Уравнения и логика

10 класс · Алгебра◷ 20–25 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения, арифметический квадратный корень, числовые промежутки, дробно-рациональные уравнения

Два человека решают одно уравнение. Оба не сделали ни одной вычислительной ошибки. Один получил два корня, другой — один. Кто прав?

Правы оба — и это самое интересное. Один решал исходное уравнение, другой незаметно перешёл к другому уравнению, у которого корней больше. Такой переход называют переходом к следствию, и он законен: просто вместе с ответом он выдаёт мусор, который нужно вычистить.

В этой главе мы разберёмся, какие преобразования сохраняют множество корней, какие добавляют лишние, а какие теряют настоящие. А заодно выучим язык, на котором это удобно записывать: язык множеств, логических связок и кванторов.

◎ После урока ты сможешь

• отличать равносильное преобразование от перехода к уравнению-следствию
• решать иррациональные уравнения с отбором посторонних корней
• решать уравнения с модулем разбором случаев и переходом к системе
• записывать условия на языке множеств, связок «и», «или», «не» и кванторов
• проводить прямое доказательство, доказательство от противного и опровержение контрпримером

◆ Одно слово, которое всё решает

Знак $\Rightarrow$ («следует») и знак $\Leftrightarrow$ («равносильно») — разные знаки. Если по дороге к ответу ты хотя бы раз поставил $\Rightarrow$, а не $\Leftrightarrow$, то полученные числа — ещё не корни. Это кандидаты, и каждого придётся проверить.

Входная диагностика

Ответь коротко, до подробных выкладок.

1. Чему равен $\sqrt{25}$? А сколько корней у уравнения $x^2=25$?
2. Может ли значение $\sqrt{a}$ быть отрицательным?
3. Чему равно $|-7|$? А $|7|$?
4. Реши уравнение $\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}$.
5. Какие значения $x$ входят в промежуток $[-2;\,5)$?
6. Верно ли, что все простые числа нечётные?
7. Из уравнения $x^2=4x$ «сократили на $x$» и получили $x=4$. Что при этом произошло с корнем $x=0$?
8. Как записать одним неравенством условие «$x$ больше $1$ и $x$ меньше $6$»?

Ответы для самопроверки

1. $\sqrt{25}=5$ — ровно одно число. У уравнения $x^2=25$ два корня: $-5$ и $5$.
2. Нет. Арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.
3. $|-7|=7$ и $|7|=7$.
4. Знаменатель запрещает $x=3$, а единственный кандидат — как раз $3$. Корней нет.
5. Все числа от $-2$ до $5$, причём $-2$ входит, а $5$ — нет.
6. Неверно: число $2$ простое и чётное. Это контрпример.
7. Он потерян: делить обе части на выражение с переменной нельзя.
8. $1<x<6$.

Договорённости главы

• Прежде чем преобразовывать уравнение, выписываем область допустимых значений — множество, на котором обе части имеют смысл.
• Каждое преобразование помечаем: равносильное ($\Leftrightarrow$) или переход к следствию ($\Rightarrow$).
• После цепочки следствий проверка обязательна, и она часть решения, а не вежливость.
• Ответ записываем как множество: перечислением, промежутком или словами «корней нет».
• Утверждение считается доказанным, только если названы посылки и виден переход от них к выводу. «Проверил на трёх числах» — не доказательство.

Маршрут главы

1. Равносильность и следствие — откуда берутся посторонние корни и куда исчезают настоящие.
2. Иррациональные уравнения — возведение в квадрат, отбор кандидатов и замена переменной.
3. Уравнения с модулем — разбор случаев, переход к системе и сумма модулей.
4. Множества и логика — связки, кванторы и три способа доказать утверждение.
5. Практикум — смешанные задачи и разбор чужих решений.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с равносильности и следствия.