4.4. Вычитание чисел со знаком

6 класс · Числа со знаком◷ 40–45 минут◇ БазаНужно знать: сложение чисел со знаком и противоположные числа

На рассвете было $-7\,°\text{C}$, в полдень — $-2\,°\text{C}$. Чтобы найти изменение, спросим: какое направленное движение переводит $-7$ в $-2$? На прямой видно пять единиц вправо, значит температура изменилась на $+5\,°\text{C}$.

Вычитание будет отвечать именно на вопрос о недостающем изменении.

◎ После урока ты сможешь

• понимать разность как направленный путь от вычитаемого к уменьшаемому
• заменять вычитание сложением противоположного числа
• различать направленную разность и неотрицательное расстояние

Разверни второе движение

Если прибавить $5$, мы пройдём пять единиц вправо. Вычесть $5$ означает отменить это движение — пройти пять единиц влево. Если прибавить $-5$, движение идёт влево; вычитание $-5$ должно отменить его движением вправо.

Проверь эту симметрию в лаборатории. Сначала предсказывай направление, затем включай переписывание действия.

Лаборатория действий со знаками

Вычитание: движение и нулевые пары

Одна и та же запись видна как путь по прямой и как взаимное уничтожение противоположных величин.

a − b

Движение по прямойНулевые пары

Уменьшаемое −2

−+

От −12 до 12, шаг 1

Вычитаемое −5

−+

От −12 до 12, шаг 1

−2 − (−5)=−2 + (5)=3

1. 1

   Меняем действие. Вычесть −5 — значит прибавить противоположное число 5.

2. 2

   Определяем направление. Из −2 нужно двигаться вправо на 5.

3. 3

   Читаем конечную координату. Получаем 3.

−

−2 − (−5) = 3Из −2 нужно двигаться вправо на 5. Знак ответа подтверждает конечная точка, а не правило, выученное отдельно от смысла.

↺ Вернуть пример

Из точки $-2$ при вычитании $-5$ движемся на пять вправо и приходим в $3$. Мы отменили движение на $-5$, то есть выполнили движение на противоположное число $5$.

∴ Вычитание как сложение противоположного

Вычесть число $b$ — значит прибавить противоположное ему число $-b$:

$a-b=a+(-b).$

После замены применяй уже знакомую модель сложения.

Почему два знака требуют скобок

В записи $6-(-2)$ первый минус обозначает действие вычитания, второй входит в число $-2$. Скобки показывают, что вычитается всё отрицательное число.

Отменяем движение на две единицы влево — получаем движение на две вправо:

$6-(-2)=6+2=8.$

А при вычитании положительного числа направление разворачивается влево:

$-4-3=-4+(-3)=-7.$

! Ловушка: соседние минусы — украшение

В выражении $-3-(-8)$ у каждого знака своя работа. После замены действия получаем $-3+8=5$. Нельзя просто стереть знаки: нужно назвать противоположное вычитаемому число.

Вычтем −2,25 из −1,5Разбираем вместе

Сначала заменим вычитание сложением противоположного:

$-1{,}5-(-2{,}25)=-1{,}5+2{,}25.$

Движение вправо длиннее на

$2{,}25-1{,}5=0{,}75.$

Поэтому результат равен $0{,}75$.

Разность дробейРазбираем вместе

Найдём $\frac23-\left(-\frac16\right)$. Вычитание отрицательной одной шестой означает движение вправо на одну шестую:

$\frac23-\left(-\frac16\right)=\frac23+\frac16=\frac46+\frac16=\frac56.$

Проверка понимания

Чему равна разность −4 − (−6)?

• А. −10
• Б. −2
• В. 2

Разность и расстояние — не одно и то же

Переход от точки $-2$ к точке $5$ направлен вправо на $7$, а обратный переход — влево на $7$:

$5-(-2)=7,\qquad -2-5=-7.$

Разность хранит направление. Расстояние хранит только длину, поэтому в обоих случаях оно равно $7$:

$|5-(-2)|=|-2-5|=7.$

∴ Формула расстояния

Теперь, когда вычитание чисел со знаком определено, геометрическое правило прошлого урока можно записать короче: расстояние между точками с координатами $a$ и $b$ равно $|a-b|$. Порядок не влияет на длину: $|a-b|=|b-a|$.

◆ Как читать a − b

Разность $a-b$ — это направленное изменение, которое нужно прибавить к $b$, чтобы получить $a$. Иными словами, если $b+x=a$, то $x=a-b$.

Эта связь даёт проверку: после вычисления разности прибавь её к вычитаемому. Для $-2-5=-7$ проверяем: $5+(-7)=-2$.

Практика

1. Вычисли $7-12$.
2. Вычисли $-3-8$.
3. Вычисли $5-(-4)$.
4. Вычисли $-6-(-2)$.
5. Вычисли $-1{,}2-(-3{,}7)$.
6. Вычисли $-\frac34-\frac12$.
7. На рассвете было $-8{,}5\,°\text{C}$, в полдень — $-2{,}5\,°\text{C}$. Найди направленное изменение температуры.
8. Лифт переместился с этажа $-3$ на этаж $4$. На сколько этажей и в каком направлении он переместился?
9. Найди $x$, если $x-(-2)=1$.
10. Сравни разности $-2-5$ и $5-(-2)$, а затем расстояния для этих двух переходов.

Ответы и объяснения

1. $7+(-12)=-5$.
2. $-3+(-8)=-11$.
3. $5+4=9$.
4. $-6+2=-4$.
5. $-1{,}2+3{,}7=2{,}5$.
6. $-\frac34+\left(-\frac12\right)=-\frac34-\frac24=-\frac54=-1\frac14$.
7. $-2{,}5-(-8{,}5)=6\,°\text{C}$: температура повысилась на $6\,°\text{C}$.
8. $4-(-3)=7$: лифт поднялся на $7$ этажей.
9. $x+2=1$, поэтому $x=-1$. Проверка: $-1-(-2)=1$.
10. $-2-5=-7$, а $5-(-2)=7$: разности противоположны. Оба расстояния равны $7$.

Итог

• Вычитание ищет направленное изменение от второго числа к первому.
• Вычесть число означает прибавить противоположное ему.
• Разность может быть отрицательной, а расстояние — это модуль разности и всегда неотрицательно.

Теперь у нас достаточно моделей, чтобы вывести правила знаков для умножения и деления.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным