4.5 Практикум: комбинированные тела

11 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 4.1–4.4

Посёлку нужна водонапорная башня: цилиндрический бак с куполом сверху. Заводу нужна выкройка для воронки. Магазину нужно понять, сколько мячей влезет в коробку и сколько там останется пустоты.

Ни одна из этих задач не подписана «цилиндр» или «конус». Сначала нужно разобрать предмет на знакомые тела, потом решить, какая величина требуется — площадь или объём, и только потом считать.

◎ После урока ты сможешь

• разбивать составное тело на цилиндр, конус, шар и их части
• выбирать между площадью поверхности и объёмом по смыслу задачи
• решать задачи о вписанных и описанных телах через осевое сечение
• проверять результат вторым способом и честно указывать точность

Станция 1. Бак и его стенка

Цилиндрический бак имеет радиус $3$ м и высоту $10$ м. Для сметы нужны два числа: объём (сколько воды войдёт) и площадь боковой стенки (сколько листа нужно на обечайку).

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

м³

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r3 м

−+

От 1 до 12 м; шаг кнопок 0,5.

Высота h10 м

−+

От 1 до 12 м; шаг кнопок 0,5.

Точная запись и приближение, м

Площадь основания, м²	9π ≈ 28,27
Боковая поверхность, м²	60π ≈ 188,5
Полная поверхность, м²	78π ≈ 245,04
Осевое сечение	прямоугольник, площадь 60 м²
Объём, м³	90π ≈ 282,74

∑

V = 90π ≈ 282,74 м³.S = 78π ≈ 245,04 м². Точная запись хранит π, приближение округлено до сотых.

↺ Вернуть пример

◆ Сначала вопрос, потом формула

Слова «сколько войдёт», «вместимость», «залили» указывают на объём. Слова «покрасить», «обшить», «сколько материала», «этикетка» указывают на площадь поверхности. Единица ответа проверяет выбор: кубические метры против квадратных.

Станция 2. Выкройка воронки

Воронка — конус с радиусом $5$ см и высотой $12$ см, без дна. Мастеру нужна плоская выкройка.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

развёртка

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус основания r5 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Высота h12 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

◔

Сектор с углом φ = 360°·r/l = 138,5°.Радиус сектора равен образующей l = 13 см. Дуга сектора равна окружности основания, поэтому φ зависит только от отношения r к l.

↺ Вернуть пример

Читаем выкройкуРазбираем вместе

Образующая: $l=\sqrt{25+144}=13$ см.

Угол сектора: $\varphi=360°\cdot\dfrac{5}{13}\approx138{,}5°$.

Площадь жести: $S_{\text{бок}}=\pi\cdot5\cdot13=65\pi\approx204{,}20\text{ см}^2$.

Дна у воронки нет, поэтому $\pi r^2$ не добавляем. Проверка: площадь сектора равна $\pi\cdot13^2\cdot\dfrac{5}{13}=65\pi$. Сходится.

Станция 3. Мяч в банке

Шар вписан в цилиндр: радиусы совпадают, а высота цилиндра равна диаметру шара, $h=2R$.

Теорема АрхимедаРазбираем вместе

Объёмы:

$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3, \qquad V_{\text{цил}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3, \qquad \frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цил}}}=\frac{4/3}{2}=\frac23.$

Поверхности:

$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2, \qquad S_{\text{цил}}=2\pi R(R+2R)=6\pi R^2, \qquad \frac{S_{\text{сферы}}}{S_{\text{цил}}}=\frac{4}{6}=\frac23.$

Оба отношения равны $2:3$ и не зависят от $R$. Значит, в банке с плотно вложенным мячом ровно треть объёма — воздух, каким бы большим ни был мяч.

Станция 4. Разрез шара

Шар радиуса $10$ см разрезают плоскостью. Проверь себя: угадай площадь сечения до того, как отпустишь ползунок.

Лаборатория сечений

Что плоскость высекает из шара

Двигай секущую плоскость и следи за радиусом круга. Во второй вкладке тот же уровень сравнивает полушар с цилиндром, из которого вырезан конус, — это и есть шаг к формуле объёма шара.

d = 8 см

Сечение шараЭтажи Кавальери

Радиус R10 см

−+

От 1 до 12 см; шаг 0,5.

Расстояние до плоскости d8 смПолзунок доходит до R + 1, чтобы увидеть касание и промах; стрелки двигают плоскость на 0,5.

Множитель k, если S = kπПроверить

?

Найди площадь круга сечения и введи множитель при π.Радиус круга равен √(R² − d²), поэтому площадь равна π(R² − d²). Введи число k, если S = kπ.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или приближённое и какое допущение модели использовано. Например: «$108\pi\text{ м}^3\approx339{,}3\text{ м}^3$, объём бака с куполом, толщина стенок не учтена».

Проверка понимания

Башня состоит из цилиндра высотой 10 м и полусферы сверху, общий радиус 3 м. Что нужно посчитать, чтобы заказать краску для наружных поверхностей?

• А. Полную поверхность цилиндра плюс площадь сферы
• Б. Объём цилиндра плюс объём полушара
• В. Боковую поверхность цилиндра плюс половину площади сферы

Итоговый набор задач

1. Цистерна имеет форму цилиндра с диаметром $2{,}4$ м и длиной $5$ м. Найди её объём при $\pi\approx3{,}14$.
2. Башня состоит из цилиндра с радиусом $3$ м и высотой $10$ м и полусферы того же радиуса сверху. Найди объём башни и площадь её наружной поверхности без нижнего основания.
3. Воронка — конус без дна с радиусом $5$ см и высотой $12$ см. Найди образующую, площадь жести и объём воронки.
4. Шар вписан в цилиндр. Найди отношение объёмов и отношение площадей поверхностей.
5. В шар радиуса $5$ вписан цилиндр с радиусом основания $3$. Найди высоту и объём цилиндра.
6. В конус с радиусом $3$ и высотой $4$ вписан шар. Найди его радиус и объём.
7. Конус с радиусом $6$ и высотой $8$ рассечён плоскостью, параллельной основанию, посередине высоты. Найди объёмы обеих частей.
8. Из шара радиуса $6$ отливают цилиндрические заготовки с радиусом $2$ и высотой $3$. Сколько заготовок получится, если металл не теряется?
9. Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью $64$. Найди полную поверхность и объём цилиндра.
10. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор с углом $216°$ и радиусом $10$. Восстанови конус и найди его объём.
11. Плоскость проходит на расстоянии $4$ от центра шара радиуса $5$. Найди площадь сечения.
12. Мяч диаметром $22$ см кладут в кубическую коробку с ребром $22$ см. Какую долю объёма коробки занимает мяч?

Ответы, модели и проверки

1. $r=1{,}2$ м; $V=\pi r^2h\approx3{,}14\cdot1{,}44\cdot5=22{,}608\approx22{,}6\text{ м}^3$. Модель не учитывает люк и толщину стенок.
2. Объём: $\pi\cdot9\cdot10+\tfrac23\pi\cdot27=90\pi+18\pi=108\pi\approx339{,}29\text{ м}^3$. Поверхность: $2\pi\cdot3\cdot10+2\pi\cdot9=60\pi+18\pi=78\pi\approx245{,}04\text{ м}^2$.
3. $l=\sqrt{25+144}=13$ см; $S_{\text{бок}}=65\pi\approx204{,}20\text{ см}^2$; $V=\tfrac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi\approx314{,}16\text{ см}^3$.
4. У цилиндра $h=2R$. Объёмы: $\tfrac43\pi R^3$ и $2\pi R^3$, отношение $2:3$. Поверхности: $4\pi R^2$ и $6\pi R^2$, отношение тоже $2:3$.
5. Центр шара — середина оси цилиндра, поэтому $\left(\tfrac h2\right)^2+3^2=5^2$, откуда $\tfrac h2=4$ и $h=8$; $V=\pi\cdot9\cdot8=72\pi\approx226{,}19$.
6. Осевое сечение — треугольник с основанием $6$ и боковыми сторонами $l=5$. Радиус вписанной окружности $\rho=\dfrac{S}{p}=\dfrac{3\cdot4}{(6+5+5):2}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$; $V=\tfrac43\pi\cdot1{,}5^3=4{,}5\pi\approx14{,}14$.
7. Весь конус: $\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi$. Малый конус подобен целому с коэффициентом $\tfrac12$, поэтому его объём в $8$ раз меньше: $12\pi\approx37{,}70$. Нижняя часть: $96\pi-12\pi=84\pi\approx263{,}89$.
8. $V_{\text{шара}}=\tfrac43\pi\cdot216=288\pi$; $V_{\text{заготовки}}=\pi\cdot4\cdot3=12\pi$; $288\pi:12\pi=24$ заготовки.
9. Сторона квадрата равна $8$, значит $2r=8$, $r=4$, $h=8$; $S_{\text{полн}}=2\pi\cdot4\cdot12=96\pi\approx301{,}59$; $V=\pi\cdot16\cdot8=128\pi\approx402{,}12$.
10. Радиус сектора — образующая, $l=10$; $r=l\cdot\dfrac{216}{360}=6$; $h=\sqrt{100-36}=8$; $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot8=96\pi\approx301{,}59$.
11. $\rho^2=25-16=9$, поэтому $S=9\pi\approx28{,}27$.
12. $R=11$ см, ребро $=2R$. Доля равна $\dfrac{\tfrac43\pi R^3}{(2R)^3}=\dfrac{\tfrac43\pi R^3}{8R^3}=\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}524$, то есть около $52\%$. Ответ не зависит от размера мяча.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ остался точным, а где пришлось вводить приближение $\pi$? Почему точную форму лучше сохранять до последнего шага?
2. Какие две задачи из списка решаются одной и той же схемой «осевое сечение плюс прямоугольный треугольник»?
3. Какое реальное ограничение не учитывает модель башни, воронки или цистерны?

Возможные ответы: точными остались все ответы вида $k\pi$, приближение понадобилось только там, где условие требовало метров и литров; схема «осевое сечение» работает в задачах 5 и 6 — и цилиндр в шаре, и шар в конусе сводятся к плоскому чертежу; модель не учитывает толщину стенок, швы, люки, опоры, потери металла при литье и погрешность измерений.

✦ Мост дальше

Заметь, что почти каждая задача главы решалась одинаково: пространственную конфигурацию мы заменяли плоским чертежом — осевым сечением, развёрткой или сечением на уровне $y$. Это главный приём стереометрии, и он же лежит в основе координатного метода, где чертёж заменяется числами.

Формулы поверхности и объёма стоит помнить наизусть, но ещё важнее помнить их устройство: $\pi r^2h$ — это «основание на высоту», $\tfrac13$ у конуса — то же, что у пирамиды, а $\tfrac43\pi R^3$ — это $\tfrac13\cdot S\cdot R$ для сферы.

← Объёмы · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным