6.4 Периметр и площадь

6 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: прямоугольник, дроби, перевод единиц, формулы

Для ограды нужен метраж по границе участка, для газона — количество покрытия внутри. Даже у одной фигуры это разные величины: периметр и площадь.

◎ После урока ты сможешь

• различать периметр и площадь по смыслу и единицам
• применять формулы прямоугольника и квадрата
• находить площадь составной фигуры разбиением или дополнением
• оценивать площадь на квадратной сетке и честно отмечать приближение

Граница и внутреннее место

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$P=2(a+b), \qquad S=ab.$

Периметр измеряется единицами длины: см, м. Площадь — квадратными единицами: $\text{см}^2$, $\text{м}^2$. Складывать $7$ м и $12\text{ м}^2$ нельзя: величины разного вида.

◆ Сначала одна единица

В формуле нельзя молча умножать $3$ м на $200$ см. Переведи $200$ см в $2$ м и получи $6\text{ м}^2$ либо переведи $3$ м в $300$ см и получи $60\,000\text{ см}^2$ — это одна и та же площадь.

Измерение фигур

Граница, поверхность и окружность

Единица длины превращается в квадратную единицу только при измерении площади.

см · см²

Периметр и площадьОценка по сеткеКруг и окружность

ПрямоугольникГ-образнаяСтупеньки

Ширина6 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Высота4 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Ширина выреза2 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Высота выреза1 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Считать клеткиРазбить на частиДополнить и вычесть

Периметр, см

Площадь, см²

Проверить

?

Вычисли периметр и площадь.Результаты появятся только после нажатия «Проверить».

↺ Вернуть пример

Две стратегии для составной фигуры

Разбиение: раздели фигуру на неперекрывающиеся прямоугольники и сложи площади.

Дополнение: дострой до большого прямоугольника и вычти площадь выреза.

Обе стратегии должны дать одно число. Если результаты различаются, проверь, не пересчитана ли общая часть дважды и совпадают ли единицы.

Угол вырезали, площадь уменьшиласьРазбираем вместе

Из угла прямоугольника $6\times4$ вырезали прямоугольник $2\times1$. Площадь стала

$S=6\cdot4-2\cdot1=22.$

Периметр остался равен $20$: удалённые участки границы длиной $2$ и $1$ заменились внутренними участками тех же длин. Площадь изменилась, а периметр в этом частном случае — нет.

Почему единица возводится в квадрат

В одном метре $100$ сантиметров. Квадрат $1\text{ м}\times1\text{ м}$ содержит $100$ рядов по $100$ квадратных сантиметров:

$1\text{ м}^2=10\,000\text{ см}^2.$

Коэффициент перевода длины возводится в квадрат вместе с единицей.

Приближённая площадь на сетке

Полностью внутренние клетки дают нижнюю оценку. Если добавить все клетки, которых фигура касается, получится верхняя. Для быстрой средней оценки пограничную клетку иногда считают за половину, но результат помечают знаком $\approx$.

Измерение фигур

Граница, поверхность и окружность

Единица длины превращается в квадратную единицу только при измерении площади.

см · см²

Периметр и площадьОценка по сеткеКруг и окружность

ПрямоугольникГ-образнаяСтупенькиКруг

Ширина8 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Высота5 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

Средняя оценка, см²

Проверить

?

Запиши среднюю оценку площади.Результаты появятся только после нажатия «Проверить».

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Пол — прямоугольник 3 м на 200 см. Какова его площадь?

• А. 600 м²
• Б. 6 м
• В. 6 м²

! Равные площади — ещё не равные периметры

Периметр и площадь считают двумя именами одной фигуры, поэтому из равенства одного делают вывод о равенстве другого. Но у прямоугольников $6\times6$ см и $2\times18$ см площадь одна и та же, $36\text{ см}^2$, а периметры разные: $2(6+6)=24$ см и $2(2+18)=40$ см. Работает и наоборот: при одинаковом периметре $20$ см квадрат $5\times5$ даёт $25\text{ см}^2$, а прямоугольник $8\times2$ — только $16\text{ см}^2$. Если форма меняется, считай обе величины отдельно, а не переноси вывод с одной на другую.

Практика

1. Найди периметр и площадь прямоугольника $8\text{ см}\times3\text{ см}$.
2. Найди периметр и площадь квадрата со стороной $5$ м.
3. Прямоугольник имеет размеры $2$ м и $50$ см. Найди $P$ и $S$ в метрах и квадратных метрах.
4. Из угла прямоугольника $6\times4$ вырезали прямоугольник $2\times1$. Найди площадь и периметр оставшейся фигуры.
5. Прямоугольники $4\times3$ и $2\times3$ приложили сторонами длиной $3$, без перекрытия. Найди площадь и периметр объединения.
6. Два прямоугольника имеют площадь $12\text{ см}^2$: $1\times12$ и $3\times4$. Сравни их периметры.
7. Вырази $1\text{ м}^2$ в квадратных сантиметрах и $25\,000\text{ см}^2$ в квадратных метрах.
8. Внутри фигуры $17$ полных клеток и $6$ пограничных. Дай нижнюю, половинную и верхнюю оценки площади в клетках.
9. Пол $6\times4$ м покрывают квадратными плитками $0{,}5\times0{,}5$ м без зазоров. Сколько плиток нужно?
10. Все линейные размеры прямоугольника увеличили в $2$ раза. Во сколько раз изменились периметр и площадь?

Ответы и пояснения

1. $P=2(8+3)=22$ см; $S=8\cdot3=24\text{ см}^2$.
2. $P=20$ м; $S=25\text{ м}^2$.
3. $50$ см $=0{,}5$ м; $P=2(2+0{,}5)=5$ м, $S=2\cdot0{,}5=1\text{ м}^2$.
4. $S=24-2=22$ квадратные единицы; $P=6+3+2+1+4+4=20$ единиц.
5. Получается прямоугольник $6\times3$: $S=18$, $P=18$.
6. $P_{1\times12}=26$ см, $P_{3\times4}=14$ см. Одинаковая площадь не определяет периметр.
7. $10\,000\text{ см}^2$; $2{,}5\text{ м}^2$.
8. Нижняя $17$, половинная $17+6:2=20$, верхняя $23$; среднюю записываем $S\approx20$ клеток.
9. Площадь пола $24\text{ м}^2$, плитки $0{,}25\text{ м}^2$; нужно $24:0{,}25=96$ плиток.
10. Периметр увеличится в $2$ раза, площадь — в $4$ раза.

Итог

• Периметр измеряет границу, площадь — внутреннюю область.
• Для составной фигуры работают разбиение и дополнение; результат удобно проверять другим способом.
• При переводе площади коэффициент перевода длины возводится в квадрат.
• Оценка по пограничным клеткам приблизительна и должна иметь честное обозначение.

← Треугольники и четырёхугольники · Дальше: окружность и круг →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным