3.1 Равносильность и следствие

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, арифметический квадратный корень

Аня и Борис решают уравнение

$\sqrt{x+3}=x+1.$

Аня. Возведу обе части в квадрат: $x+3=x^2+2x+1$, то есть $x^2+x-2=0$. Корни $x=1$ и $x=-2$. Ответ: два корня.

Борис. Подставлю $x=-2$: слева $\sqrt{1}=1$, справа $-2+1=-1$. Единица не равна минус единице. Ответ: один корень, $x=1$.

Вычислительных ошибок нет ни у кого. Аня решала не то уравнение, которое было записано вначале, — и даже не заметила момент подмены. Найдём этот момент.

◎ После урока ты сможешь

• определять равносильность уравнений через совпадение множеств корней
• различать равносильное преобразование и переход к уравнению-следствию
• выписывать область допустимых значений до преобразований
• объяснять, откуда берутся посторонние корни и куда исчезают потерянные

Прогноз до вычислений

Ответь навскидку и запиши ответы — вернёмся к ним в конце.

• Уравнения $x=3$ и $x^2=9$ — это одно и то же уравнение или разные?
• Если умножить обе части уравнения на $x-5$, что может случиться с числом корней?
• А если разделить обе части на $x-5$?
• Может ли после верных преобразований получиться уравнение, у которого корней больше, чем было?

Эксперимент: две картинки одного решения

Переключи вид с «Исходное уравнение» на «После возведения в квадрат». Обе картинки честные, все точки вычислены по формулам. Меняется только одно: число общих точек.

Лаборатория равносильности

Где именно квадрат добавляет лишний корень

Две картинки описывают два разных уравнения. Обе честные: точки вычислены по формулам. Переключай вид и смотри, в какой момент общих точек становится больше.

√(x + 3) = x + 1

√(x − 1) = 3√(x + 3) = x + 1√(2x + 3) = x√(x + 7) = x − 5√(x + 5) = 1 − x√(x² − 3x) = 2√(x² − 4) = √(3x)

Исходное уравнениеПосле возведения в квадрат

√(x + 3) = x + 1

Сколько корней у исходного уравнения

Проверить

?

Сколько корней у уравнения √(x + 3) = x + 1?Сравни две картинки, впиши число корней исходного уравнения и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Обрати внимание: у исходного уравнения линии пересекаются один раз, а у возведённого в квадрат — дважды. Второе пересечение не «ошибка рисунка»: оно действительно есть, но принадлежит уже другому уравнению.

Множество корней — вот что мы сравниваем

∴ Определение

Корень уравнения — значение переменной, при котором обе части определены и равенство верно. Все корни вместе образуют множество корней уравнения.

Два уравнения называют равносильными, если множества их корней совпадают. Пишут $\Leftrightarrow$.

Уравнение $B$ называют следствием уравнения $A$, если каждый корень $A$ является корнем $B$. Пишут $A\Rightarrow B$.

Равносильность — это следствие в обе стороны: $A\Leftrightarrow B$ означает $A\Rightarrow B$ и $B\Rightarrow A$ одновременно.

У следствия множество корней может быть шире. Лишние элементы этого множества называют посторонними корнями — не потому, что они плохие числа, а потому, что они корни другого уравнения.

Слово это тебе знакомо: посторонние корни вычёркивали ещё в 8 классе, в простейших рациональных уравнениях, и в 9 классе, в дробно-рациональных. Там объяснение было коротким: «умножили на выражение с буквой — проверь». Теперь видно, что стоит за этой фразой: умножение переводит уравнение в его следствие, а у следствия корней может быть больше.

Уравнения $x=3$ и $x^2=9$ не равносильны: у первого множество корней $\{3\}$, у второго $\{-3;\,3\}$. Но $x=3\Rightarrow x^2=9$ — следствие верное.

Область допустимых значений

∴ ОДЗ

Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество значений переменной, при которых определены обе его части.

Что сужает ОДЗ в школьном курсе:

• знаменатель — он не должен обращаться в ноль;
• выражение под знаком квадратного корня — оно должно быть неотрицательным.

Новое здесь — только имя. Это то самое, с чем ты работал в 8 классе под названием допустимые значения алгебраической дроби (урок 2.1): там запреты давал знаменатель, здесь к нему добавился корень. И «список запретов» из 9 класса (дробно-рациональные уравнения) — тоже он.

ОДЗ выписывают до преобразований. Сокращение дроби или возведение в квадрат может незаметно расширить область, и тогда запрет перестаёт быть виден — но перестаёт быть виден он только в записи, а не в задаче.

Таблица преобразований

Преобразование	Что происходит с корнями
Прибавить к обеим частям одно и то же число	равносильно
Умножить обе части на число, не равное нулю	равносильно
Возвести обе части в куб	равносильно
Умножить обе части на выражение с переменной	могут появиться посторонние корни
Возвести обе части в квадрат	могут появиться посторонние корни
Разделить обе части на выражение с переменной	корни могут потеряться

Первые три преобразования обратимы: любое из них можно отменить действием того же вида. Именно обратимость и означает равносильность.

✦ Почему квадрат добавляет корни

Возведение в квадрат склеивает противоположные числа: $1$ и $-1$ после квадрата неразличимы. Поэтому из $a=b$ следует $a^2=b^2$, а обратно — только $a=\pm b$.

Уравнение $\sqrt{x+3}=x+1$ после возведения в квадрат обслуживает сразу два уравнения: исходное и его двойника $\sqrt{x+3}=-(x+1)$. Корень $x=-2$ — как раз корень двойника: $\sqrt{1}=1=-(-2+1)$.

Разобранные примеры

Умножение на выражение с переменнойРазбираем вместе

$\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}.$

ОДЗ: $x\ne2$.

Умножаем обе части на $x-2$ — это переход к следствию:

$x=2.$

Единственный кандидат запрещён по ОДЗ. Вычёркиваем его.

Ответ: корней нет.

Что случилось: при $x=2$ множитель $x-2$ обращается в ноль, и после умножения равенство $0=0$ выполняется «даром» — независимо от того, что стояло в числителях.

Деление на выражение с переменнойРазбираем вместе

$x(x-5)=3(x-5).$

Неправильно: разделить обе части на $x-5$ и получить $x=3$. Так теряется корень $x=5$.

Правильно: перенести всё в одну часть и разложить на множители:

$x(x-5)-3(x-5)=0,\qquad (x-5)(x-3)=0.$

Ответ: $3$; $5$.

Проверка: при $x=5$ обе части равны нулю, равенство верное.

Возведение в квадрат, разобранное по шагамРазбираем вместе

$\sqrt{x+3}=x+1.$

Шаг 1. ОДЗ: $x+3\ge0$, то есть $x\ge-3$.

Шаг 2. Следствие. Возводим обе части в квадрат:

$x+3=(x+1)^2\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-2=0.$

$D=1+8=9,\qquad x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$

Шаг 3. Отбор. Оба кандидата лежат в ОДЗ, значит ОДЗ здесь не поможет. Смотрим на знак правой части: слева стоит арифметический корень, он не бывает отрицательным, поэтому обязано выполняться $x+1\ge0$.

При $x=-2$: $x+1=-1<0$ — посторонний корень. При $x=1$: $x+1=2\ge0$ — корень.

Проверка: $\sqrt{1+3}=2=1+1$ — верно.

Ответ: $x=1$.

Проверка понимания

Про уравнения A и B известно, что A ⇒ B. Что это гарантирует?

• А. Множества корней A и B совпадают
• Б. Каждый корень A является корнем B, но у B могут быть и другие корни
• В. У B корней не меньше, чем у A, и все они годятся в ответ

! Три способа получить неверный ответ

Проверку заменили аккуратностью. «Я всё посчитал верно, значит проверять нечего» — не работает. Посторонний корень появляется не от ошибки в вычислении, а от самого преобразования.

ОДЗ выписали после сокращения. В уравнении $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=0$ дробь равна $x+2$ только при $x\ne1$. Сокращение не отменяет запрет, оно его прячет.

Проверили кандидата в промежуточном уравнении. Проверять нужно в исходном уравнении. Кандидат $x=-2$ прекрасно проходит проверку в $x^2+x-2=0$ — потому и попал в список.

Практика

1. Равносильны ли уравнения $2x-6=0$ и $x-3=0$?
2. Равносильны ли уравнения $x^2=9$ и $x=3$? Есть ли между ними следствие и в какую сторону?
3. Является ли уравнение $x^2=4x$ следствием уравнения $x=4$?
4. Реши $x(x-5)=3(x-5)$, ничего не потеряв.
5. Реши $\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$.
6. Из уравнения $\sqrt{x}=x-2$ получили $x=(x-2)^2$. Как называется это преобразование и равносильно ли оно?
7. Найди ОДЗ уравнения $\sqrt{x+4}+\dfrac{1}{x-1}=0$.
8. Реши $(x-2)\sqrt{x-3}=0$.
9. В уравнении $\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1}=0$ сократили дробь и получили $x=-2$. Верен ли ответ? А верно ли рассуждение?
10. Придумай уравнение-следствие для $x=1$, у которого есть посторонний корень.

Ответы и пояснения

1. Равносильны: у обоих множество корней $\{3\}$.
2. Не равносильны: $\{-3;\,3\}$ и $\{3\}$. Следствие есть в одну сторону: $x=3\Rightarrow x^2=9$.
3. Да. Единственный корень первого уравнения $x=4$ подходит и второму: $16=16$. У второго корней больше ($0$ и $4$), но определению следствия это не мешает.
4. $(x-5)(x-3)=0$; ответ: $3$; $5$.
5. ОДЗ: $x\ne1$. После умножения на $x-1$ получаем $x=1$ — единственный кандидат запрещён. Корней нет.
6. Это возведение обеих частей в квадрат, переход к следствию. Не равносильно: у уравнения $x=(x-2)^2$ есть корень $x=1$, а $\sqrt{1}=1\ne1-2=-1$.
7. $x+4\ge0$ и $x-1\ne0$, то есть $x\ge-4$ и $x\ne1$.
8. ОДЗ: $x\ge3$. Произведение равно нулю при $x=2$ или $x=3$; кандидат $x=2$ вне ОДЗ. Ответ: $x=3$.
9. Ответ верен: $x=-2$ допустимо, ведь запрещено только $x=1$. Рассуждение неполно: сокращение нужно сопровождать записью ОДЗ, иначе в другой задаче запрет сработает и останется незамеченным.
10. Например, $x(x-3)=x-3$: домножили обе части на $x-3$. Корни $1$ и $3$, второй — посторонний. Другой вариант: $x^2=1$ с посторонним корнем $-1$.

Итог

• Уравнения равносильны, если совпадают их множества корней; следствие требует только включения в одну сторону.
• ОДЗ выписывают до преобразований: потом её легко потерять из виду.
• Умножение на выражение с переменной и возведение в квадрат добавляют посторонние корни; деление на выражение с переменной теряет настоящие.
• После цепочки следствий проверка в исходном уравнении — обязательная часть решения.

Теперь у нас есть язык, чтобы честно работать с корнем. В следующем уроке возведение в квадрат станет основным инструментом — и мы научимся сразу писать условие отбора, а не вспоминать о нём в конце.

← Вход в тему · Дальше: иррациональные уравнения →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным