5.2. Выражение как план действий

6 класс · Буквы и формулы◷ 40–50 минут◇ БазаНужно знать: буква как число, порядок арифметических действий

Для каждого участника игры сначала начисляют $3$ бонусных очка, полученную сумму удваивают, а затем снимают $5$ очков. Если до игры было $x$ очков, весь план записывается так:

$2(x+3)-5.$

Скобки показывают, что прибавление трёх происходит до удвоения.

◎ После урока ты сможешь

• переводить словесный план в буквенное выражение и обратно
• определять порядок действий с учётом скобок
• различать выражения, которые похожи внешне, но задают разные планы

Машина операций

Выражение можно представить машиной: число входит слева, проходит операции в заданном порядке, результат выходит справа. Проследи каждый шаг для разных значений $x$.

Машина выражений

Подставить числа и выполнить план

Дерево показывает, какие действия зависят друг от друга, а трассировка — в каком порядке они выполняются.

2 · (x+3)-5

ПодстановкаПорядок действийТаблица

Входное число x −1

−+

От −6 до 6, шаг 0,5.

2 · (x+3)-5→−1

1. 1

   Подстановкаx → −1

2. 2

   Сложение или вычитание−1 + 3 → 2

3. 3

   Скобки(2) → 2

4. 4

   Умножение или деление2 · 2 → 4

5. 5

   Сложение или вычитание4 − 5 → −1

ƒ

Значение выражения: −1.Сначала заменяем буквы числами, затем идём по дереву снизу вверх.

↺ Вернуть пример

При $x=-1$ машина сначала получает $-1+3=2$, затем $2\cdot2=4$ и, наконец, $4-5=-1$.

∴ Числовое значение выражения

Буквенное выражение — запись из чисел, букв, знаков действий и скобок. Когда значения букв заданы, результат выполнения всех действий называют значением выражения.

Как читать без двусмысленности

Рассмотрим три записи:

$2(x+3),\qquad 2x+3,\qquad 2(x+3)-5.$

Первая означает «сумму $x+3$ увеличить в два раза». Вторая — «число $x$ увеличить в два раза, затем прибавить $3$». Третья добавляет последний шаг: вычесть $5$.

От слов к записиРазбираем вместе

Фраза «из утроенной суммы числа $a$ и двух вычесть семь» задаёт план:

1. найти $a+2$;
2. умножить сумму на $3$;
3. вычесть $7$.

Получаем $3(a+2)-7$. Запись $3a+2-7$ соответствовала бы другому плану: в ней утраивается не сумма, а только $a$ умножается на три.

Порядок действий

Правила те же, что в числовых выражениях:

1. действия в скобках;
2. умножение и деление слева направо;
3. сложение и вычитание слева направо.

Дробная черта тоже группирует запись: в $\frac{x+5}{3}$ всё выражение $x+5$ делят на $3$.

◆ Скрытый знак умножения

Между числом и буквой или перед скобками знак умножения обычно опускают: $4x=4\cdot x$, $a(b+1)=a\cdot(b+1)$. Но запись $ab$ означает произведение $a\cdot b$, а не двузначное число.

Проверка понимания

Чему равно 3(x + 4) − 1, если x = −2?

• А. 1
• Б. 5
• В. 9

Одинаковый вход — разные планы

При $x=4$ выражения $2(x+3)-5$ и $2x+3-5$ дают соответственно $9$ и $6$. Быстрая проверка одним значением уже доказывает, что эти планы не одинаковы для всех $x$.

! Скобки нельзя стирать молча

Если убрать скобки, порядок и смысл могут измениться. Любое преобразование записи должно сохранять её значение при каждом допустимом значении букв. Позже мы найдём закон, который позволяет раскрывать скобки правильно.

Практика

1. Прочитай словами $5a-2$.
2. Запиши выражение: к числу $m$ прибавили $7$, затем результат умножили на $4$.
3. Запиши выражение: число $p$ умножили на $4$, затем прибавили $7$.
4. Укажи порядок действий в $6-2(x+1)$.
5. Найди $3(b-2)+4$ при $b=5$.
6. Найди $2(x+3)-5$ при $x=-4$.
7. Найди $\frac{n+8}{2}$ при $n=-2$.
8. Сравни значения $3(x+1)$ и $3x+1$ при $x=2$.
9. Запиши план стоимости: билет стоит $k$ рублей, покупают $5$ билетов и платят ещё $80$ рублей за доставку.
10. Найди ошибку: при $a=3$ ученик вычислил $2(a+4)$ как $2\cdot3+4=10$.
11. Придумай два выражения, которые при $x=0$ имеют одно значение, но при $x=1$ — разные.

Ответы и пояснения

1. Из произведения $5$ и $a$ вычесть $2$.
2. $4(m+7)$.
3. $4p+7$.
4. Сначала $x+1$, затем умножение на $2$, затем вычитание результата из $6$.
5. $3\cdot(5-2)+4=13$.
6. $2\cdot(-4+3)-5=-7$.
7. $\frac{-2+8}{2}=3$.
8. $3(2+1)=9$, а $3\cdot2+1=7$; значения различны.
9. $5k+80$.
10. Число $2$ умножает всю сумму: $2(3+4)=14$.
11. Например, $x+2$ и $3x+2$: при $x=0$ оба равны $2$, при $x=1$ получаем $3$ и $5$.

Итог

• Выражение хранит не только числа и буквы, но и порядок действий.
• Скобки объединяют часть плана в один блок.
• Два выражения можно считать равными как планы лишь тогда, когда их значения совпадают при всех допустимых значениях букв.

Следующий шаг — выполнять этот план без потери знаков и собирать результаты в таблицу значений.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным