5.4 Площадь поверхности

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: призма и пирамида, правильные многоугольники, теорема Пифагора

Смета на павильон состоит из двух строк: обшивка стен и кровля. Стены — боковая поверхность призмы, кровля — боковая поверхность пирамиды. Ошибка в одной формуле — и материала не хватит ровно на ту часть, которую труднее всего докупить.

Считать площадь поверхности мы умеем ещё с урока про тела и развёртки: разложи тело на плоскость и сложи площади кусков. Сейчас превратим это действие в две компактные формулы.

◎ После урока ты сможешь

• получать формулы боковой поверхности из развёртки
• вычислять боковую и полную поверхность прямой призмы
• находить апофему правильной пирамиды и её боковую поверхность
• отличать апофему от высоты и от бокового ребра

Прогноз до вычислений

У призмы и у пирамиды одно и то же основание — квадрат со стороной $a$ — и одна и та же высота $h$. У кого боковая поверхность больше?

Запиши ответ и короткое обоснование. Подсказка: ответ зависит от $h$, и мы найдём границу.

Управляемый эксперимент

Переключись на вкладку «Площадь поверхности» и посмотри, как разбирается ответ: сначала основание, потом боковая поверхность, потом сумма.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

см²

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a6 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Высота h4 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Разбор площади, см²

Периметр основания P	24 см
Площадь основания	36
Апофема l	5 см
Боковая поверхность	60
Полная поверхность	96

▲

S = 96 см².r = 3 см, апофема l = √(h² + r²) = 5 см, S_бок = ½Pl = 60 см², S_осн = 36 см², боковое ребро = 5,83 см.

↺ Вернуть пример

Поставь сторону $6$ и высоту $4$ у пирамиды — получишь ровные числа. Затем нажми «Призма» с теми же размерами и сравни боковые поверхности. Потом уменьши высоту до $1$ и сравни ещё раз: результат может тебя удивить.

Развёртка даёт формулу

∴ Прямая призма

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники высотой $h$ (высота призмы равна боковому ребру), а их основания — стороны многоугольника. Развёртка боковой поверхности — один большой прямоугольник высотой $h$ и длиной, равной периметру основания:

$S_{\text{бок}}=P\cdot h, \qquad S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}.$

Множитель $2$ у основания — оснований именно два.

∴ Правильная пирамида

У правильной пирамиды все $n$ боковых граней — равные равнобедренные треугольники с основанием $a$ и высотой $l$ (апофемой). Складываем их площади:

$S_{\text{бок}}=n\cdot\frac{1}{2}al=\frac{1}{2}Pl, \qquad S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}.$

Здесь основание одно, поэтому никакой двойки.

Осталось научиться находить апофему. Она приходит из прямоугольного треугольника внутри пирамиды.

∴ Апофема, высота и боковое ребро

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности основания (расстояние от центра до стороны), $R$ — радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины), $h$ — высота пирамиды. Тогда

$l=\sqrt{h^2+r^2}, \qquad \text{боковое ребро}=\sqrt{h^2+R^2}.$

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$

$r=\frac{a}{2\operatorname{tg}\dfrac{180°}{n}}, \qquad R=\frac{a}{2\sin\dfrac{180°}{n}}, \qquad S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}Pr.$

Так как $R>r$, боковое ребро всегда длиннее апофемы, а апофема длиннее высоты.

Для трёх самых частых оснований значения стоит держать в голове:

Основание	$r$	$R$	$S_{\text{осн}}$
Правильный треугольник со стороной $a$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$	$\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Квадрат со стороной $a$	$\dfrac{a}{2}$	$\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$	$a^2$
Правильный шестиугольник со стороной $a$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$a$	$\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подробный вывод этих значений — в уроке про правильные многоугольники.

Кровля: правильная четырёхугольная пирамидаРазбираем вместе

Сторона основания $a=6$, высота $h=4$.

Основание — квадрат, поэтому $r=\dfrac{6}{2}=3$ и $S_{\text{осн}}=36$. Периметр $P=24$.

Апофема:

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{16+9}=5.$

Боковая и полная поверхность:

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot24\cdot5=60, \qquad S_{\text{полн}}=60+36=96.$

Проверка вторым способом. Четыре боковые грани проецируются на основание и покрывают его ровно один раз, а проекция уменьшает площадь в $\cos\varphi$ раз, где $\varphi$ — угол наклона грани к основанию. У нас $\cos\varphi=\dfrac{r}{l}=\dfrac{3}{5}$, поэтому

$S_{\text{бок}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos\varphi}=\frac{36}{0{,}6}=60.$

Сходится. А если бы вместо апофемы подставили высоту $4$, вышло бы $48$ — и эта проверка сразу показала бы расхождение.

Стены: правильная шестиугольная призмаРазбираем вместе

Сторона основания $a=4$, высота $h=10$.

Периметр $P=6\cdot4=24$, значит

$S_{\text{бок}}=24\cdot10=240.$

Площадь основания — шесть равносторонних треугольников со стороной $4$:

$S_{\text{осн}}=\frac{3\cdot4^2\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}\approx41{,}57.$

$S_{\text{полн}}=240+2\cdot24\sqrt{3}=240+48\sqrt{3}\approx323{,}14.$

Точный ответ записываем как $240+48\sqrt{3}$, приближённый — с указанной точностью.

Возвращаемся к прогнозу

Основание — квадрат со стороной $a$, у обоих тел высота $h$. Тогда $P=4a$, $r=\dfrac{a}{2}$ и

$S_{\text{бок}}^{\text{призма}}=4ah, \qquad S_{\text{бок}}^{\text{пирамида}}=\frac{1}{2}\cdot4a\cdot\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}=2a\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}.$

Призма выигрывает, когда $4ah>2a\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{4}}$, то есть $2h>\sqrt{h^2+\dfrac{a^2}{4}}$, то есть $4h^2>h^2+\dfrac{a^2}{4}$:

$h>\frac{a}{2\sqrt{3}}\approx0{,}29a.$

Значит, у высокого тела боковая поверхность призмы больше, а у совсем плоского — наоборот. Ответ «призма всегда больше» неверен, хотя на практике почти всегда верен: постройки редко бывают ниже трети своей ширины.

Проверка понимания

У правильной четырёхугольной пирамиды сторона основания 8, высота 3. Чему равна боковая поверхность?

• А. 48
• Б. 80
• В. 160

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Подставляют высоту вместо апофемы. В формуле $S_{\text{бок}}=\tfrac12Pl$ буква $l$ — высота боковой грани. Она всегда больше высоты пирамиды, потому что $l=\sqrt{h^2+r^2}$.

Берут боковое ребро вместо апофемы. Боковое ребро идёт к вершине основания, апофема — к середине стороны. Боковое ребро длиннее.

Забывают, что у призмы два основания. $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$, а у пирамиды основание одно.

Применяют $S_{\text{бок}}=Ph$ к наклонной призме. У наклонной призмы боковые грани — параллелограммы, и формула другая: нужно взять периметр перпендикулярного сечения и умножить на боковое ребро. В этой главе все призмы прямые, но помнить об ограничении полезно.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

см²

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a4 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Высота h10 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Полная поверхность, см²Проверить

?

Вычисли площадь полной поверхности.Сначала площадь основания, потом боковую поверхность Ph. Ответ округли до сотых.

↺ Вернуть пример

Практика

1. Прямая призма, в основании прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$, высота призмы $10$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
2. Правильная четырёхугольная призма: сторона основания $5$, высота $8$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
3. Найди площадь поверхности куба с ребром $7$.
4. Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда $3\times4\times5$.
5. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $10$, апофема $13$. Найди $S_{\text{бок}}$, $S_{\text{полн}}$ и высоту.
6. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $8$, высота $3$. Найди $S_{\text{полн}}$.
7. Правильная треугольная пирамида: сторона основания $6$, высота $4$. Найди $S_{\text{бок}}$ и $S_{\text{полн}}$.
8. Правильная шестиугольная призма: сторона основания $3$, высота $10$. Найди $S_{\text{полн}}$.
9. Все линейные размеры пирамиды увеличили в $3$ раза. Во сколько раз изменилась площадь её поверхности?
10. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $10$, боковое ребро $13$. Найди апофему и $S_{\text{полн}}$.

Ответы и пояснения

1. Гипотенуза $\sqrt{36+64}=10$, периметр $P=6+8+10=24$. $S_{\text{бок}}=24\cdot10=240$; $S_{\text{осн}}=\tfrac12\cdot6\cdot8=24$; $S_{\text{полн}}=240+48=288$.
2. $P=20$, $S_{\text{бок}}=160$; $S_{\text{осн}}=25$; $S_{\text{полн}}=160+50=210$.
3. $6\cdot7^2=294$.
4. $2(3\cdot4+4\cdot5+5\cdot3)=2(12+20+15)=94$.
5. $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot40\cdot13=260$; $S_{\text{осн}}=100$; $S_{\text{полн}}=360$. Высота: $r=5$, $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$.
6. $r=4$, $l=\sqrt{9+16}=5$; $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot32\cdot5=80$; $S_{\text{осн}}=64$; $S_{\text{полн}}=144$.
7. $r=\dfrac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$, $l=\sqrt{16+3}=\sqrt{19}$; $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot18\cdot\sqrt{19}=9\sqrt{19}\approx39{,}23$; $S_{\text{осн}}=\dfrac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\approx15{,}59$; $S_{\text{полн}}=9\sqrt{19}+9\sqrt{3}\approx54{,}82$.
8. $P=18$, $S_{\text{бок}}=180$; $S_{\text{осн}}=\dfrac{3\cdot9\sqrt{3}}{2}=13{,}5\sqrt{3}\approx23{,}38$; $S_{\text{полн}}=180+27\sqrt{3}\approx226{,}77$.
9. В $9$ раз: площадь — величина второй размерности, коэффициент подобия возводится в квадрат.
10. Апофема — высота равнобедренного треугольника со сторонами $13$, $13$ и основанием $10$: $l=\sqrt{13^2-5^2}=12$. Тогда $S_{\text{бок}}=\tfrac12\cdot40\cdot12=240$, $S_{\text{осн}}=100$, $S_{\text{полн}}=340$.

Итог

• Формулы поверхности — это свёрнутая развёртка, а не новые правила.
• Прямая призма: $S_{\text{бок}}=Ph$, $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$.
• Правильная пирамида: $S_{\text{бок}}=\tfrac12Pl$, $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$.
• Апофема $l=\sqrt{h^2+r^2}$ всегда больше высоты и всегда меньше бокового ребра $\sqrt{h^2+R^2}$.
• Площадь растёт как квадрат линейных размеров: увеличил всё в $k$ раз — поверхность выросла в $k^2$ раз.

Теперь у нас есть счёт элементов, проверка Эйлером, построение сечения и обе формулы поверхности. Осталась последняя величина — та, что измеряет не обшивку, а место внутри.

← Построение сечений · Дальше: объёмы многогранников →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным