3.3 Линейная функция

7 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: координатная плоскость, прямая пропорциональность, таблица значений

Тариф такси из прошлого урока — это не одно число, а целая зависимость: $C=150+35x$. Одному значению $x$ отвечает ровно одно значение $C$. Такую зависимость называют функцией, и у неё есть портрет — график.

◎ После урока ты сможешь

• записывать линейную функцию в виде y = kx + b и находить её значения
• объяснять, за что отвечают k и b, и предсказывать вид графика
• строить график линейной функции по двум точкам на честной сетке
• читать k, b и нули функции по готовому графику

Прогноз до вычислений

У двух прокатов разные условия: $C=150+35x$ и $C=150+50x$.

1. Чем будут отличаться их графики: высотой в точке $x=0$ или наклоном?
2. А если сравнить $C=150+35x$ и $C=300+35x$?

Запиши предположения, потом проверь их в лаборатории.

Эксперимент: что делает каждое из двух чисел

Меняй по одному числу и смотри, что именно меняется в рисунке. Клетка сетки — одна единица по каждой оси, поэтому наклон можно измерять.

Лаборатория линейной функции

Два числа задают всю прямую

Меняй k и b и следи, что именно меняется в рисунке: наклон или высота.

y = kx + b

Угловой коэффициент k 2

−+

От −5 до 5, шаг 0,5

Свободный член b −3

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

Таблица значений для y = 2x − 3

x	−2	−1	0	1	2
y	−7	−5	−3	−1	1

ƒ

y = 2x − 3; функция возрастает: график идёт вверх слева направо.График пересекает ось y в точке (0; −3), а ось x — в точке (1,5; 0).

↺ Вернуть пример

Вывод эксперимента: $b$ поднимает и опускает всю прямую, не меняя её наклон, а $k$ поворачивает прямую вокруг точки на оси $y$.

Определение и смысл коэффициентов

∴ Линейная функция

Линейной функцией называют зависимость вида

$y=kx+b,$

где $k$ и $b$ — числа, а $x$ — независимая переменная. Число $k$ называют угловым коэффициентом, число $b$ — свободным членом.

График линейной функции — прямая. Чтобы её построить, достаточно двух точек: прямая через две точки проходит единственная.

• $b$ — это значение функции при $x=0$, то есть ордината точки пересечения графика с осью $y$: график проходит через $(0;b)$.
• $k$ — «шаг подъёма»: если увеличить $x$ на $1$, то $y$ изменится ровно на $k$.
• При $k>0$ функция возрастает, при $k<0$ убывает, при $k=0$ график — горизонтальная прямая $y=b$.
• При $b=0$ получается $y=kx$ — уже знакомая прямая пропорциональность, её график проходит через начало координат.

◆ Наклон измеряется, а не угадывается

Чтобы найти $k$ по графику, возьми на прямой две точки с целыми координатами, сдвинься от левой к правой ровно на $1$ клетку вправо и посчитай, на сколько клеток пришлось подняться или опуститься. Подъём — это $k$ со знаком плюс, спуск — со знаком минус. Если удобнее взять сдвиг на $2$ клетки, раздели изменение $y$ на $2$.

Строим график y = −2x + 4Разбираем вместе

Берём два удобных значения аргумента.

При $x=0$: $y=-2\cdot0+4=4$, точка $(0;4)$.

При $x=2$: $y=-2\cdot2+4=0$, точка $(2;0)$.

Отмечаем обе точки и проводим через них прямую. Контрольная третья точка: при $x=1$ получаем $y=2$, и точка $(1;2)$ действительно лежит на проведённой прямой.

Так как $k=-2<0$, функция убывает: сдвиг на $1$ вправо опускает график на $2$ клетки.

Находим нуль функцииРазбираем вместе

Нуль функции — значение $x$, при котором $y=0$; на рисунке это абсцисса точки пересечения с осью $x$.

Для $y=4x-5$ решаем уравнение $4x-5=0$:

$4x=5,\qquad x=\frac{5}{4}=1{,}25.$

График пересекает ось $x$ в точке $(1{,}25;0)$, а ось $y$ — в точке $(0;-5)$.

Обратная задача: прочитать формулу по картинке

Теперь наоборот — прямая дана, а $k$ и $b$ нужно найти. Сначала прочитай ответ на рисунке, потом нажми «Проверить».

Лаборатория линейной функции

Прочитай прямую: чему равны k и b

Сетка честная: одна клетка — одна единица по каждой оси. Найди наклон и точку на оси y.

y = kx + b

Прямая № 1 из 6Следующая прямая

Мой k

Мой b

Проверить

?

Прочитай по графику k и b.Свободный член b — ордината точки пересечения с осью y. Угловой коэффициент k — изменение y при сдвиге на 1 вправо.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

График функции y = kx + b проходит через точки (0; 3) и (2; 7). Чему равны k и b?

• А. k = 2, b = 3
• Б. k = 4, b = 3
• В. k = 3, b = 2

! k отвечает за наклон, b — за высоту

Три ловушки подряд.

Первая: перепутать роли. В записи $y=7-2x$ угловой коэффициент равен $-2$, а свободный член равен $7$, хотя $7$ стоит первым.

Вторая: решить, что «чем больше $k$, тем выше график». Прямая $y=5x-10$ при $x=1$ ниже, чем $y=x+1$: наклон больше, а высота меньше.

Третья: проводить прямую по двум точкам, взятым слишком близко друг к другу. Маленькая неточность в отметке даёт заметную ошибку в наклоне — бери точки подальше.

Практика

1. Найди значение функции $y=4x-5$ при $x=3$.
2. Найди нуль функции $y=4x-5$.
3. Принадлежит ли точка $(2;1)$ графику функции $y=3x-5$?
4. Принадлежит ли точка $(-1;4)$ графику функции $y=-2x+1$?
5. Назови $k$ и $b$ для функции $y=7-2x$.
6. Возрастает или убывает функция $y=-0{,}5x+3$? Ответ обоснуй.
7. Найди точки пересечения графика $y=3x-6$ с осями координат.
8. Построй график функции $y=x+2$ по двум точкам и назови ещё одну точку графика.
9. Какая из функций задаёт прямую пропорциональность: $y=5x$, $y=5x+1$, $y=5$?
10. Прямая проходит через точки $(0;3)$ и $(2;7)$. Запиши формулу функции.
11. График функции $y=kx+1$ проходит через точку $(2;5)$. Найди $k$.
12. При каком значении $x$ значения функций $y=2x-1$ и $y=-x+5$ совпадают? Чему равно это общее значение?

Ответы и пояснения

1. $y=4\cdot3-5=7$.
2. $4x-5=0$, значит $x=\dfrac{5}{4}=1{,}25$.
3. Да: $3\cdot2-5=1$, и ордината точки тоже равна $1$.
4. Нет: $-2\cdot(-1)+1=3$, а ордината точки равна $4$.
5. $k=-2$, $b=7$; запись удобнее читать как $y=-2x+7$.
6. Убывает, потому что $k=-0{,}5<0$: каждый шаг вправо опускает график на $0{,}5$.
7. С осью $y$ — точка $(0;-6)$; с осью $x$ — решение уравнения $3x-6=0$, то есть точка $(2;0)$.
8. Точки $(0;2)$ и $(-2;0)$; например, $(1;3)$ тоже лежит на графике, так как $1+2=3$.
9. $y=5x$: у неё $b=0$, и график проходит через начало координат.
10. $b=3$; за $2$ шага вправо $y$ вырос на $7-3=4$, значит $k=2$ и $y=2x+3$.
11. Подставим точку: $5=k\cdot2+1$, откуда $2k=4$ и $k=2$.
12. $2x-1=-x+5$, то есть $3x=6$ и $x=2$; тогда $y=2\cdot2-1=3$. Графики пересекаются в точке $(2;3)$.

Итог

• Линейная функция $y=kx+b$ полностью задана двумя числами: наклоном $k$ и высотой $b$.
• График — прямая; для построения достаточно двух точек, третья служит проверкой.
• $b$ читается на оси $y$, а $k$ — по подъёму за один шаг вправо.
• Уравнение $kx+b=0$ находит нуль функции, а равенство двух линейных функций — их общую точку.

Последняя задача практики уже была системой, только записанной в одну строку. Дальше научимся решать такие задачи, когда неизвестных двое.

← Текстовые задачи через уравнение · Дальше: системы двух уравнений →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным