5.6. Формулы и модели

6 класс · Буквы и формулы◷ 45–50 минут◇ БазаНужно знать: подстановка, таблицы и упрощение выражений

В тарифе такси есть подача за $150$ рублей и плата $35$ рублей за каждый километр. Если длина поездки равна $x$ километрам, где $x\geq0$, стоимость $C$ описывает формула

$C=150+35x.$

Знак равенства сообщает, что величина слева и выражение справа имеют одно значение. В таком виде формулы удобно вычислять величину слева по известным данным справа.

◎ После урока ты сможешь

• различать выражение, равенство и формулу зависимости
• объяснять смысл каждой буквы и постоянного числа в модели
• вычислять и табулировать формулу, проверять единицы и крайние случаи

Один тариф — много поездок

Меняй длину поездки и наблюдай, какая часть стоимости остаётся постоянной, а какая растёт. Таблица использует один и тот же план для всех строк.

Лаборатория формул

Стоимость поездки на такси

Фиксированная посадка плюс оплата каждого километра.

C = f + r · x

ВычислитьТаблицаПодобрать вход

Посадка, ₽ 150

−+

От 0 до 10000, шаг 1 ₽.

Тариф, ₽/км 35

−+

От 0 до 10000, шаг 0,01 ₽/км.

Расстояние, км 8

−+

От 0 до 1000, шаг 0,1 км.

C = f + r · x→430 ₽

Проверка смысла величин

Условия модели выполнены

Все входы лежат в допустимых диапазонах.

1. 1

   Подстановкаf → 150

2. 2

   Подстановкаr → 35

3. 3

   Подстановкаx → 8

4. 4

   Действие35 · 8 → 280

5. 5

   Действие150 + 280 → 430

ƒ

Стоимость поездки: 430 ₽.Единицы входов подсказывают единицу результата и помогают проверить смысл формулы.

↺ Вернуть пример

При $x=8$ получаем

$C=150+35\cdot8=150+280=430\text{ рублей}.$

Для $x=0;1;3;5;8$ стоимости равны соответственно $150$, $185$, $255$, $325$ и $430$ рублей.

∴ Формула

Формула — равенство, которое выражает одну величину через другие. Чтобы формула была моделью ситуации, нужно указать смысл букв, единицы измерения и допустимые значения.

Переменные и постоянные

В модели $C=f+rx$:

• $x$ и $C$ меняются от поездки к поездке;
• $f=150$ рублей — фиксированная плата;
• $r=35$ рублей за километр — ставка;
• произведение $rx$ измеряется в рублях.

Единицы помогают проверить запись: «рублей за километр» умножаются на километры, остаются рубли. Складывать $f$ и $rx$ можно, потому что обе части — деньги.

Формула периметраРазбираем вместе

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$

$P=2(a+b).$

В геометрической модели $a$ и $b$ — положительные длины, измеренные в одной единице.

При $a=4{,}5$ см и $b=2$ см получаем

$P=2(4{,}5+2)=13\text{ см}.$

Если обе стороны измерены в сантиметрах, периметр тоже выражен в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах.

Крайний случай рассказывает о модели

При $x=0$ формула такси даёт $C=150$. Это не ошибка: модель говорит, что подача оплачивается даже без пройденного километра. Поэтому зависимость не является прямой пропорциональностью — при нулевом $x$ стоимость не равна нулю.

Если реальная служба не принимает поездки нулевой длины или округляет расстояние, это нужно добавить к условиям. Формула всегда описывает упрощённую ситуацию, а не весь мир автоматически.

◆ Проверка модели

Спроси: что означает каждая буква? согласованы ли единицы? разумен ли результат при нуле и небольших значениях? какие ограничения реальной ситуации не записаны в формуле?

Проверка понимания

Подача стоит 250 рублей, а каждый километр — 40 рублей. Какая формула задаёт стоимость поездки длиной m километров?

• А. 40m
• Б. 250 + 40m
• В. 290m

Из сюжета в формулу

Покупка тетрадейРазбираем вместе

Папка стоит $120$ рублей, одна тетрадь — $q$ рублей, покупают $n$ тетрадей. Общая стоимость

$S=120+qn.$

Здесь нужно знать оба значения $q$ и $n$. При $q=28$, $n=6$ получаем $S=120+168=288$ рублей.

В этой модели $q\geq0$, а $n$ — целое неотрицательное число: отрицательная цена или часть тетради не соответствуют сюжету.

Если папка не нужна, модель изменится до $S=qn$: постоянная часть исчезнет.

! Буква без паспорта

Формула $s=vt$ полезна только после пояснения: $s$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время, а единицы согласованы. При $v$ в километрах в час и $t$ в минутах нужна предварительная смена единиц.

Практика

1. Найди $C=150+35x$ при $x=6$ км.
2. Какая часть формулы $S=80+25n$ постоянна? Что означает коэффициент $25$?
3. Составь формулу: входной билет стоит $300$ рублей, аренда коньков — ещё $120$ рублей за каждый час $h$.
4. По формуле из задания 3 найди стоимость при $h=2{,}5$.
5. Заполни таблицу для $P=2(a+3)$ при $a=1;2;4$.
6. Проверь единицы: скорость $v$ км/ч умножили на время $t$ ч. В каких единицах получится $vt$?
7. Формула перевода температуры $F=1{,}8C+32$ связывает числовые значения температуры $C$ в градусах Цельсия и $F$ в градусах Фаренгейта. Найди $F$ при $C=0$ и $C=20$.
8. Чем $y=5x$ отличается от $y=40+5x$ при $x=0$?
9. Для печати берут $50$ рублей за подготовку и $8$ рублей за страницу. Запиши формулу и найди цену $12$ страниц.
10. Ученик записал стоимость $n$ ручек по $45$ рублей и пакета за $20$ рублей как $65n$. Исправь модель.
11. Назови одно ограничение модели $s=60t$ для движения автомобиля.
12. Придумай ситуацию для формулы $A=200+15x$ и укажи единицы всех величин.

Ответы и пояснения

1. $150+35\cdot6=360$ рублей.
2. $80$ — постоянная часть; $25$ — прибавка на одну единицу $n$ в единицах величины $S$.
3. $C=300+120h$.
4. $300+120\cdot2{,}5=600$ рублей.
5. $8$, $10$, $14$.
6. В километрах: $(\text{км}/\text{ч})\cdot\text{ч}=\text{км}$.
7. $32\,°\text{F}$ и $68\,°\text{F}$.
8. Первая даёт $0$, вторая — $40$; у второй есть постоянная часть.
9. $C=50+8n$; $C=50+96=146$ рублей.
10. $C=45n+20$: пакет оплачивается один раз.
11. Например, постоянная скорость $60$ км/ч, отсутствие остановок и согласованные единицы времени.
12. Возможны разные ответы. Например, аренда: $200$ рублей за вход и $15$ рублей за минуту; $x$ — минуты, $A$ — рубли.

Итог

• Формула связывает величины и позволяет повторять один план для разных данных.
• Числа в формуле могут задавать постоянную часть или ставку изменения.
• Хорошая модель сопровождается единицами, ограничениями и проверкой крайних случаев.

Осталось связать все идеи главы в одном проекте — практикуме школьной экспедиции.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным