1.1 Точные вычисления и периодические дроби

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: действия с дробями, разложение на простые множители, деление в столбик

Три семиклассника считают $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}$. Первый пишет $\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$. Второй берёт калькулятор: $0{,}3333333+0{,}1666667=0{,}5000000$. Третий торопится и округляет до сотых: $0{,}33+0{,}17=0{,}50$.

Все получили $0{,}5$. Но только один из трёх способов гарантирует точный ответ всегда, а не по счастливой случайности.

◎ После урока ты сможешь

• выполнять цепочки действий с дробями точно, без промежуточных округлений
• переводить обыкновенную дробь в десятичную и находить период
• определять по знаменателю, будет ли десятичная запись конечной
• оценивать, что теряется при округлении, и записывать приближение честно

Прогноз до вычислений

Возьми дроби $\dfrac{7}{8}$ и $\dfrac{5}{12}$. Как ты думаешь, у какой из них деление «оборвётся» и получится конечная десятичная запись, а у какой цифры пойдут бесконечно? На что тут стоит смотреть — на числитель или на знаменатель?

Запиши свою догадку, а потом проверь в лаборатории.

Лаборатория точных вычислений

Дробь, деление и период

Раздели числитель на знаменатель и посмотри, когда деление обрывается, а когда цифры уходят в бесконечный круг.

m : n

Десятичная записьТочность и округление

Числитель m 5

−+

Целое от 1 до 999.

Знаменатель n 12

−+

Целое от 1 до 999; ноль запрещён.

5 : 12=?

Какой будет десятичная запись этой дроби?

КонечнойБесконечной периодическойПроверить

Сначала сделай прогноз и нажми «Проверить» — схема деления откроется после этого.

=

Сделай прогноз: запись будет конечной или периодической?Остаток повторился, поэтому цифры идут по кругу; длина периода: 1.

↺ Вернуть пример

В верхнем ряду — остатки от деления, в нижнем — цифры после запятой. Попробуй знаменатели $8$, $12$, $40$, $7$, $11$, $25$ и посмотри, когда деление обрывается, а когда остаток возвращается.

Что такое рациональное число

∴ Определение

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде $\dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Целые числа и конечные десятичные дроби тоже рациональны: $-4=\dfrac{-4}{1}$, а $0{,}25=\dfrac{1}{4}$.

Любую обыкновенную дробь можно разделить уголком и получить десятичную запись. При делении на $n$ остаток каждый раз меньше $n$, поэтому разных остатков конечное число. Значит, возможны ровно два исхода:

• остаток стал нулевым — запись конечная;
• остаток повторился — дальше повторяется и вся группа цифр, запись бесконечная периодическая.

Третьего не дано: у рационального числа не бывает бесконечной десятичной записи без периода.

∴ Признак конечной десятичной записи

Несократимая дробь $\dfrac{m}{n}$ записывается конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда $n$ раскладывается только на двойки и пятёрки: $n=2^{a}\cdot5^{b}$.

Причина проста: конечная десятичная дробь — это дробь со знаменателем $10^{k}=2^{k}\cdot5^{k}$. Никаких других простых множителей в знаменателе появиться не может.

Период записывают в скобках: $\dfrac{1}{3}=0{,}(3)$, $\dfrac{5}{12}=0{,}41(6)$, $\dfrac{4}{11}=0{,}(36)$.

Одна дробь — конечная, другая — с периодомРазбираем вместе

Дробь $\dfrac{7}{8}$. Знаменатель $8=2^3$ — только двойки, значит запись конечна. Делим: $7:8=0{,}875$. Проверка: $\dfrac{875}{1000}=\dfrac{7}{8}$.

Дробь $\dfrac{5}{12}$. Знаменатель $12=2^2\cdot3$, и тройка мешает. Делим уголком:

$5:12=0{,}41666\ldots$

Остатки идут так: $5\to2\to8\to8\to8\ldots$ Остаток $8$ вернулся, поэтому цифра $6$ повторяется бесконечно. Ответ: $\dfrac{5}{12}=0{,}41(6)$.

Заметь: сокращать нужно до проверки признака. У дроби $\dfrac{6}{15}$ знаменатель содержит тройку, но после сокращения получается $\dfrac{2}{5}=0{,}4$ — запись конечна.

Сколько стоит одно округление

Округление — не ошибка, а решение: мы сознательно меняем число на близкое. Плохо не округлять, а округлять молча и по дороге.

Лаборатория точных вычислений

Дробь, деление и период

Раздели числитель на знаменатель и посмотри, когда деление обрывается, а когда цифры уходят в бесконечный круг.

m : n

Десятичная записьТочность и округление

Числитель m 1

−+

Целое от 1 до 999.

Знаменатель n 3

−+

Целое от 1 до 999; ноль запрещён.

Знаков после запятой 2

−+

От 0 до 6 знаков при округлении.

1 : 3=0,(3)

Что теряется при округлении

Точное 0,(3) против округлённого 0,33

Сколько раз сложили	Накопленное расхождение
1	1/300
10	1/30
100	1/3

Одно округление кажется безобидным, но расхождение растёт вместе с числом действий.

=

1/3 = 0,(3)Округление до 2 знаков даёт 0,33; потеря за одно действие равна 1/300.

↺ Вернуть пример

Расхождение за одно действие выглядит крошечным. Но оно складывается: если одно и то же округлённое значение используется сто раз, ошибка вырастает в сто раз.

! Округлил по дороге — потерял ответ

Точно: $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1$.

С округлением до сотых: $0{,}33+0{,}33+0{,}33=0{,}99$.

Разница $0{,}01$ появилась не из-за «неточного калькулятора», а из-за того, что округление сделали до сложения. Правило простое: все действия — точно, округление — один раз в самом конце.

Проверка понимания

У какой дроби десятичная запись будет конечной?

• А. 7/15
• Б. 7/40
• В. 7/6

Практика

1. Запиши десятичной дробью: $\dfrac{7}{8}$, $\dfrac{3}{20}$, $\dfrac{9}{25}$.
2. Не выполняя деления, определи, у каких дробей запись конечна: $\dfrac{5}{16}$, $\dfrac{4}{15}$, $\dfrac{11}{50}$, $\dfrac{7}{12}$.
3. Запиши в виде периодической дроби: $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{5}{11}$, $\dfrac{7}{30}$.
4. Вычисли точно: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}$.
5. Вычисли точно: $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}:\dfrac{2}{3}$.
6. Вычисли $0{,}4+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}$ и запиши ответ обыкновенной и десятичной дробью.
7. Сравни $\dfrac{5}{7}$ и $0{,}71$, не пользуясь калькулятором.
8. Округли $\dfrac{5}{12}$ до сотых и найди точное расхождение с исходным числом.
9. Семь слагаемых $\dfrac{1}{7}$ сложили, округлив каждое до сотых. Сравни результат с точным ответом.
10. Число $0{,}(3)$ умножили на $3$. Что получится и почему?

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{7}{8}=0{,}875$; $\dfrac{3}{20}=0{,}15$; $\dfrac{9}{25}=0{,}36$. Все знаменатели — только двойки и пятёрки.
2. Конечны $\dfrac{5}{16}$ ($16=2^4$) и $\dfrac{11}{50}$ ($50=2\cdot5^2$). У $\dfrac{4}{15}$ и $\dfrac{7}{12}$ в знаменателе есть тройка — записи периодические.
3. $\dfrac{1}{6}=0{,}1(6)$; $\dfrac{5}{11}=0{,}(45)$; $\dfrac{7}{30}=0{,}2(3)$.
4. $\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
5. $\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9}=\dfrac{2}{3}$, затем $\dfrac{2}{3}:\dfrac{2}{3}=1$.
6. $0{,}4=\dfrac{2}{5}$, поэтому $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{9}{10}=0{,}9$.
7. $\dfrac{5}{7}$ и $\dfrac{71}{100}$: сравним $5\cdot100=500$ и $7\cdot71=497$. Значит $\dfrac{5}{7}>0{,}71$.
8. $\dfrac{5}{12}=0{,}41(6)\approx0{,}42$. Расхождение: $\dfrac{42}{100}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{126}{300}-\dfrac{125}{300}=\dfrac{1}{300}$.
9. Точно: $7\cdot\dfrac{1}{7}=1$. С округлением $\dfrac{1}{7}\approx0{,}14$ получается $7\cdot0{,}14=0{,}98$ — расхождение $0{,}02$.
10. $0{,}(3)=\dfrac{1}{3}$, поэтому $3\cdot0{,}(3)=1$. Формально та же величина записывается как $0{,}(9)$: это одно число в двух записях, а не ошибка. Такие тонкости и есть причина считать точно, а не «по цифрам на экране».

Итог

• Рациональное число — это $\dfrac{m}{n}$ с целым $m$ и натуральным $n$; его десятичная запись либо конечна, либо бесконечна и периодична.
• Признак конечности смотрит на знаменатель несократимой дроби: только двойки и пятёрки.
• Период возникает потому, что остатки при делении на $n$ не могут не повториться.
• Точные действия выполняем в обыкновенных дробях, округляем один раз в конце и обозначаем это знаком $\approx$.

Дальше нам понадобится короткая запись длинных произведений: в признаке конечности уже мелькали $2^{a}$ и $5^{b}$. Пора разобраться, что такое степень.

← Вход в тему · Дальше: степень с натуральным показателем →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным