3.5 Практикум: разгон, ступеньки и арка

11 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 3.1–3.4

Конструкторское бюро готовит презентацию электробуса. В ней три расчёта: сколько метров занимает разгон, насколько груба черновая оценка инженера и сколько листа уйдёт на декоративную арку над входом.

Все три задачи решает один и тот же инструмент. Разница только в том, что означает площадь под графиком.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать инструмент по вопросу — приближение, точный интеграл или разность функций
• связывать график, интеграл, единицу и физический смысл ответа
• проверять результат вторым способом и оценивать его правдоподобие
• называть допущения модели и границы её применимости

Станция 1. Разгон

Электробус трогается с места, и его скорость растёт по закону $v(t)=t^2$ м/с. Нужно узнать, сколько метров он проедет за первые $3$ секунды.

Лаборатория накопления

Площадь под графиком скорости — это путь

Верхний график — скорость, нижний — ноль. Площадь под графиком скорости равна пути, пройденному за выбранный промежуток времени.

F(b) − F(a)

Скорость v022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³График этой функции рисуется сплошной линией.

Нижняя граница022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³Значение «0» — это ось абсцисс: получится площадь под графиком.

Нижний предел a 0От −8 до 8.

Верхний предел b 3Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Графики пересекаются при t = 0.Взять пределы по пересечениям

1. 1

   Разность: f(t) − g(t) = t²Высота вертикального отрезка внутри фигуры.

2. 2

   Первообразная: F(t) = t³/3Постоянную C можно не писать: при вычитании она исчезнет.

3. 3

   F(3) = 9, F(0) = 0Подставляем сначала верхний предел, потом нижний.

4. 4

   F(b) − F(a) = 9Разность неотрицательна на всём отрезке, поэтому это и есть площадь.

∫

Накопленная величина равна 9.Интеграл разности сразу даёт площадь: на всём отрезке один график лежит выше другого.

↺ Вернуть пример

Путь и правдоподобиеРазбираем вместе

Перемещение равно интегралу от скорости:

$s=\int_0^3 t^2\,dt=\frac{t^3}{3}\Big|_0^3=9\ \text{м}.$

Проверка на правдоподобие. В конце промежутка скорость равна $v(3)=9$ м/с. Если бы электробус все три секунды ехал с такой скоростью, он проехал бы $27$ м. Если бы стоял — $0$ м. Ответ $9$ м лежит между ними и составляет ровно треть от верхней оценки: это тот же множитель $\dfrac13$, что и у площади под параболой.

Средняя скорость равна $\dfrac93=3$ м/с, а не $4{,}5$ м/с: полусумма крайних значений годится только для линейного закона.

Станция 2. Насколько груба черновая оценка

Инженер оценивал путь при законе $v(t)=t^3$ м/с на промежутке $[0;2]$ с, разбив его на $4$ равные части и взяв скорость по левому краю каждой части. Насколько он ошибся?

Лаборатория площади

Прямоугольники сгущаются — сумма сходится

Криволинейную трапецию заменяем ступенчатой фигурой. Меняй число частей и следи за последним столбцом таблицы: погрешность уменьшается, а не «дрожит».

Σ f(xᵢ)·h

Подынтегральная функцияПостоянная: f(x) = 2Линейная: f(x) = 2x + 1Наклонная прямая: f(x) = x + 2Парабола: f(x) = x²Купол: f(x) = 4 − x²Сдвинутая парабола: f(x) = x² − 2x + 3Кубическая: f(x) = x³Все функции — многочлены, поэтому точное значение известно и можно честно сравнивать.

Нижний предел a 0От −8 до 8; шаг 0,1.

Верхний предел b 2Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Высота по левому краюВысота по правому краюВысота по середине

n = 1n = 2n = 4n = 8n = 16n = 32n = 64n = 128

Сгущение разбиения при высоте по левому краю

Частей n	Ширина h	Сумма	|Сумма − точное|
2	1	1	3
4	0,5	2,25	1,75
8	0,25	3,0625	0,9375
16	0,125	3,5156	0,4844
32	0,0625	3,7539	0,2461
64	0,0313	3,876	0,124

Сумма прямоугольников2,254 шт. шириной 0,5.

Точное значение4Оно найдено через первообразную, а не измерено по рисунку.

Погрешность1,75Стремится к нулю при увеличении n.

Σ

При n = 4 сумма равна 2,25, точное значение — 4.Разница 1,75. Удвой n — и она уменьшится примерно вдвое для крайних точек и вчетверо для середины.

↺ Вернуть пример

Проведи эксперимент по шагам:

1. Посчитай левую сумму при $n=4$ на бумаге и сверься с лабораторией.
2. Найди точное значение по формуле Ньютона–Лейбница.
3. Посмотри, при каком $n$ погрешность левой суммы станет меньше $0{,}1$.
4. Переключись на высоту по середине и повтори пункт 3. Во сколько раз меньше частей потребовалось?

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши четыре вещи: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или приближённое, и какое допущение модели использовано.

Например: «$9$ метров, точное значение, при допущении, что закон $v(t)=t^2$ выполняется на всём промежутке и колёса не проскальзывают». Число без такого паспорта невозможно проверить и опасно использовать.

Станция 3. Арка над входом

Декоративная арка ограничена сверху параболой $y=4-x^2$, снизу — прямой $y=2x+1$ (в метрах). Сколько квадратных метров листа уйдёт на неё?

Сначала посчитай сам, потом введи ответ в лабораторию — числа появятся только после проверки.

Лаборатория первообразной

Площадь считается вычитанием

Выбери две функции и отрезок. Площадь фигуры между графиками — это интеграл разности, а интеграл считается через первообразную.

F(b) − F(a)

Верхняя функция f022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³График этой функции рисуется сплошной линией.

Нижняя функция g022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³Значение «0» — это ось абсцисс: получится площадь под графиком.

Нижний предел a −3От −8 до 8.

Верхний предел b 1Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Графики пересекаются при x = −3; 1.Взять пределы по пересечениям

ПлощадьМожно написать дробью: 9/2 или 4,5.

Проверить

?

Вычисли площадь сам.Найди разность функций, её первообразную и подставь пределы. Числа появятся после нажатия «Проверить».

↺ Вернуть пример

Арка по шагамРазбираем вместе

Границы. Ищем пересечения:

$4-x^2=2x+1\ \Longleftrightarrow\ x^2+2x-3=0\ \Longleftrightarrow\ x=-3\ \text{или}\ x=1.$

Кто сверху. При $x=0$ парабола даёт $4$, прямая — $1$. Сверху парабола.

Разность и интеграл.

$S=\int_{-3}^{1}\bigl(4-x^2-2x-1\bigr)dx=\int_{-3}^{1}\bigl(3-2x-x^2\bigr)dx=\left(3x-x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-3}^{1}.$

Верхний предел: $3-1-\dfrac13=\dfrac53$. Нижний предел: $-9-9+9=-9$.

$S=\frac53+9=\frac{32}{3}\approx10{,}7\ \text{м}^2.$

Проверка. Ширина арки $4$ м, наибольшая высота разности достигается при $x=-1$ и равна $3+2-1=4$ м. Фигура вписана в прямоугольник площади $16\ \text{м}^2$ и занимает от него около двух третей — правдоподобно для параболической фигуры.

Проверка понимания

На промежутке движения скорость тела меняет знак. Что даёт интеграл от v(t) по этому промежутку?

• А. Пройденный путь
• Б. Среднюю скорость
• В. Перемещение — смещение относительно старта

Итоговый набор задач

1. Найди общий вид первообразной для $f(x)=8x^3-6x+1$.
2. Найди первообразную функции $f(x)=x^2$, график которой проходит через точку $(3;10)$.
3. Вычисли $\displaystyle\int_0^2(3x^2+2x)\,dx$.
4. Вычисли $\displaystyle\int_1^4\sqrt{x}\,dx$.
5. Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$.
6. Найди площадь под графиком $y=x^3$ на отрезке $[0;2]$ и сравни её с левой суммой при $n=4$.
7. Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y=4-x^2$ и прямой $y=2x+1$.
8. Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2$, осью $Ox$ и прямыми $x=-1$, $x=2$.
9. Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y=x^2-4$ и осью $Ox$.
10. Скорость тела $v(t)=3t^2$ м/с. Найди путь за первые $2$ с и среднюю скорость.
11. Расход воды $q(t)=10-2t$ л/с. Сколько воды вытечет до момента, когда поток иссякнет?
12. Сила упругости $F(x)=50x$ Н. Найди работу при растяжении на $0{,}4$ м.
13. Найди положительное $b$, при котором $\displaystyle\int_0^b x^2\,dx=9$.
14. Скорость $v(t)=t-3$ м/с на промежутке $[0;5]$ с. Найди перемещение и путь.

Ответы, проверки и допущения

1. $F(x)=2x^4-3x^2+x+C$. Проверка: $F'(x)=8x^3-6x+1$.
2. $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+C$; из $9+C=10$ получаем $C=1$, то есть $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+1$.
3. $(x^3+x^2)\Big|_0^2=8+4=12$.
4. $\sqrt{x}=x^{1/2}$, первообразная $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$; ответ $\dfrac23(8-1)=\dfrac{14}{3}\approx4{,}67$.
5. $\sin x\Big|_0^{\pi/2}=1-0=1$.
6. Точная площадь: $\dfrac{x^4}{4}\Big|_0^2=4$. Левая сумма при $n=4$: $h=0{,}5$, значения $0;\ 0{,}125;\ 1;\ 3{,}375$, сумма $4{,}5\cdot0{,}5=2{,}25$. Черновая оценка занижена на $1{,}75$ — почти вдвое: функция растёт слишком быстро для четырёх ступенек.
7. $S=\dfrac{32}{3}\approx10{,}7$ — совпадает с разбором станции 3.
8. График лежит выше оси, поэтому $S=\displaystyle\int_{-1}^{2}x^2dx=\dfrac83+\dfrac13=3$.
9. Парабола пересекает ось при $x=\pm2$ и на $[-2;2]$ лежит ниже оси. Интеграл равен $\left(\dfrac{x^3}{3}-4x\right)\Big|_{-2}^{2}=\left(\dfrac83-8\right)-\left(-\dfrac83+8\right)=-\dfrac{32}{3}$, поэтому площадь равна $\dfrac{32}{3}\approx10{,}7$.
10. $s=t^3\Big|_0^2=8$ м; средняя скорость $\dfrac82=4$ м/с (значение в середине промежутка равно лишь $3$ м/с).
11. Поток иссякает при $10-2t=0$, то есть $t=5$ с. $V=(10t-t^2)\Big|_0^5=50-25=25$ л.
12. $A=\displaystyle\int_0^{0{,}4}50x\,dx=25x^2\Big|_0^{0{,}4}=25\cdot0{,}16=4$ Дж.
13. $\dfrac{b^3}{3}=9$, значит $b^3=27$ и $b=3$.
14. Перемещение: $\left(\dfrac{t^2}{2}-3t\right)\Big|_0^5=12{,}5-15=-2{,}5$ м. Скорость меняет знак при $t=3$: на $[0;3]$ интеграл равен $-4{,}5$, на $[3;5]$ равен $2$. Путь $=4{,}5+2=6{,}5$ м. Модуль перемещения меньше пути — тело разворачивалось.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах набора ответ точный, а в каких — приближённый? Что именно делает его приближённым: метод или округление?
2. Какую задачу можно решить двумя способами и получить одинаковый ответ?
3. Задачи 7 и 9 дали одно и то же число $\dfrac{32}{3}$. Совпадение это или у фигур есть общая причина?
4. Какое реальное ограничение не учитывает модель разгона электробуса?

Возможные ответы: интегралы во всех задачах вычислены точно, приближение появляется только при переходе к десятичной записи и в черновой оценке станции 2; задачу 3 можно проверить суммами прямоугольников по серединам, а задачу 6 — сравнить с оценкой снизу и сверху; в задачах 7 и 9 разность функций в обоих случаях оказывается квадратным трёхчленом с корнями на расстоянии $4$ и одинаковым старшим коэффициентом $-1$, поэтому фигуры конгруэнтны — одна получается из другой сдвигом; модель разгона не учитывает ограничение мощности, проскальзывание колёс, уклон дороги и то, что закон $v(t)=t^2$ не может выполняться долго.

✦ Мост дальше

Интеграл — не только про площадь. Дальше в 11 классе он появится там, где нужно сложить бесконечно много бесконечно малых кусочков:

• в телах вращения объём собирается из тонких дисков, и площадь круга $\pi r^2$ становится подынтегральной функцией;
• в статистике непрерывное распределение задают плотностью, а вероятность попасть в промежуток равна площади под её графиком; полная площадь при этом равна единице;
• в физике одна и та же формула даёт импульс по силе, заряд по току и энергию по мощности.

Суть везде одна: если известна скорость изменения, интеграл возвращает накопленное. Это, пожалуй, самая переносимая идея всего школьного курса анализа.

← Накопление величины · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным