2.1 Касательная и мгновенная скорость

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: угловой коэффициент прямой, парабола, формулы сокращённого умножения, средняя скорость

Камень падает с обрыва. За $t$ секунд он пролетает $s=5t^2$ метров — этой формулой пользуются физики уже четыреста лет.

Вопрос простой: какова скорость камня ровно в момент $t=2$?

Формула «скорость равна путь делить на время» здесь не работает. За момент $t=2$ не проходит никакого времени, а значит и никакого пути: получается $\dfrac{0}{0}$, то есть ничего. Но камень-то летит, и скорость у него есть — её показал бы радар. Значит, определение скорости нужно чинить.

◎ После урока ты сможешь

• отличать среднюю скорость на отрезке от мгновенной скорости в точке
• составлять разностное отношение и находить его предел при стремлении шага к нулю
• вычислять производную в точке по определению
• записывать уравнение касательной к графику функции

Прогноз до вычислений

Запиши три ответа, потом проверишь их в лаборатории.

1. Какова средняя скорость камня на отрезке времени от $t=2$ до $t=3$?
2. Больше или меньше этого числа окажется мгновенная скорость в момент $t=2$?
3. Что произойдёт со средней скоростью, если брать всё более короткие отрезки, начинающиеся в $t=2$: она будет прыгать как попало или подбираться к какому-то одному числу?

Эксперимент: короткий отрезок вместо точки

Раз в самой точке скорость посчитать нельзя, посчитаем её на коротком отрезке — от $t_0$ до $t_0+h$ — и будем этот отрезок укорачивать.

На графике такой расчёт — это угловой коэффициент прямой через две точки кривой. Прямая через две точки графика называется секущей. Уменьшай $h$ и следи за столбцом $\Delta y/h$.

Лаборатория секущей

Секущая стягивается к касательной

Камень падает без начальной скорости: за t секунд он пролетает s = 5t² метров.

Δy / Δx

Падение s = 5t²Бросок h = 20t − 5t²y = x²y = x³ − 3x

Точка t₀ 20,511,52Здесь ищем мгновенное значение — скорость, м/с.

Шаг h 1−1−0,5−0,25−0,1−0,050,050,10,250,51Расстояние до второй точки. Ноль запрещён: на ноль делить нельзя.

y = 5t²→y' = 10t

Δt = h1Насколько сдвинулись по горизонтали.

Δy25Настолько изменилось значение функции.

Δy / h25скорость, м/с на всём отрезке AB, а не в точке A.

Что происходит при уменьшении шага

Наклон секущей при уменьшении h из точки t₀ = 2

h	Δy	Δy / h	отличие от предела
1	25	25	5
0,5	11,25	22,5	2,5
0,25	5,3125	21,25	1,25
0,1	2,05	20,5	0,5
0,01	0,2005	20,05	0,05
0,001	0,02	20,005	0,005

Спрятать касательную

→

Секущая: 25. Касательная: 20.Разница 5 и стремится к нулю вместе с h. Уравнение касательной: y = 20t − 20.

↺ Вернуть пример

Число в таблице не мечется, а спокойно подбирается к $20$. При этом сама секущая всё плотнее прижимается к одной-единственной прямой, которая касается кривой в точке $A$. Переключи вкладки: у броска, у параболы и у кубической кривой картина такая же.

✦ Что мы только что сделали

Мы заменили невозможный вопрос возможным.

«Скорость в точке» посчитать нельзя. Зато можно посчитать целую последовательность средних скоростей на всё более коротких отрезках — и посмотреть, к чему они сходятся.

Тот же приём ты уже видел: длину окружности приближали периметрами вписанных многоугольников, а бесконечную геометрическую прогрессию суммировали, глядя, к чему подбираются частичные суммы. Здесь работает та же идея.

Разностное отношение

Пусть функция $y=f(x)$ и точка $x_0$ зафиксированы. Дадим аргументу приращение $h\neq 0$. Тогда

$\Delta x = h, \qquad \Delta y = f(x_0+h)-f(x_0).$

Отношение

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

называют разностным отношением. Это в точности угловой коэффициент секущей через точки $\bigl(x_0;f(x_0)\bigr)$ и $\bigl(x_0+h;f(x_0+h)\bigr)$, и одновременно — средняя скорость изменения функции на отрезке длины $h$.

∴ Производная функции в точке

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называют предел разностного отношения при стремлении $h$ к нулю:

$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

Если этот предел существует и конечен, функцию называют дифференцируемой в точке $x_0$.

Запись $\lim\limits_{h\to 0}$ читается так: «к какому числу подбирается выражение, когда $h$ становится сколь угодно малым, оставаясь отличным от нуля». Подставлять $h=0$ в дробь нельзя — можно только сокращать на $h$ до предельного перехода.

◆ Про предел — честно

Пределом мы пользуемся, но не определяем его. Запись $\lim$ означает ровно то, что видно в таблице лаборатории: выражение подбирается к одному числу и остаётся рядом с ним, как бы мало ни было $h$. Строгое определение предела — через $\varepsilon$ и $\delta$ — остаётся за рамками этой книги, это первая тема анализа в вузе. Но никакого обмана здесь нет: каждый предел в главе мы получаем не «на глаз», а сокращением на $h$ и подстановкой.

Тот же приём и с той же оговоркой понадобится ещё раз — в главе об интеграле, где к одному числу будут сходиться суммы прямоугольников под графиком.

Обозначения у производной разные, смысл один: $f'(x_0)$, $y'(x_0)$, $\dfrac{dy}{dx}$. В физике производную по времени часто помечают точкой: $\dot{s}(t)$.

∴ Три прочтения одного числа

Число $f'(x_0)$ отвечает сразу на три вопроса.

1. Физика. Если $s(t)$ — координата, то $s'(t_0)$ — мгновенная скорость в момент $t_0$.
2. Геометрия. $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$, то есть $\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $x$.
3. Общий смысл. $f'(x_0)$ — скорость изменения величины: на сколько примерно вырастет $y$, если $x$ увеличить на единицу (при малом изменении).

Само слово «касательная» теперь получает точный смысл: касательная в точке $x_0$ — это предельное положение секущих, когда вторая точка скользит по графику к первой. Определение «прямая, имеющая с кривой ровно одну общую точку» здесь не годится — в задаче 10 ты увидишь почему.

Считаем по определению

Скорость падающего камня в момент t = 2Разбираем вместе

Дано $s(t)=5t^2$, $t_0=2$. Составляем разностное отношение:

$\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{5(2+h)^2-5\cdot 2^2}{h}.$

Раскрываем скобки в числителе: $5(4+4h+h^2)-20=20+20h+5h^2-20=20h+5h^2$. Значит,

$\frac{\Delta s}{h}=\frac{20h+5h^2}{h}=20+5h\quad (h\neq 0).$

Сокращение законно: $h$ отлично от нуля, ведь отрезок ненулевой. Теперь видно всё сразу: при $h=1$ получается $25$, при $h=0{,}1$ — уже $20{,}5$, при $h=0{,}001$ — $20{,}005$. Выражение $20+5h$ подбирается к $20$:

$s'(2)=\lim_{h\to 0}(20+5h)=20.$

Мгновенная скорость камня в момент $t=2$ равна $20$ м/с. Ровно это число показывала таблица в лаборатории.

Производная функции y = x² в произвольной точкеРазбираем вместе

Не будем подставлять конкретное число — посчитаем сразу для любой точки $x_0$:

$\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}=\frac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0+h.$

При $h\to 0$ слагаемое $h$ исчезает, и остаётся

$f'(x_0)=2x_0.$

Получилась не одна цифра, а формула: производная функции $y=x^2$ — это функция $y'=2x$. Теперь наклон касательной в любой точке считается устно: в точке $x=3$ он равен $6$, в точке $x=0$ равен $0$, в точке $x=-1{,}5$ равен $-3$.

Тем же способом получаются ещё три факта. Для $f(x)=C$ разностное отношение равно $\dfrac{C-C}{h}=0$, поэтому $C'=0$. Для $f(x)=x$ оно равно $\dfrac{(x_0+h)-x_0}{h}=1$, поэтому $x'=1$. Для $f(x)=x^3$ числитель равен $3x_0^2h+3x_0h^2+h^3$, после сокращения остаётся $3x_0^2+3x_0h+h^2$, и в пределе $\bigl(x^3\bigr)'=3x^2$.

Уравнение касательной

Касательная — прямая, а прямая полностью задана точкой и наклоном. Точка нам известна: $\bigl(x_0;f(x_0)\bigr)$. Наклон тоже: $f'(x_0)$.

∴ Уравнение касательной

Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ задаётся уравнением

$y=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0).$

Это обычная прямая $y=kx+b$, записанная удобным способом: подстановка $x=x_0$ сразу даёт $y=f(x_0)$, то есть прямая проходит через нужную точку, а коэффициент при скобке — это наклон.

Касательная к параболе y = x² в точке x₀ = 3Разбираем вместе

Считаем два числа. Значение функции: $f(3)=9$. Значение производной: $f'(x)=2x$, поэтому $f'(3)=6$.

Подставляем в формулу: $y=9+6(x-3)$, то есть

$y=6x-9.$

Проверка. При $x=3$ прямая даёт $18-9=9$ — точка на графике, всё сходится. Найдём общие точки прямой и параболы: $x^2=6x-9$, откуда $x^2-6x+9=0$ и $(x-3)^2=0$. Корень один и он двойной — это и есть касание, а не пересечение.

Проверка понимания

Тело движется по закону s(t) = 5t². Разностное отношение на отрезке от t = 2 до t = 2 + h равно 20 + 5h. Чему равна мгновенная скорость при t = 2?

• А. 25 м/с
• Б. 20 м/с
• В. 0 м/с

! Значение функции и значение производной — разные числа

Частая путаница в задачах на касательную: вместо $f(x_0)$ подставляют $f'(x_0)$ или наоборот.

Для $f(x)=x^2$ в точке $x_0=3$ есть два разных числа: $f(3)=9$ — это высота точки на графике, и $f'(3)=6$ — это наклон касательной. Уравнение $y=9+6(x-3)$ использует оба, каждое на своём месте.

Если перепутать, получится $y=6+9(x-3)$ — прямая, которая не проходит через точку графика и наклонена неправильно. Проверка занимает секунду: подставь $x=x_0$ и убедись, что вышло $f(x_0)$.

Практика

1. Камень падает по закону $s=5t^2$. Найди среднюю скорость на промежутках $[0;2]$, $[0;1]$ и $[1;2]$.
2. Найди по определению $f'(-1)$ для $f(x)=x^2$.
3. Найди по определению $f'(0)$ для $f(x)=x^2$ и объясни, что означает полученное число для графика.
4. Найди по определению $f'(1)$ для $f(x)=x^3$.
5. Чему равна производная функций $f(x)=5$, $f(x)=x$ и $f(x)=4x-7$ в любой точке?
6. Составь уравнение касательной к графику $y=x^2$ в точке $x_0=2$ и проверь его подстановкой.
7. Для движения $s=5t^2$ известно, что $s'(t)=10t$. В какой момент скорость равна $30$ м/с и какой путь к этому моменту пройден?
8. Мяч брошен вверх: $h(t)=20t-5t^2$. Покажи, что разностное отношение на отрезке от $t=1$ до $t=1+h$ равно $10-5h$, и найди мгновенную скорость при $t=1$.
9. Для того же мяча скорость равна $v(t)=20-10t$. В какой момент скорость обращается в ноль и на какой высоте мяч в этот момент?
10. В лаборатории выбери кривую $y=x^3-3x$ и точку $x_0=-1$: касательная там горизонтальна, её уравнение $y=2$. Найди все общие точки этой прямой и графика. Что это говорит об определении «касательная имеет с кривой ровно одну общую точку»?
11. Наклон касательной к $y=x^2$ равен $10$. В какой точке графика это происходит?
12. Средняя скорость автомобиля за поездку равна $60$ км/ч. Обязан ли спидометр хотя бы раз показать ровно $60$? А может ли он показать $90$?

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{20-0}{2}=10$ м/с; $\dfrac{5-0}{1}=5$ м/с; $\dfrac{20-5}{1}=15$ м/с. Чем позже отрезок, тем больше средняя скорость.
2. $\dfrac{(-1+h)^2-1}{h}=\dfrac{1-2h+h^2-1}{h}=-2+h\to -2$. Значит $f'(-1)=-2$.
3. $\dfrac{h^2-0}{h}=h\to 0$, поэтому $f'(0)=0$: касательная в вершине параболы горизонтальна.
4. $\dfrac{(1+h)^3-1}{h}=\dfrac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2\to 3$, значит $f'(1)=3$. Это согласуется с формулой $\bigl(x^3\bigr)'=3x^2$.
5. $0$; $1$; $4$. У постоянной функции ничего не меняется, у прямой скорость изменения равна угловому коэффициенту.
6. $f(2)=4$, $f'(2)=4$, поэтому $y=4+4(x-2)=4x-4$. Проверка: при $x=2$ получаем $4$; уравнение $x^2=4x-4$ даёт $(x-2)^2=0$ — двойной корень, касание.
7. $10t=30$ при $t=3$ с; $s(3)=5\cdot 9=45$ м.
8. Числитель: $\bigl(20(1+h)-5(1+h)^2\bigr)-15=20+20h-5-10h-5h^2-15=10h-5h^2$. Делим на $h$: $10-5h$. Предел равен $10$ м/с.
9. $20-10t=0$ при $t=2$ с; $h(2)=40-20=20$ м — это высшая точка полёта, там скорость меняет знак.
10. Решаем $x^3-3x=2$, то есть $x^3-3x-2=0$. Разложение: $(x+1)^2(x-2)=0$, корни $x=-1$ (двойной, точка касания) и $x=2$. Прямая $y=2$ касается графика в точке $(-1;2)$ и пересекает его в точке $(2;2)$. Значит определение через «ровно одну общую точку» неверно: правильное определение — предельное положение секущих.
11. $2x=10$, откуда $x=5$ и точка $(5;25)$.
12. Показать ровно $60$ — обязан, если движение непрерывно: скорость не может перескочить через промежуточное значение. Показать $90$ — вполне может: средняя скорость ничего не запрещает на отдельных участках.

Итог

• Средняя скорость относится к отрезку, мгновенная — к точке; вторая получается из первой предельным переходом.
• Разностное отношение $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ — это угловой коэффициент секущей и средняя скорость изменения.
• Производная $f'(x_0)$ — предел разностного отношения при $h\to 0$; она же наклон касательной, она же мгновенная скорость.
• Касательная задаётся формулой $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$: значение функции и значение производной входят в неё по-разному.

Считать каждый раз предел долго и неудобно. Но выкладки для $x^2$ и $x^3$ подсказывают: результат зависит от функции по простому закону. В следующем уроке мы соберём таблицу готовых производных и четыре правила, после которых предел больше не понадобится почти никогда.

← Вход в тему · Дальше: правила дифференцирования →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным