Тригонометрия

10 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: прямоугольный треугольник, координатная плоскость, окружность, понятие функции

В 8 классе синус был отношением сторон, и жил он только внутри прямоугольного треугольника. Значит, аргументом мог быть лишь острый угол: $\sin 120°$ там просто не имело смысла.

Но качели, приливы, переменный ток и вращение колеса обозрения не помещаются в треугольник. Им нужен угол, который растёт без остановки: $90°$, $360°$, $750°$, а иногда и отрицательный. В этой главе мы перенесём синус, косинус и тангенс на единичную окружность — и они станут функциями числа, определёнными на всей числовой прямой.

◎ После урока ты сможешь

• связывать угол поворота с точкой единичной окружности и переходить между градусами и радианами
• находить значения синуса, косинуса и тангенса для табличных углов любой четверти
• читать графики тригонометрических функций и объяснять периодичность
• преобразовывать выражения по основному тождеству и формулам сложения
• решать простейшие тригонометрические уравнения и записывать серии решений

◆ Два разных синуса — на самом деле один

Для острого угла $\alpha$ новое определение даёт ровно то же число, что и старое: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $1$ противолежащий катет и есть ордината точки поворота. Мы не отменяем тригонометрию острого угла, а расширяем её область определения.

Входная диагностика

Отвечай сначала без вычислений, где это возможно.

1. Чему равен $\sin 30°$?
2. Чему равен $\cos 60°$?
3. Что связывает $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ для острого угла $\alpha$?
4. Чему равна длина окружности радиуса $1$?
5. Какая точка плоскости имеет координаты $(1;0)$?
6. Если точка лежит на окружности радиуса $1$ с центром в начале координат, чему равно $x^2+y^2$?
7. Что означает запись «функция периодическая с периодом $T$»?
8. Сколько решений у уравнения $x^2 = 4$?

Ответы для самопроверки

1. $\dfrac{1}{2}$.
2. $\dfrac{1}{2}$.
3. Основное тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$; ещё $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$.
4. $C=2\pi R=2\pi$.
5. Точка на оси абсцисс, на расстоянии $1$ вправо от начала координат.
6. Единице: это уравнение окружности радиуса $1$.
7. Значения повторяются через $T$, то есть $f(x+T)=f(x)$ при всех допустимых $x$.
8. Два: $x=2$ и $x=-2$. Привыкай: у уравнения бывает больше одного корня.

Договорённости главы

• Единичная окружность всегда одна и та же — центр в начале координат, радиус $1$. Положительное направление обхода — против часовой стрелки.
• Углы записываем в градусах, когда удобно считать, и в радианах, когда речь о функции числа. Радиан — число, поэтому у $\sin 2$ и $\sin 2°$ разные значения.
• Точные значения не заменяем десятичными: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, а не $0{,}866$. Приближение отмечаем знаком $\approx$.
• Ответ уравнения — не одно число, а серия: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$, где $n\in\mathbb{Z}$.
• Лаборатории вычисляют координаты честно, но чертёж от руки и мысленная картинка окружности остаются главным инструментом.

Маршрут главы

1. Единичная окружность и радианы — переносим синус и косинус с треугольника на окружность и учимся приводить любой угол к одному обороту.
2. Графики и периодичность — разворачиваем окружность в синусоиду и читаем свойства функции по графику.
3. Тождества — из одной функции получаем остальные и упрощаем выражения.
4. Формулы сложения — считаем $\sin 75°$ и выводим формулы двойного угла.
5. Тригонометрические уравнения — решаем по окружности и записываем серии решений.
6. Практикум — моделируем колесо обозрения и собираем всю главу в одну задачу.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с точки, которая едет по единичной окружности.