6.6 Симметрия

6 класс · Геометрия◷ 45–55 минут◇ База + построениеНужно знать: перпендикуляр, расстояние, координатная плоскость

Снежинка, отражение в витрине и узор после поворота на пол-оборота похожи повторением частей, но преобразования у них разные. Симметрию нужно называть вместе с тем, относительно чего строится образ.

◎ После урока ты сможешь

• различать осевую, центральную и зеркальную симметрии
• строить образ точки и ломаной относительно оси или центра
• называть сохраняющиеся расстояния и размеры
• использовать координатные правила как частный случай общего построения

Ось и центр — разные посредники

Если точка $A$ не лежит на оси, то при осевой симметрии прямая $l$ проходит через середину отрезка $AA'$ и перпендикулярна ему. Точки $A$ и $A'$ лежат на равных расстояниях от оси, по разные стороны. Точка, уже лежащая на оси, остаётся на месте: $A=A'$.

При центральной симметрии точка $O$ — середина отрезка $BB'$. Это то же положение, которое получится после поворота на $180°$ вокруг $O$.

◆ Неподвижные точки

При осевой симметрии каждая точка самой оси остаётся на месте. При центральной симметрии на месте остаётся центр. Остальные точки переходят в образы, но расстояния между точками и размеры фигуры сохраняются.

Сохранение расстояний — это не особенность именно симметрий. Так устроен целый класс преобразований, и у него есть общее имя: движения. Осевая и центральная симметрии — два частных случая движения; к ним потом добавятся поворот и параллельный перенос, а все четыре получат формулы в координатах. Разбирать это будем в 9 классе, в уроке о движениях плоскости.

Построение на бумаге

Для образа точки относительно оси проведи через неё перпендикуляр, измерь расстояние до оси и отложи то же расстояние с другой стороны. Для многоугольника построй образы всех вершин и соедини их в прежнем порядке.

Для центрального образа проведи прямую через точку и центр, а затем отложи за центром равный отрезок.

Центр не обязан быть началом координатРазбираем вместе

Пусть $O=(1;-1)$, $A=(-2;4)$. Чтобы $O$ был серединой $AA'$, от $A$ до $O$ нужно пройти на $3$ вправо и $5$ вниз, а затем повторить то же перемещение. Получаем $A'=(4;-6)$.

Координатный частный случай

Если осью служит ось $x$, меняется знак второй координаты; если ось $y$ — первой. Центральная симметрия относительно начала координат меняет оба знака. Это быстрые правила для этих специальных положений, а не общее определение симметрии.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x 3

−+

От −6 до 6, шаг 1

Координата y −2

−+

От −6 до 6, шаг 1

↑y + 1←x − 10в начало→x + 1↓y − 1

относительно Ox(3; −2) → (3; 2)x сохраняется, y меняет знак

относительно Oy(3; −2) → (−3; −2)y сохраняется, x меняет знак

относительно O(3; −2) → (−3; 2)оба знака меняются

⌖

Отражения A: Aₓ(3; 2), Aᵧ(−3; −2), A₀(−3; 2).При отражении относительно оси меняется знак перпендикулярной координаты; относительно начала — знаки обеих.

↺ Вернуть пример

Зеркальная симметрия в пространстве

Плоское зеркало задаёт не ось, а плоскость симметрии. Точка и её зеркальный образ находятся по разные стороны этой плоскости на равных расстояниях. На плоском чертеже сечение зеркальной плоскости выглядит как ось, поэтому модели связаны, но объекты сравнения имеют разную размерность.

✦ Сгиб — физическая проверка

Если бумажную фигуру согнуть по предполагаемой оси и две половины совместятся, это наглядная проверка осевой симметрии. Несовпавшая вершина служит контрпримером.

Проверка понимания

Куда перейдёт точка A(−3; 2) при центральной симметрии относительно начала координат?

• А. (−3; −2)
• Б. (3; 2)
• В. (3; −2)

! Центральная симметрия — не отражение в зеркале

Услышав слово «симметрия», легко машинально отразить фигуру как в зеркале, даже когда задан центр, а не ось. Тогда образ оказывается сбоку от центра, хотя при центральной симметрии точка $A$, центр $O$ и образ $A'$ обязаны лежать на одной прямой, а $O$ — быть серединой отрезка $AA'$. Приложи линейку к $A$ и $O$ и продолжи прямую за центр: если $A'$ не попал на неё или отложен на другое расстояние, построена не та симметрия.

Практика

1. Построй образ точки $(2;-3)$ относительно оси $y$.
2. Построй образ той же точки относительно оси $x$ и относительно начала координат.
3. При центральной симметрии с центром $O=(1;-1)$ найди образ $A=(-2;4)$.
4. Точки $A=(-3;1)$ и $A'=(5;-3)$ центрально симметричны. Найди центр.
5. Сколько осей симметрии у прямоугольника с разными соседними сторонами, у квадрата и у окружности?
6. Сколько осей симметрии у равностороннего, равнобедренного неравностороннего и разностороннего треугольников?
7. Отрази относительно оси $y$ ломаную с вершинами $(-4;-1)$, $(-2;3)$, $(1;2)$.
8. Что произойдёт с точкой после двух последовательных отражений относительно одной и той же оси?
9. Как построить зеркальный образ точки относительно плоскости зеркала в пространственной модели?
10. Отрезок $AB$ рассматривают при центральной симметрии относительно его середины. Куда перейдут концы и весь отрезок?

Ответы и пояснения

1. $(-2;-3)$.
2. $(2;3)$; $(-2;3)$.
3. $(4;-6)$.
4. Центр — середина $AA'$: $\left(\frac{-3+5}{2};\frac{1-3}{2}\right)=(1;-1)$.
5. $2$, $4$, бесконечно много: осью окружности служит любая прямая через центр.
6. $3$, $1$, $0$.
7. $(4;-1)$, $(2;3)$, $(-1;2)$; порядок соединения сохраняется.
8. Она вернётся в исходное положение.
9. Провести перпендикуляр к плоскости и отложить с другой стороны такое же расстояние.
10. $A$ и $B$ поменяются местами, а отрезок как множество точек совместится с собой.

Итог

• Для точки вне оси ось служит серединным перпендикуляром между точкой и образом; точки оси неподвижны. Центр — середина отрезка, соединяющего точку с её центральным образом.
• Зеркальная симметрия в пространстве задаётся плоскостью.
• Координатные правила экономят вычисления в специальных случаях, но не заменяют геометрическое определение.

← Окружность и круг · Дальше: тела, развёртки и объём →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным