2.3. Практикум по дробям

6 класс · Дроби◷ 35 минут◇ БазаНужно знать: сравнение и сложение дробей

Практикум не добавляет нового правила. Его задача — научить выбирать короткий путь: где достаточно оценки, где нужен общий знаменатель, а где удобнее сравнить дополнения до единицы.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать способ сравнения по виду дробей
• контролировать вычисление оценкой
• объяснять и исправлять типичные ошибки

Разминка: знак сравнения

Тренажёр

Пять точных сравнений

Решай без спешки: важнее объяснить знак, чем угадать его.

1 / 5 · верно 0

56?79

<=>

Нужна подсказка?

Четыре стратегии

Что заметно	Удобный ход	Пример
одинаковые знаменатели	сравнить числители	$\frac7{13}<\frac9{13}$
одинаковые числители	сравнить размеры долей	$\frac5{12}>\frac5{17}$
одна дробь ниже, другая выше ориентира	сравнить с $\frac12$ или $1$	$\frac49<\frac12<\frac7{12}$
явного ориентира нет	общий знаменатель или крест-накрест	$\frac7{11}$ и $\frac9{14}$

Какая дробь ближе к единице: 17/18 или 23/25?Разбираем вместе

Можно сравнить дроби крест-накрест. Но здесь короче сравнить, сколько не хватает до единицы:

$1-\frac{17}{18}=\frac1{18},\qquad 1-\frac{23}{25}=\frac2{25}.$

Сравним недостатки крест-накрест: $1\cdot25=25<36=2\cdot18$, поэтому $\frac1{18}<\frac2{25}$. Первая дробь теряет меньше, значит она ближе к единице и больше:

$\frac{17}{18}>\frac{23}{25}.$

Проверка понимания

Лена получила 5/6 − 1/4 = 4/2 = 2. Какая проверка быстрее всего показывает ошибку?

• А. Разность положительных чисел, меньших 1, не может быть равна 2
• Б. Нужно всегда переводить дроби в десятичные
• В. Числитель ответа должен быть нечётным

Смешанный набор

Реши на бумаге. Перед каждым точным вычислением запиши короткую оценку: «меньше половины», «между 1 и 2» и так далее.

1. Сравни $\frac{11}{16}$ и $\frac{13}{20}$ двумя способами.
2. Расположи по убыванию: $\frac56$, $\frac7{10}$, $\frac{11}{15}$, $\frac34$.
3. Вычисли: $\frac7{18}+\frac5{12}-\frac19$.
4. Найди $x$: $x+\frac5{14}=\frac67$.
5. После чтения $\frac38$ книги в субботу и $\frac25$ в воскресенье какая часть осталась?
6. В баке было $4\frac12$ литра воды. Добавили $1\frac34$ литра, затем использовали $\frac56$ литра. Сколько осталось?
7. Можно ли вставить дробь со знаменателем $24$ между $\frac58$ и $\frac23$? Если нельзя, объясни почему.
8. Найди две разные дроби со знаменателями не больше $12$, сумма которых равна $\frac56$.

Ответы

1. $11\cdot20=220>208=13\cdot16$, поэтому $\frac{11}{16}>\frac{13}{20}$. Можно также привести к знаменателю $80$: $\frac{55}{80}>\frac{52}{80}$.
2. Общий знаменатель $60$: $\frac56=\frac{50}{60}$, $\frac34=\frac{45}{60}$, $\frac{11}{15}=\frac{44}{60}$, $\frac7{10}=\frac{42}{60}$. Поэтому $\frac56>\frac34>\frac{11}{15}>\frac7{10}$.
3. Общий знаменатель $36$: $\frac{14}{36}+\frac{15}{36}-\frac4{36}=\frac{25}{36}$.
4. $x=\frac67-\frac5{14}=\frac{12}{14}-\frac5{14}=\frac12$.
5. Прочитано $\frac38+\frac25=\frac{15}{40}+\frac{16}{40}=\frac{31}{40}$, осталось $\frac9{40}$.
6. $4\frac12+1\frac34-\frac56=\frac{54}{12}+\frac{21}{12}-\frac{10}{12}=\frac{65}{12}=5\frac5{12}$ литра.
7. $\frac58=\frac{15}{24}$, $\frac23=\frac{16}{24}$. Между соседними дробями с фиксированным знаменателем $24$ другой такой дроби нет. Это важный отрицательный ответ.
8. Например, $\frac12+\frac13=\frac56$.

◆ Быстрая проверка порядка

В задаче 2 можно проверить себя приближённо: $\frac34=0{,}75$, $\frac{11}{15}\approx0{,}733$, а $\frac7{10}=0{,}7$. Порядок согласуется с точным решением. Но обосновывать ответ лучше точными дробями, а десятичные значения использовать как контроль.

Задача на перенос

У двух сосудов одинаковый объём. Первый заполнен на $\frac35$, второй — на $\frac7{12}$. Из первого перелили $\frac1{10}$ объёма сосуда во второй.

1. Какая часть объёма осталась в первом сосуде?
2. Какая часть оказалась во втором?
3. Не переполнится ли второй сосуд?

Разбор

В первом осталось $\frac35-\frac1{10}=\frac6{10}-\frac1{10}=\frac12$.

Во втором стало $\frac7{12}+\frac1{10}=\frac{35}{60}+\frac6{60}=\frac{41}{60}$. Это меньше $1$, поэтому сосуд не переполнится.

Заметь: переливали одну десятую объёма одинакового сосуда. Если бы сосуды были разными, такие дроби нельзя было бы складывать без дополнительной информации.

Итог главы

• Дробь хранит одновременно количество частей и размер каждой части.
• Сравнение и сложение требуют общего масштаба — одинакового целого и одинакового размера долей.
• Оценка ответа не заменяет точное решение, но быстро обнаруживает невозможный результат.
• Один пример часто допускает несколько верных методов; сильное решение выбирает самый ясный.

Следующая большая связь — отношения и проценты: дробь начнёт сравнивать не только часть с целым, но и две величины друг с другом.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным