то же основание и одна и та же высота. Во сколько раз призма вместительнее?
2. Стопку из ста листов бумаги аккуратно сдвинули вбок «лесенкой». Изменился ли объём стопки?
3. Все линейные размеры пирамиды увеличили в $2$ раза. Во сколько раз вырос объём?

Запиши три числа. К первому мы вернёмся с доказательством, второе окажется ключом ко всей теме, а третье проверишь сам в практике.

Управляемый эксперимент

Переключись на вкладку «Объём». Под чертежом лаборатория показывает разбор: площадь основания, высоту и объём, а рядом — объём призмы с тем же основанием и той же высотой.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

м³

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a3 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Высота h4 м

−+

От 1 до 40 м; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Наклон тела

Прямое телоНаклонСильный наклон

Разбор объёма, м³

Площадь основания Sосн	23,38 м²
Высота h	4 м
Сдвиг верха	0 м
Призма Sосн·h	93,53
Объём V	93,53

▦

V = 93,53 м³.S_осн = 23,38 м², h = 4 м, V = S_осн·h. Тело прямое.

↺ Вернуть пример

Что стоит попробовать:

• поставь призму и пирамиду с одинаковыми стороной и высотой и сравни два числа — отношение не будет зависеть ни от основания, ни от размеров;
• нажми «Наклон» и «Сильный наклон»: тело перекашивается, а объём остаётся прежним;
• увеличь только высоту вдвое — объём тоже удвоится; увеличь только сторону основания вдвое — объём вырастет вчетверо.

Последний пункт стоит проверить отдельно: высота и сторона основания входят в формулу по-разному.

Что такое объём

Площадь мы вводили как меру плоской фигуры. Объём — точно такая же мера, только для тела.

∴ Объём: три свойства

Каждому телу сопоставляется положительное число — его объём, причём:

1. равные тела имеют равные объёмы (тело можно переносить и поворачивать, объём от этого не меняется);
2. аддитивность: если тело разрезано на части, объём тела равен сумме объёмов частей;
3. единица: объём куба с ребром $1$ равен $1$.

Больше ничего не постулируется. Из этих трёх свойств выводится объём параллелепипеда и объём призмы; для пирамиды понадобится ещё один инструмент — принцип Кавальери, и мы честно скажем, в каком месте он нам нужен.

Тела с равными объёмами называют равновеликими. Это не то же самое, что равные тела: наклонная призма и прямая призма не совместятся никаким движением, а объёмы у них, как мы увидим, совпадают. Равные тела всегда равновелики, обратное — неверно.

✦ Откуда берётся V = abc

Прямоугольный параллелепипед с целыми измерениями $a$, $b$, $c$ разрезается на единичные кубики: $ab$ кубиков в слое и $c$ слоёв, всего $abc$. По второму и третьему свойствам объём равен $abc$.

Если измерения дробные, возьмём кубик поменьше — с ребром $\tfrac1n$; его объём равен $\tfrac{1}{n^3}$, потому что из $n^3$ таких кубиков складывается единичный. Пересчёт даёт ту же формулу. Для произвольных (в том числе иррациональных) измерений формула получается предельным переходом: параллелепипед зажимается между двумя параллелепипедами с рациональными измерениями, а их объёмы сколь угодно близки.

$V_{\text{параллелепипеда}}=abc.$

Для куба с ребром $a$ отсюда $V=a^3$ — поэтому объём и называют величиной третьей размерности.

Объём призмы

Дальше работает разрезание.

Прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, — это ровно половина прямоугольного параллелепипеда: разрежь коробку плоскостью через два противоположных боковых ребра, и получатся две равные призмы. Значит, её объём равен $\tfrac12ab\cdot h=S_{\text{осн}}h$.

Любой треугольник высотой делится на два прямоугольных (а если высота падает вне треугольника, он получается как их разность — рассуждение то же), а любой многоугольник диагоналями делится на треугольники. Разрежем призму на треугольные призмы той же высоты: их основания в сумме дают $S_{\text{осн}}$, а объёмы складываются.

∴ Объём призмы

$V=S_{\text{осн}}\cdot h,$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота, то есть расстояние между плоскостями оснований.

У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром. У наклонной — нет: боковое ребро длиннее, и в формулу оно не подставляется.

Принцип Кавальери

Осталось разобраться с наклонной призмой. Вспомни вторую задачу из прогноза — стопку бумаги.

Сдвинутая «лесенкой» стопка состоит из тех же самых листов, что и ровная. Ни один лист не исчез и не изменился, значит, места они занимают столько же. А теперь заметь, чем описывается эта ситуация: на каждой высоте сечение у обеих стопок одно и то же.

∴ Принцип Кавальери

Пусть два тела заключены между двумя параллельными плоскостями. Если любая плоскость, параллельная им, высекает из обоих тел фигуры равной площади, то тела равновелики.

Принцип не требует, чтобы сечения были одинаковыми по форме. Совпадать должна только площадь, зато на каждом уровне без исключения.

Применим его к призме. Секущая плоскость, параллельная основанию, пересекает призму — прямую или наклонную — по многоугольнику, равному основанию: боковые рёбра параллельны, поэтому сечение получается из основания параллельным переносом. Площадь такого сечения равна $S_{\text{осн}}$ на любом уровне.

Значит, у наклонной призмы и у прямой призмы с тем же основанием и той же высотой сечения равновелики на каждом уровне, и по принципу Кавальери

$V_{\text{наклонной}}=V_{\text{прямой}}=S_{\text{осн}}\cdot h.$

Вернись в лабораторию и нажми «Сильный наклон»: площадь основания и высота в таблице не меняются, объём тоже.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

дм³

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a5 дм

−+

От 1 до 40 дм; можно вводить десятичную дробь.

Высота h6 дм

−+

От 1 до 40 дм; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Наклон тела

Прямое телоНаклонСильный наклон

Разбор объёма, дм³

Площадь основания Sосн	25 дм²
Высота h	6 дм
Сдвиг верха	0 дм
Призма Sосн·h	150
Объём V	150

▦

V = 150 дм³.S_осн = 25 дм², h = 6 дм, V = S_осн·h. Тело прямое.

↺ Вернуть пример

Откуда у пирамиды одна треть

Множитель $\tfrac13$ — самое неочевидное место темы, и запоминать его без объяснения не стоит. Разберём его в два шага.

Шаг 1. Куб распадается на три равные пирамиды

Возьмём куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ и вершину $A$. Три грани куба содержат $A$, и ровно три — не содержат:

$BCC_1B_1, \qquad CDD_1C_1, \qquad A_1B_1C_1D_1.$

Соединим $A$ со всеми вершинами каждой из этих трёх граней. Получатся три пирамиды с общей вершиной $A$ и квадратными основаниями. Вместе они заполняют весь куб без наложений: каждый луч, выходящий из $A$ внутрь куба, упирается ровно в одну из этих трёх граней.

Эти три пирамиды равны. Поворот вокруг диагонали $AC_1$ на $120°$ переводит куб в себя, оставляет на месте точки $A$ и $C_1$ и циклически переставляет три грани при вершине $C_1$ — то есть как раз наши три основания. Значит, одна пирамида переходит в другую, и объёмы у них одинаковые.

По аддитивности три равных объёма дают $a^3$, поэтому объём каждой равен $\tfrac13a^3$.

Теперь посмотрим на любую из них — скажем, на пирамиду с вершиной $A$ и основанием $BCC_1B_1$. Основание — квадрат площади $a^2$. Высота — перпендикуляр из $A$ к плоскости $BCC_1B_1$; это ребро $AB$, потому что $AB\perp BC$ и $AB\perp BB_1$. Значит, высота равна $a$, и

$\frac13a^3=\frac13\cdot a^2\cdot a=\frac13S_{\text{осн}}h.$

Формула получена — но пока только для этих трёх особых пирамид.

Шаг 2. Кавальери переносит результат на все пирамиды

✦ Сечение пирамиды подобно основанию

Проведём в пирамиде с высотой $h$ плоскость, параллельную основанию, на высоте $\ell$. Сечение подобно основанию с коэффициентом $\dfrac{h-\ell}{h}$ — это видно из гомотетии с центром в вершине. Площадь при подобии умножается на квадрат коэффициента:

$S(\ell)=S_{\text{осн}}\cdot\left(\frac{h-\ell}{h}\right)^2.$

В эту формулу входят только $S_{\text{осн}}$, $h$ и $\ell$. Ни форма основания, ни то, стоит ли вершина над центром, роли не играют.

Пусть даны две пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, поставленные на одну плоскость. На каждом уровне $\ell$ площади их сечений равны — по формуле выше. По принципу Кавальери пирамиды равновелики.

Одну из них мы уже посчитали в шаге 1. Значит, посчитаны все.

∴ Объём пирамиды

$V=\frac13S_{\text{осн}}\cdot h.$

Пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и той же высотой; между ними остаются две трети.

Как и у призмы, $h$ — это высота тела: перпендикуляр из вершины к плоскости основания. Ни апофема, ни боковое ребро в эту формулу не подставляются. Наклонная пирамида (вершина не над центром основания) считается той же формулой: от сдвига вершины меняется положение сечения, но не его площадь.

✦ Та же треть в треугольной призме

Есть и второй маршрут к $\tfrac13$. Треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ разрежем на три пирамиды: $A_1ABC$, $A_1BCB_1$ и $A_1B_1C_1C$.

Первая и вторая — пирамиды с общей вершиной $C$ и основаниями $ABA_1$ и $A_1BB_1$; это две половины параллелограмма $ABB_1A_1$, они лежат в одной плоскости и равновелики, значит, равны и объёмы пирамид.

Вторая и третья — пирамиды с общей вершиной $A_1$ и основаниями $BCB_1$ и $CB_1C_1$: две половины параллелограмма $BCC_1B_1$. Снова равные объёмы.

Три равновеликие части призмы — снова $V_{\text{пир}}=\tfrac13V_{\text{пр}}$. Обрати внимание: равновеликие, но не равные — совместить их движением, вообще говоря, нельзя.

Куб на три пирамиды: проверка числамиРазбираем вместе

Ребро куба $a=6$, значит $V_{\text{куба}}=6^3=216$.

Каждая из трёх пирамид с вершиной $A$ имеет квадратное основание площади $36$ и высоту $6$:

$V=\frac13\cdot36\cdot6=72.$

Проверка аддитивностью: $3\cdot72=216$. Сходится.

Заметь, что вершина такой пирамиды стоит над углом основания, а не над его центром. Формула это допускает: в неё входит только площадь основания и высота.

Сколько воздуха в павильонеРазбираем вместе

Корпус — правильная шестиугольная призма со стороной основания $3$ м и высотой $4$ м. Крыша — правильная шестиугольная пирамида на верхнем основании корпуса, высота крыши $2$ м.

Площадь основания берём из формулы для правильного шестиугольника:

$S_{\text{осн}}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot9\sqrt{3}}{2}=13{,}5\sqrt{3}\approx23{,}38\text{ м}^2.$

Корпус:

$V_1=13{,}5\sqrt{3}\cdot4=54\sqrt{3}\approx93{,}53\text{ м}^3.$

Крыша:

$V_2=\frac13\cdot13{,}5\sqrt{3}\cdot2=9\sqrt{3}\approx15{,}59\text{ м}^3.$

По аддитивности весь павильон:

$V=54\sqrt{3}+9\sqrt{3}=63\sqrt{3}\approx109{,}12\text{ м}^3.$

Точный ответ — $63\sqrt{3}\text{ м}^3$; в смету пойдёт округлённый, с указанной точностью.

Обрати внимание на пропорцию: крыша ровно вдвое ниже корпуса, а места в ней в шесть раз меньше. Половина за счёт высоты и ещё треть за счёт формы: $\tfrac12\cdot\tfrac13=\tfrac16$.

Наклонная призмаРазбираем вместе

В основании прямой и наклонной призм лежит один и тот же квадрат со стороной $4$. У наклонной призмы боковое ребро равно $10$ и наклонено к плоскости основания под углом $30°$.

Высота — это расстояние между плоскостями оснований, а не боковое ребро:

$h=10\sin30°=5.$

$V=S_{\text{осн}}h=16\cdot5=80.$

Прямая призма с тем же основанием и высотой $5$ имеет тот же объём $80$ — как и обещал принцип Кавальери. А вот если подставить в формулу боковое ребро $10$, получится $160$ — ответ вдвое больше правильного.

Возвращаемся к прогнозу

Первый вопрос. Призма вместительнее пирамиды ровно в $3$ раза, при любом основании и любой высоте: $S_{\text{осн}}h$ против $\tfrac13S_{\text{осн}}h$.

Второй вопрос. Объём сдвинутой стопки не изменился — это и есть принцип Кавальери, а заодно причина, по которой наклонная призма считается той же формулой, что и прямая.

Третий вопрос. При увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площадь основания растёт в $k^2$ раз, высота — в $k$ раз, значит объём — в $k^3$ раз. Для $k=2$ это $8$ раз, а не $2$.

Проверка понимания

У призмы и пирамиды общее основание и одинаковая высота. Объём призмы равен 45 см³. Чему равен объём пирамиды?

• А. 135 см³
• Б. 15 см³
• В. 22,5 см³

Проверка понимания

Наклонная призма и прямая призма имеют равные основания и равные высоты. Что можно сказать об их объёмах?

• А. У наклонной объём больше: её боковое ребро длиннее
• Б. У наклонной объём меньше: она как будто «сплющена»
• В. Объёмы равны

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Теряют множитель $\tfrac13$. Быстрая проверка правдоподобия: пирамида целиком помещается внутрь призмы с тем же основанием и той же высотой, поэтому её объём обязан быть заметно меньше, а не равен.

Подставляют боковое ребро или апофему вместо высоты. В формулах объёма $h$ — это всегда расстояние: между плоскостями оснований у призмы и от вершины до плоскости основания у пирамиды. Апофема нужна была для площади поверхности, в объёме её нет.

Путают степени при переводе единиц. $1\text{ м}=10$ дм $=100$ см, поэтому $1\text{ м}^3=1000\text{ дм}^3=1\,000\,000\text{ см}^3$. Коэффициент перевода длины возводится в куб. Кстати, $1\text{ дм}^3$ — это ровно один литр.

Считают, что при удвоении размеров объём удваивается. Объём — величина третьей размерности: $k$ раз по длине даёт $k^2$ по площади и $k^3$ по объёму.

Теперь проверь себя в режиме задачи: лаборатория спрячет ответ, пока ты не нажмёшь «Проверить».

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

см³

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a6 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Высота h9 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Наклон тела

Прямое телоНаклонСильный наклон

Объём, см³Проверить

?

Вычисли объём тела.Найди площадь основания, умножь на высоту и возьми треть. Ответ округли до сотых.

↺ Вернуть пример

Практика

1. Найди объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями $3$, $4$ и $5$.
2. Правильная четырёхугольная призма: сторона основания $5$, высота $8$. Найди объём.
3. Прямая призма, в основании прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$, высота призмы $10$. Найди объём.
4. Правильная шестиугольная призма: сторона основания $3$, высота $10$. Найди объём.
5. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $6$, высота $4$. Найди объём.
6. Правильная треугольная пирамида: сторона основания $6$, высота $5$. Найди объём.
7. Объём пирамиды равен $60$, площадь основания равна $15$. Найди высоту.
8. Объём призмы равен $96$, высота равна $8$. Найди площадь основания.
9. Наклонная призма: в основании квадрат со стороной $4$, боковое ребро равно $10$ и наклонено к плоскости основания под углом $60°$. Найди объём.
10. У призмы и вписанной в неё пирамиды общее основание и общая высота. Объём призмы равен $45$. Найди объём пирамиды и объём той части призмы, которая осталась снаружи пирамиды.
11. Куб с ребром $6$ разрезали на три равные пирамиды с общей вершиной в одной из вершин куба. Найди объём каждой двумя способами.
12. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда $5\text{ м}\times3\text{ м}\times1{,}6\text{ м}$. Сколько литров воды в него войдёт?
13. Все линейные размеры пирамиды увеличили в $3$ раза. Во сколько раз изменились площадь основания и объём?

Ответы и пояснения

1. $V=3\cdot4\cdot5=60$.
2. $S_{\text{осн}}=25$, $V=25\cdot8=200$.
3. $S_{\text{осн}}=\tfrac12\cdot6\cdot8=24$, $V=24\cdot10=240$.
4. $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\cdot3^2\sqrt{3}}{2}=13{,}5\sqrt{3}$, $V=135\sqrt{3}\approx233{,}83$.
5. $S_{\text{осн}}=36$, $V=\tfrac13\cdot36\cdot4=48$.
6. $S_{\text{осн}}=\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$, $V=\tfrac13\cdot9\sqrt{3}\cdot5=15\sqrt{3}\approx25{,}98$.
7. $h=\dfrac{3V}{S_{\text{осн}}}=\dfrac{180}{15}=12$.
8. $S_{\text{осн}}=\dfrac{V}{h}=\dfrac{96}{8}=12$.
9. $h=10\sin60°=5\sqrt{3}$, $S_{\text{осн}}=16$, $V=16\cdot5\sqrt{3}=80\sqrt{3}\approx138{,}56$. Ответ $160$ получается, если вместо высоты подставить боковое ребро.
10. Пирамида: $\tfrac13\cdot45=15$. Снаружи остаётся $45-15=30$, то есть две трети.
11. По аддитивности: $\dfrac{6^3}{3}=\dfrac{216}{3}=72$. По формуле: основание — грань куба площади $36$, высота — ребро $6$, значит $\tfrac13\cdot36\cdot6=72$. Ответы совпали.
12. $V=5\cdot3\cdot1{,}6=24\text{ м}^3$. Так как $1\text{ м}^3=1000$ л, войдёт $24\,000$ л.
13. Площадь основания — в $9$ раз, объём — в $27$ раз.

Итог

• Объём задаётся тремя свойствами: равные тела равновелики, объём складывается при разрезании, объём единичного куба равен $1$.
• $V_{\text{параллелепипеда}}=abc$; отсюда разрезанием получается $V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}h$.
• Принцип Кавальери требует равенства площадей сечений на каждом уровне — и ничего больше. Поэтому наклонная призма равновелика прямой.
• Куб разрезается на три равные пирамиды с общей вершиной; отсюда $V_{\text{пирамиды}}=\tfrac13S_{\text{осн}}h$, а Кавальери переносит формулу на все пирамиды.
• В формулах объёма $h$ — это расстояние, а не боковое ребро и не апофема.
• При увеличении всех размеров в $k$ раз объём растёт в $k^3$ раз.

Теперь у главы есть полный набор: счёт элементов, проверка Эйлером, сечение, поверхность и объём. В практикуме задачи не подписаны заранее — придётся самому решать, поверхность здесь нужна или объём.

Дальше в курсе появятся тела вращения. Цилиндр — предел призмы, конус — предел пирамиды, поэтому формулы $S_{\text{осн}}h$ и $\tfrac13S_{\text{осн}}h$ переживут этот переход без изменений, а принцип Кавальери из этого урока даст объём шара.

← Площадь поверхности · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным