Подобие и окружность

8 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: признаки равенства треугольников, пропорции, квадратный корень

В 7 классе главным вопросом было «точно равны?». Ответ давали признаки равенства треугольников: совпали три подходящих элемента — значит фигуры совместятся наложением.

Но карта и местность не равны. Фотография и оригинал не равны. Модель самолёта и самолёт не равны. При этом у них одна форма — и по маленькой фигуре можно точно вычислить большую. Про это ты уже кое-что знаешь из урока о масштабе; теперь пора превратить наблюдение в теорию.

◎ После урока ты сможешь

• делить отрезки в заданном отношении и применять теорему о пропорциональных отрезках
• доказывать подобие треугольников по признакам и находить коэффициент подобия
• применять теорему Пифагора и обратную к ней
• вычислять стороны и углы прямоугольного треугольника через синус, косинус и тангенс
• работать с касательной, хордой, центральным и вписанным углами

✦ Форма и размер — разные вещи

Равенство сохраняет всё: и форму, и размер. Подобие сохраняет только форму: все углы остаются прежними, а все длины умножаются на одно и то же число $k$. Из этого простого правила вырастет и теорема Пифагора, и вся тригонометрия.

Входная диагностика

Отвечай коротко; вычисления — только там, где без них никак.

1. Что означает запись $a : b = c : d$ и какое равенство из неё следует?
2. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны. Сколько пар равных элементов у них?
3. Чему равна сумма углов треугольника?
4. Найди $\sqrt{144}$ и $\sqrt{0{,}25}$.
5. Между какими соседними целыми числами лежит $\sqrt{30}$?
6. Все стороны квадрата увеличили в $3$ раза. Во сколько раз выросла площадь?
7. Радиус окружности равен $6$ см. Чему равен диаметр?
8. Как найти площадь треугольника по основанию и высоте?

Ответы для самопроверки

1. Отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$; из пропорции следует $ad = bc$.
2. Шесть: три пары сторон и три пары углов.
3. $180°$.
4. $\sqrt{144} = 12$; $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$.
5. Между $5$ и $6$, потому что $25 < 30 < 36$.
6. В $9$ раз.
7. $12$ см.
8. $S = \dfrac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, проведённая к стороне $a$.

Если про окружность что-то забылось, загляни в урок «Окружность и круг» из 6 класса.

Договорённости главы

• Подобие обозначаем знаком $\sim$: запись $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ читается по порядку букв, как и равенство.
• Коэффициент подобия $k$ — это отношение сторон второго треугольника к сторонам первого.
• Иррациональный ответ оставляем точным ($c = \sqrt{13}$) и только потом, если нужно, округляем со знаком $\approx$.
• Значения синуса и косинуса берём из таблицы или с калькулятора; для $30°$, $45°$ и $60°$ знаем их наизусть.
• Все чертежи в лабораториях построены по вычисленным координатам: если на картинке фигура вдвое больше, то $k$ действительно равен $2$.

Маршрут главы

1. Подобие треугольников — теорема о пропорциональных отрезках, три признака подобия и отношение площадей.
2. Теорема Пифагора — доказательство через площади и обратная теорема.
3. Тригонометрия острого угла — синус, косинус и тангенс как следствие подобия.
4. Окружность и касательные — прямая и окружность, свойство касательной, отрезки касательных.
5. Вписанные углы — центральный угол, дуга и главная теорема об окружности.
6. Практикум — измеряем недоступное: высота башни, ширина реки, радиус детали.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с подобия треугольников: на нём держится вся остальная глава.