1.3 Системы уравнений с двумя переменными

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: уравнение с двумя переменными, квадратные уравнения, дискриминант

Прямоугольный участок огородили забором длиной $28$ м, а его площадь оказалась равной $48\ \text{м}^2$. Каковы стороны участка?

Одного уравнения тут не хватит: неизвестных две. Запишем оба условия сразу:

$\begin{cases} x+y=14,\\ xy=48. \end{cases}$

Знакомая запись — но второе уравнение не линейное. В 7 классе таких систем не было. Хорошая новость: способ подстановки работает и здесь.

◎ После урока ты сможешь

• решать нелинейные системы способом подстановки
• читать решение системы как общую точку двух линий
• связывать число решений с дискриминантом полученного уравнения
• доводить ответ до пар и проверять каждую в обоих уравнениях

Прогноз до вычислений

• Стороны участка целые или нет, как тебе кажется? Назови любую пару чисел с суммой $14$ и прикинь их произведение.
• Сколько общих точек может быть у прямой и параболы: $0$, $1$, $2$, больше?
• А у окружности и прямой?

Эксперимент: две линии на одной плоскости

Выбирай пример, смотри на рисунок и оценивай число общих точек до того, как посмотришь на ответ.

Лаборатория графиков и систем

Решение системы — общая точка двух линий

Каждое уравнение задаёт свою линию. Пара, подходящая обоим уравнениям, лежит на обеих линиях сразу.

y = x²

Парабола и прямаяГипербола и прямаяОкружность и прямаяДве прямыеКасание: одно решениеРешений нетИррациональные координаты

Система: y = x² и y = x + 2

Мой x

Мой y

Проверить

?

Сколько у этих линий общих точек?Оцени ответ по рисунку, затем впиши координаты одной из общих точек и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на пример «Касание»: там общая точка ровно одна. И на пример «Решений нет»: линии рядом, но нигде не встречаются.

Что такое система и её решение

∴ Определение

Системой двух уравнений с двумя переменными называют запись из двух уравнений, объединённых фигурной скобкой:

$\begin{cases} F(x;y)=0,\\ G(x;y)=0. \end{cases}$

Решением системы называют пару $(x;y)$, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

График первого уравнения — одна линия, график второго — другая. Пара подходит обоим уравнениям тогда и только тогда, когда точка лежит на обеих линиях. Значит:

решения системы — это общие точки двух графиков.

Это правило одинаково работает для двух прямых, для параболы с прямой и для окружности с прямой. Меняются только линии.

Способ подстановки

∴ Подстановка: четыре шага

1. Из одного уравнения вырази одну переменную через другую. Удобнее брать то уравнение, где это делается без дробей.
2. Подставь полученное выражение во второе уравнение. Останется уравнение с одной переменной.
3. Реши его. Каждый корень — это одно значение первой переменной.
4. Для каждого найденного значения вычисли вторую переменную по выражению из шага 1 и запиши ответ парами.

Шаг 4 — не формальность. Если корней два, то и пар в ответе будет две.

Участок: сумма и произведениеРазбираем вместе

$\begin{cases} x+y=14,\\ xy=48. \end{cases}$

Из первого уравнения $y=14-x$. Подставляем во второе:

$x(14-x)=48,\qquad 14x-x^2=48,\qquad x^2-14x+48=0.$

$D=196-192=4,\qquad \sqrt{D}=2,\qquad x_1=\frac{14-2}{2}=6,\qquad x_2=\frac{14+2}{2}=8.$

Возвращаемся к $y=14-x$: при $x=6$ получаем $y=8$, при $x=8$ получаем $y=6$.

Ответ: $(6;8)$ и $(8;6)$.

Проверка первой пары: $6+8=14$ и $6\cdot8=48$ — оба равенства верны.

Две пары, но участок один: стороны равны $6$ м и $8$ м. Система симметрична относительно $x$ и $y$, поэтому решения идут парами-«отражениями».

Парабола и прямаяРазбираем вместе

$\begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases}$

Обе части уже выражены через $y$, поэтому подстановка сводится к приравниванию:

$x^2=x+2,\qquad x^2-x-2=0,\qquad D=1+8=9.$

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{1+3}{2}=2.$

Считаем $y$ по любому из уравнений — удобнее по прямой: $y=-1+2=1$ и $y=2+2=4$.

Ответ: $(-1;1)$ и $(2;4)$.

Проверка пары $(2;4)$: $4=2^2$ и $4=2+2$ — верно в обоих уравнениях.

Окружность и прямаяРазбираем вместе

$\begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=x+1. \end{cases}$

Подставляем $y=x+1$ в первое уравнение:

$x^2+(x+1)^2=25,\qquad x^2+x^2+2x+1=25,\qquad 2x^2+2x-24=0.$

Делим обе части на $2$ — это законно, потому что $2$ не содержит переменной:

$x^2+x-12=0,\qquad D=1+48=49,\qquad x_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-1+7}{2}=3.$

Тогда $y=-4+1=-3$ и $y=3+1=4$.

Ответ: $(-4;-3)$ и $(3;4)$.

Проверка: $(-4)^2+(-3)^2=16+9=25$ и $3^2+4^2=9+16=25$ — обе точки действительно на окружности.

Сколько бывает решений

После подстановки почти всегда получается квадратное уравнение. Его дискриминант и решает вопрос.

• $D>0$ — два корня, у линий две общие точки.
• $D=0$ — один корень, линии касаются: общая точка ровно одна.
• $D<0$ — корней нет, общих точек нет.

Один и тот же вопрос при трёх разных прямыхРазбираем вместе

Пересечём параболу $y=x^2$ тремя прямыми.

$y=x+2$: $x^2-x-2=0$, $D=9>0$ — две общие точки.

$y=2x-1$: $x^2-2x+1=0$, $D=4-4=0$ — одна общая точка. Здесь $(x-1)^2=0$, то есть $x=1$ и $y=1$: прямая касается параболы в точке $(1;1)$.

$y=-x-1$: $x^2+x+1=0$, $D=1-4=-3<0$ — общих точек нет.

Все три прямые «похожи», а результаты разные. Картинка подсказывает ответ, дискриминант его доказывает.

◆ Осторожно с уравнениями-гиперболами

В системе с уравнением $xy=k$ или $y=\dfrac{k}{x}$ значение $x=0$ запрещено. Умножая на $x$, действуй как в дробно-рациональных уравнениях: сначала запиши запрет, потом проверь корни.

Например, система $y=\dfrac{6}{x}$, $y=x+1$ даёт $\dfrac{6}{x}=x+1$, то есть $6=x^2+x$ и $x^2+x-6=0$. Корни $2$ и $-3$, оба отличны от нуля, поэтому оба годятся: $(2;3)$ и $(-3;-2)$.

Проверка понимания

Подстановка в системе свела дело к уравнению x² − 6x + 9 = 0. Сколько решений у системы?

• А. Два: у квадратного уравнения корней всегда два
• Б. Одно
• В. Ни одного: дискриминант равен нулю

! Как теряют половину ответа

Нашли $x$ и остановились. Ответ системы — пара. Найдя $x=-4$, обязательно посчитай $y$.

Нашли два $x$, а $y$ посчитали один раз. Каждому корню отвечает своя пара. Из $x_1=-1$ и $x_2=2$ получаются $(-1;1)$ и $(2;4)$, а не одна точка.

Подставили выражение обратно в то же уравнение. Если $y$ выразили из первого уравнения, подставлять надо во второе. Иначе получится тождество $0=0$ — верное и бесполезное.

Взяли только положительный корень. В уравнении $x^2=9$ корня два: $3$ и $-3$. Отрицательный отбрасывают только тогда, когда этого требует смысл задачи, а не привычка.

Практика

Решай подстановкой. Ответ записывай парами.

1. Является ли пара $(2;4)$ решением системы $y=x^2$, $y=x+2$?
2. $y=x^2$, $y=4$.
3. $y=x^2$, $y=2x-1$.
4. $y=x^2$, $y=-x-1$.
5. $x+y=5$, $xy=6$.
6. $x-y=1$, $xy=6$.
7. $x^2+y^2=25$, $y=x+1$.
8. $x^2+y^2=10$, $y=3x$.
9. $y=\dfrac{6}{x}$, $y=x+1$.
10. $x+y=6$, $x^2+y^2=20$.
11. При каком $b$ прямая $y=x+b$ касается параболы $y=x^2$?
12. Сколько решений у системы $y=x^2$, $y=x+6$? Найди их.

Ответы и пояснения

1. Да: $4=2^2$ и $4=2+2$ — оба равенства верны.
2. $x^2=4$, значит $x=\pm2$. Ответ: $(-2;4)$ и $(2;4)$.
3. $x^2-2x+1=0$, $D=0$, $x=1$. Ответ: $(1;1)$ — касание.
4. $x^2+x+1=0$, $D=1-4=-3<0$. Ответ: решений нет.
5. $y=5-x$, тогда $x(5-x)=6$ и $x^2-5x+6=0$, $D=1$, корни $2$ и $3$. Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$.
6. $x=y+1$, тогда $(y+1)y=6$ и $y^2+y-6=0$, $D=25$, корни $y=2$ и $y=-3$. Ответ: $(3;2)$ и $(-2;-3)$.
7. $x^2+(x+1)^2=25$, то есть $2x^2+2x-24=0$ и $x^2+x-12=0$, $D=49$, корни $3$ и $-4$. Ответ: $(3;4)$ и $(-4;-3)$.
8. $x^2+9x^2=10$, значит $x^2=1$ и $x=\pm1$. Ответ: $(1;3)$ и $(-1;-3)$.
9. $x\ne0$; $\dfrac{6}{x}=x+1$ даёт $x^2+x-6=0$, $D=25$, корни $2$ и $-3$ — оба допустимы. Ответ: $(2;3)$ и $(-3;-2)$.
10. $y=6-x$, тогда $x^2+(6-x)^2=20$, то есть $2x^2-12x+16=0$ и $x^2-6x+8=0$, $D=4$, корни $2$ и $4$. Ответ: $(2;4)$ и $(4;2)$.
11. $x^2=x+b$, то есть $x^2-x-b=0$. Касание означает $D=0$: $1+4b=0$, откуда $b=-\dfrac{1}{4}$.
12. $x^2-x-6=0$, $D=1+24=25>0$ — два решения: $x=3$ и $x=-2$. Ответ: $(3;9)$ и $(-2;4)$.

Итог

• Решение системы — пара, подходящая обоим уравнениям; на картинке это общая точка двух линий.
• Подстановка сводит систему к одному уравнению с одной переменной, чаще всего квадратному.
• Дискриминант этого уравнения отвечает за число решений: две точки, касание или ни одной.
• Каждому найденному значению переменной отвечает своя пара, и ответ доводят до пар.
• Если в системе есть дробь с переменной в знаменателе, запреты выписывают заранее.

Теперь система — рабочий инструмент. Осталось научиться получать её из текста задачи.

← Уравнение с двумя переменными · Дальше: текстовые задачи →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным