3.2 Площадь под графиком

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: площадь прямоугольника и трапеции, парабола, предел последовательности

Площадь прямоугольника мы считаем с 6 класса, площадь трапеции — со средней школы. А чему равна площадь фигуры, у которой одна сторона — кусок параболы?

Никакой готовой формулы для неё нет. Зато есть приём, который работает всегда: заменить непонятную фигуру понятными и посмотреть, к чему сходится ответ.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать криволинейную трапецию и записывать её границы
• строить нижнюю и верхнюю оценки площади суммами прямоугольников
• оценивать точность приближения и предсказывать, как она улучшится
• понимать определённый интеграл как предел сумм и как площадь со знаком

Прогноз до вычислений

Речь пойдёт о фигуре под графиком $y=x^2$ над отрезком $[0;1]$.

1. Эта фигура целиком помещается в единичный квадрат. Значит, её площадь меньше $1$. А больше или меньше $0{,}5$?
2. Прямая $y=x$ отсекает от квадрата треугольник площади $0{,}5$. Парабола на $[0;1]$ лежит ниже прямой. Что это даёт для оценки?
3. Как думаешь, ответ окажется «красивым» числом?

Запиши свою догадку — в конце урока сверимся.

Криволинейная трапеция

∴ Криволинейная трапеция

Пусть функция $f$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a;b]$. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную

• графиком $y=f(x)$ сверху,
• осью $Ox$ снизу,
• вертикальными отрезками $x=a$ и $x=b$ по бокам.

Обычная трапеция — частный случай: если $f$ линейна, «кривая» сторона оказывается прямой.

Ступенчатая замена

Разобьём отрезок $[a;b]$ на $n$ равных частей шириной

$h=\frac{b-a}{n}.$

На каждой части заменим кусок графика горизонтальным отрезком — построим прямоугольник. Высоту можно взять по левому краю части, по правому или по середине. Сложив площади всех прямоугольников, получим сумму Римана:

$S_n=f(x_1)h+f(x_2)h+\dots+f(x_n)h.$

Для возрастающей функции левый край даёт самый низкий прямоугольник на каждой части, а правый — самый высокий. Значит, левая сумма заведомо меньше искомой площади, а правая — заведомо больше. Настоящая площадь зажата между ними: это вилка, и её ширина честно измеряет нашу неуверенность.

Лаборатория площади

Прямоугольники сгущаются — сумма сходится

Криволинейную трапецию заменяем ступенчатой фигурой. Меняй число частей и следи за последним столбцом таблицы: погрешность уменьшается, а не «дрожит».

Σ f(xᵢ)·h

Подынтегральная функцияПостоянная: f(x) = 2Линейная: f(x) = 2x + 1Наклонная прямая: f(x) = x + 2Парабола: f(x) = x²Купол: f(x) = 4 − x²Сдвинутая парабола: f(x) = x² − 2x + 3Кубическая: f(x) = x³Все функции — многочлены, поэтому точное значение известно и можно честно сравнивать.

Нижний предел a 0От −8 до 8; шаг 0,1.

Верхний предел b 1Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Высота по левому краюВысота по правому краюВысота по середине

n = 1n = 2n = 4n = 8n = 16n = 32n = 64n = 128

Сгущение разбиения при высоте по левому краю

Частей n	Ширина h	Сумма	|Сумма − точное|
2	0,5	0,125	0,2083
4	0,25	0,2188	0,1146
8	0,125	0,2734	0,0599
16	0,0625	0,3027	0,0306
32	0,0313	0,3179	0,0155
64	0,0156	0,3256	0,0078

Сумма прямоугольников0,21884 шт. шириной 0,25.

Точное значение1/3Оно найдено через первообразную, а не измерено по рисунку.

Погрешность0,1146Стремится к нулю при увеличении n.

Σ

При n = 4 сумма равна 0,2188, точное значение — 1/3.Разница 0,1146. Удвой n — и она уменьшится примерно вдвое для крайних точек и вчетверо для середины.

↺ Вернуть пример

Поработай с лабораторией по плану:

1. Оставь $f(x)=x^2$ на $[0;1]$ и сравни $n=4$ с левым и правым краем. Сколько получилось? Между какими числами зажата площадь?
2. Удваивай $n$ и следи за последним столбцом таблицы. Погрешность падает вдвое или вчетверо?
3. Переключись на высоту «по середине» и повтори наблюдение. Почему середина заметно точнее?
4. Возьми линейную функцию $2x+1$ и высоту по середине. Что происходит с погрешностью и почему это не случайность?

Считаем без лаборатории

Для $f(x)=x^2$ на $[0;1]$ левую сумму можно записать формулой. Здесь $h=\dfrac1n$, а левые края частей — это числа $0,\ \dfrac1n,\ \dfrac2n,\ \dots,\ \dfrac{n-1}{n}$:

$S_n^{\text{лев}}=\frac{1}{n}\left(\frac{0^2}{n^2}+\frac{1^2}{n^2}+\dots+\frac{(n-1)^2}{n^2}\right)=\frac{1}{n^3}\bigl(1^2+2^2+\dots+(n-1)^2\bigr).$

Дальше пригодится известная формула суммы квадратов:

$1^2+2^2+\dots+m^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}.$

Проверим её на $m=3$: слева $1+4+9=14$, справа $\dfrac{3\cdot4\cdot7}{6}=14$. Подставим $m=n-1$:

$S_n^{\text{лев}}=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}.$

Теперь всё считается мгновенно:

$n$	Левая сумма	Правая сумма	Ширина вилки
$4$	$0{,}21875$	$0{,}46875$	$0{,}25$
$10$	$0{,}285$	$0{,}385$	$0{,}1$
$100$	$0{,}32835$	$0{,}33835$	$0{,}01$

Правая сумма отличается от левой заменой $n-1$ на $n+1$ и $2n-1$ на $2n+1$, то есть равна $\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$. Их разность равна $\dfrac{6n}{6n^2}=\dfrac{1}{n}=h$ — вилка сужается ровно как ширина одного прямоугольника.

При неограниченном росте $n$ обе дроби стремятся к одному числу: в числителе главный член $2n^2$, в знаменателе $6n^2$, и

$\lim_{n\to\infty}\frac{(n\pm 1)(2n\pm 1)}{6n^2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Площадь под параболой на $[0;1]$ равна $\dfrac13$. Догадка из прогноза, скорее всего, была «около $0{,}3$» — и она верна.

∴ Определённый интеграл

Если при неограниченном измельчении разбиения суммы Римана стремятся к одному и тому же числу независимо от способа выбора точек, это число называют определённым интегралом функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначают

$\int_a^b f(x)\,dx.$

Для непрерывной неотрицательной функции он равен площади криволинейной трапеции. Знак $\int$ — вытянутая буква S от слова «сумма», а $dx$ напоминает о ширине узкой полоски.

Если же функция на отрезке отрицательна, все слагаемые $f(x_i)h$ отрицательны, и интеграл равен площади фигуры со знаком минус. Поэтому интеграл — это площадь со знаком, а не площадь.

◆ Про предел — честно

Пределом мы пользуемся, но не определяем его. Запись $\lim$ означает ровно то, что видно в таблице: обе суммы подбираются к одному числу и остаются рядом с ним, как бы мелким ни было разбиение. Строгое определение предела — через $\varepsilon$ и $\delta$ — остаётся за рамками этой книги, это первая тема анализа в вузе. Но никакого обмана здесь нет: предел мы получаем не «на глаз», а из формулы для $S_n$.

Приём тот же, что и у касательной: невозможный вопрос заменяют последовательностью возможных и смотрят, к чему сходятся ответы. Так же в 9 классе суммировали бесконечную геометрическую прогрессию — глядя, к чему подбираются частичные суммы.

Проверка метода на знакомой фигуреРазбираем вместе

Найдём площадь под графиком $f(x)=2x+1$ на отрезке $[1;3]$ двумя способами.

Школьная формула. Это прямоугольная трапеция с основаниями $f(1)=3$ и $f(3)=7$ и высотой $2$:

$S=\frac{3+7}{2}\cdot 2=10.$

Прямоугольники по середине, $n=4$. Ширина $h=0{,}5$, середины частей — $1{,}25;\ 1{,}75;\ 2{,}25;\ 2{,}75$, значения функции в них — $3{,}5;\ 4{,}5;\ 5{,}5;\ 6{,}5$:

$S_4=(3{,}5+4{,}5+5{,}5+6{,}5)\cdot 0{,}5=20\cdot 0{,}5=10.$

Совпало точно, причём при любом $n$. Причина видна на рисунке: у линейной функции кусочек, который прямоугольник «недобрал» слева от середины, в точности равен кусочку, который он «перебрал» справа. Для кривых линий такая компенсация уже неполная, но всё ещё сильная — поэтому середина точнее краёв.

Проверка понимания

Функция возрастает на отрезке. Что можно сказать о левой сумме прямоугольников?

• А. Она меньше площади криволинейной трапеции
• Б. Она больше площади
• В. Она равна площади при любом n

! Приближение — это не ответ, а ответ — не всегда площадь

Ошибка первая. Записать $S=0{,}21875$ как окончательный ответ. Это нижняя оценка при $n=4$, а не площадь. Приближение обязано сопровождаться либо знаком $\approx$, либо указанием вилки: $0{,}21875<S<0{,}46875$.

Ошибка вторая. Считать, что интеграл всегда равен площади. Для функции $f(x)=-x^2$ на $[0;1]$ интеграл равен $-\dfrac13$, а площадь фигуры между графиком и осью — $\dfrac13$. Площадь неотрицательна по определению, интеграл — нет.

Ошибка третья. Забыть множитель $h$. Сумма значений функции — это не площадь; складывать нужно произведения «высота × ширина».

Практика

Всюду, где не сказано иное, речь о функции $f(x)=x^2$ на отрезке $[0;1]$; точное значение площади равно $\dfrac13$.

1. Найди левую и правую суммы при $n=2$ и запиши вилку для площади.
2. Найди сумму по серединам при $n=2$ и её погрешность.
3. Для $f(x)=x$ на $[0;2]$ найди левую, правую и среднюю суммы при $n=4$. Сравни с точной площадью треугольника.
4. По формуле $S_n^{\text{лев}}=\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ найди значение при $n=100$ и его отклонение от $\dfrac13$.
5. Найди сумму по серединам при $n=4$ для $f(x)=4-x^2$ на $[-2;2]$, если точное значение площади равно $\dfrac{32}{3}$.
6. Чему равен $\displaystyle\int_0^1(-x^2)\,dx$ и чему равна площадь фигуры между этим графиком и осью $Ox$?
7. Ширина вилки для возрастающей функции равна $\bigl(f(b)-f(a)\bigr)h$. Найди её для $f(x)=x^2$ на $[0;1]$ при $n=20$.
8. Сколько частей нужно взять, чтобы вилка для $f(x)=x^2$ на $[0;1]$ не превышала $0{,}01$?
9. Скорость постоянна и равна $12$ м/с в течение $5$ с. Какая фигура получается под графиком скорости и чему равна её площадь? Что означает это число?
10. Скорость растёт по закону $v(t)=2t$ м/с. Какой путь пройден за первые $3$ с? Опирайся на площадь треугольника.
11. Для убывающей функции какая сумма — левая или правая — даёт нижнюю оценку?
12. Почему для функции $f(x)=x^2$ на $[0;1]$ сумма по серединам оказалась ближе к ответу, чем обе крайние?

Ответы и пояснения

1. $h=0{,}5$. Левая: $(0+0{,}25)\cdot0{,}5=0{,}125$. Правая: $(0{,}25+1)\cdot0{,}5=0{,}625$. Вилка: $0{,}125<S<0{,}625$.
2. Середины $0{,}25$ и $0{,}75$, значения $0{,}0625$ и $0{,}5625$; сумма $(0{,}0625+0{,}5625)\cdot0{,}5=0{,}3125$. Погрешность $\dfrac13-0{,}3125\approx0{,}0208$.
3. $h=0{,}5$. Левая: $(0+0{,}5+1+1{,}5)\cdot0{,}5=1{,}5$. Правая: $(0{,}5+1+1{,}5+2)\cdot0{,}5=2{,}5$. Средняя: $(0{,}25+0{,}75+1{,}25+1{,}75)\cdot0{,}5=2$. Точная площадь треугольника равна $2$ — середина снова дала точный ответ, потому что функция линейна.
4. $S_{100}=\dfrac{99\cdot199}{60\,000}=\dfrac{19\,701}{60\,000}=0{,}32835$; отклонение $\dfrac13-0{,}32835\approx0{,}00498$.
5. $h=1$, середины $-1{,}5;\ -0{,}5;\ 0{,}5;\ 1{,}5$, значения $1{,}75;\ 3{,}75;\ 3{,}75;\ 1{,}75$. Сумма равна $11$, а $\dfrac{32}{3}\approx10{,}667$; погрешность $11-\dfrac{32}{3}=\dfrac13$.
6. Интеграл равен $-\dfrac13$, площадь равна $\dfrac13$. График симметричен исходному относительно оси $Ox$, поэтому фигура та же, а знак противоположный.
7. $h=\dfrac{1}{20}=0{,}05$, поэтому ширина вилки равна $(1-0)\cdot0{,}05=0{,}05$.
8. Ширина вилки равна $h=\dfrac1n$, условие $\dfrac1n\leqslant0{,}01$ даёт $n\geqslant100$.
9. Прямоугольник $5\times12$, площадь $60$. Это путь в метрах.
10. Треугольник с катетами $3$ с и $v(3)=6$ м/с: $S=\dfrac{3\cdot6}{2}=9$ м.
11. Для убывающей функции нижнюю оценку даёт правая сумма: наименьшее значение на каждой части достигается справа.
12. Прямоугольник по середине частично не добирает площадь слева от середины и ровно настолько же перебирает справа. Эти погрешности почти гасят друг друга, тогда как у крайних точек они складываются.

Итог

• Криволинейная трапеция ограничена графиком, осью $Ox$ и двумя вертикалями.
• Суммы прямоугольников дают нижнюю и верхнюю оценки; их разность честно показывает точность.
• При измельчении разбиения суммы сходятся к одному числу — определённому интегралу $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
• Для неотрицательной функции интеграл равен площади; для отрицательной он равен площади со знаком минус.

Метод работает, но цена высока: чтобы получить три верных знака, пришлось складывать сотни слагаемых, а для формулы суммы квадратов повезло — она была известна. Для $x^3$ или $\sin x$ такой удачи не будет.

В следующем уроке выяснится удивительное: площадь под графиком связана с первообразной из урока 3.1 напрямую, и весь предел из этого урока умещается в одну строку.

← Первообразная · Дальше: формула Ньютона–Лейбница →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным