1.2. Что рассказывает остаток

6 класс · Делимость◷ 30–35 минут◇ БазаНужно знать: умножение и деление натуральных чисел

$53$ участника экспедиции садятся в лодки по $8$ человек. Сколько лодок заполнится целиком? Сколько человек останется? И сколько лодок понадобится на самом деле?

◎ После урока ты сможешь

• записывать деление в форме делимое = делитель · частное + остаток
• проверять, допустим ли остаток
• решать прямые и обратные задачи с остатками

Разложи по группам

Лаборатория остатков

Разложи поровну по группам

Меняй числа и наблюдай: остаток всегда меньше размера одной полной группы.

живое деление

Сколько предметов 53

Предметов в группе 8

53 = 8 · 6 + 5

Удалось собрать 6 полных групп и осталось 5.

Проверка: остаток 5 меньше делителя 8.

↺ Вернуть пример 53 : 8

В нашем сюжете шесть лодок заполнятся целиком, а пять человек останутся:

$53=8\cdot6+5.$

Здесь $53$ — делимое, $8$ — делитель, $6$ — неполное частное, $5$ — остаток.

∴ Деление с остатком

Для целого $a\ge0$ и натурального делителя $b$ существует единственная запись $a=bq+r,$ где $q$ — целое неотрицательное частное, а остаток удовлетворяет условию $0\le r<b$.

Остаток всегда меньше делителя. Иначе из оставшихся предметов можно было бы собрать ещё одну полную группу.

Например, равенство $53=8\cdot5+13$ арифметически верно, но это не деление с остатком: $13\ge8$. Из тринадцати оставшихся человек можно заполнить ещё одну лодку, после чего получится правильная запись $53=8\cdot6+5$.

Что означает ответ в задаче

Частное и остаток ещё нужно истолковать.

• Если нужны только полные группы, ответ — $q$ групп и $r$ оставшихся предметов.
• Если нужно разместить всех, при $r>0$ понадобится $q+1$ группа.
• Если процесс идёт по кругу, остаток показывает позицию в новом цикле.

Для $53$ участников нужны $7$ лодок: шесть полных и одна неполная.

Найдём числа с заданным остаткомРазбираем вместе

Какие числа от $20$ до $50$ при делении на $6$ дают остаток $4$?

Любое такое число имеет вид

$n=6q+4.$

Начинаем с первого подходящего числа в диапазоне и каждый раз прибавляем $6$:

$22,28,34,40,46.$

Следующее число $52$ уже вышло за верхнюю границу.

Остатки создают ритмы

При делении последовательных чисел на $4$ остатки повторяются:

$0,1,2,3,0,1,2,3,\ldots$

Поэтому остаток удобно использовать для расписаний, чередований и циклических узоров. Чётные числа дают остаток $0$ при делении на $2$, нечётные — остаток $1$.

Проверка понимания

Какая запись является правильным делением 68 на 7 с остатком?

• А. 68 = 7 · 8 + 12
• Б. 68 = 7 · 9 + 5
• В. 68 = 7 · 10 − 2

! Ловушка: ответить частным вместо количества мест

$83:12=6$ (остаток $11$), но для перевозки всех $83$ человек нужны не шесть, а семь автобусов. Всегда возвращай числа в сюжет задачи.

Практика

1. Выполни деление $67$ на $9$ с остатком.
2. Выполни деление $125$ на $12$ с остатком и проверь равенством.
3. В коробку помещается $12$ кружек. Сколько коробок нужно для $83$ кружек?
4. Найди все числа от $20$ до $50$, которые при делении на $6$ дают остаток $4$.
5. Найди наименьшее число больше $100$, которое при делении на $7$ даёт остаток $3$.
6. Какие остатки возможны при делении на $5$? А на $1$?
7. Число записано как $n=8k+7$. Какой остаток даёт $n+3$ при делении на $8$?
8. Сегодня понедельник. Какой день недели будет через $100$ дней?
9. Придумай число, которое при делении на $4$ даёт остаток $3$, а при делении на $2$ — остаток $1$. Объясни, почему это не случайность.

Ответы

1. $67=9\cdot7+4$.
2. $125=12\cdot10+5$.
3. Семь коробок: шесть полных и одна для оставшихся $11$ кружек.
4. $22,28,34,40,46$.
5. $101=7\cdot14+3$.
6. При делении на $5$: $0,1,2,3,4$; при делении на $1$ только $0$.
7. $n+3=8k+10=8(k+1)+2$, остаток $2$.
8. $100=7\cdot14+2$, значит через два дня после понедельника — среда.
9. Например, $7$. Любое число вида $4k+3=2(2k+1)+1$ нечётно.

Итог

• Правильный остаток неотрицателен и всегда меньше делителя.
• Запись $a=bq+r$ одновременно хранит число полных групп и то, что осталось.
• В циклических задачах важен именно остаток, а не всё частное.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным