6.3 Дерево испытаний

8 класс · Вероятность◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: классическая вероятность, умножение дробей, дерево вариантов

В мешке $2$ красных и $3$ синих шара. Вынимают два шара подряд, не возвращая первый обратно.

Один шаг мы считать умеем: $P(\text{красный})=\frac{2}{5}$. Но что происходит на втором шаге? Мешок уже другой: в нём четыре шара, и их состав зависит от того, что вытащили первым.

Вопрос урока: как удержать в голове весь многошаговый опыт и посчитать вероятность события, которое складывается из нескольких сценариев?

◎ После урока ты сможешь

• строить дерево многошагового опыта и подписывать вероятности на рёбрах
• находить вероятность пути по правилу умножения
• вычислять вероятность события суммированием по благоприятным путям
• различать опыты с возвращением и без возвращения

Прогноз до вычислений

1. Вероятность вынуть два красных шара подряд — больше или меньше $\frac{2}{5}$?
2. Изменится ли ответ, если первый шар возвращать в мешок?
3. Дерево вариантов из 6 класса показывало, сколько получится сценариев. Чего ему не хватает, чтобы говорить о вероятностях?

Дерево с числами на рёбрах

Дерево вариантов знакомо: из начальной точки выходят ветви первого шага, из каждой ветви — ветви второго. Новое здесь одно: на каждом ребре пишут вероятность этого исхода при условии, что путь до узла уже пройден.

∴ Дерево испытаний и правило умножения

Многошаговый опыт изображают деревом: узлы — состояния после очередного шага, рёбра — исходы этого шага, число на ребре — вероятность исхода в момент, когда мы уже стоим в этом узле.

Из этого следуют три правила.

1. Проверка узла. Сумма чисел на рёбрах, выходящих из одного узла, равна $1$: на каждом шаге что-то обязательно происходит.
2. Правило умножения. Вероятность пути от корня к листу равна произведению чисел на его рёбрах.
3. Правило сложения. Вероятность события равна сумме вероятностей всех путей, которые ему благоприятны. Разные пути несовместны — они ведут в разные листья.

Главная проверка: сумма вероятностей всех листьев равна $1$.

Слова «правило умножения» ты уже слышал: в переборе вариантов так называли подсчёт числа вариантов $N=n_1\cdot n_2$. Здесь перемножаются не количества, а вероятности вдоль одного пути. Дерево у них общее, вопрос разный: там считали листья, тут — доли.

Управляемый эксперимент

Собери мешок, выбери число извлечений и режим — с возвращением или без. Посмотри, как меняются числа на рёбрах второго шага.

Лаборатория дерева испытаний

Многошаговый опыт и правило умножения

В мешке лежат красные (К) и синие (С) шары. Шары вынимают по одному; режим определяет, возвращается ли шар обратно.

4 пути

Мешок с шарамиСерия выстрелов

Красных шаров 2От 1 до 5; стрелки клавиатуры меняют число на 1.

Синих шаров 3Всего в мешке 5 шаров.

Извлечений 2Каждый новый шаг ветвит дерево дальше; сейчас у него 4 пути.

Без возвращенияС возвращением

все 2 шара красныехотя бы один красный шарровно один красный шарни одного красного шара

Пути дерева: вероятность пути — произведение вероятностей его рёбер

Путь	Произведение по рёбрам	Вероятность	Событие
КК	2/5 · 1/4	1/10	✓
КС	2/5 · 3/4	3/10	✓
СК	3/5 · 1/2	3/10	✓
СС	3/5 · 1/2	3/10	—

·

P(хотя бы один красный шар) = 1/10 + 3/10 + 3/10 = 7/10.Сумма вероятностей всех 4 путей равна 1 — дерево полное, ни один исход не потерян. Благоприятные пути отмечены: вероятность события — сумма вероятностей его путей.

↺ Вернуть пример

Переключи режим на «с возвращением» и сравни числа на рёбрах второго уровня с числами первого: они станут одинаковыми во всех ветвях.

Два шара без возвращенияРазбираем вместе

В мешке $2$ красных (К) и $3$ синих (С) шара; вынимаем два шара подряд, первый не возвращаем.

Первый шаг. $P(\text{К})=\frac{2}{5}$, $P(\text{С})=\frac{3}{5}$. Проверка: $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$.

Второй шаг зависит от первого. Если первым вынули красный, в мешке остались $1$ красный и $3$ синих: $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$. Если первым вынули синий, останутся $2$ красных и $2$ синих: $\frac{2}{4}$ и $\frac{2}{4}$.

Пути и их вероятности.

$P(\text{КК})=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10},\qquad P(\text{КС})=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10},$

$P(\text{СК})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10},\qquad P(\text{СС})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}.$

Проверка: $\frac{1}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{10}{10}=1$ — дерево полное.

Событие «шары разного цвета» собрано из двух путей:

$P=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Событие «хотя бы один красный» удобнее считать через противоположное «ни одного красного», то есть через путь СС:

$P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.$

С возвращением: шаги становятся независимыми

Если вынутый шар возвращают в мешок и содержимое перемешивают, второй шаг ничего не помнит о первом. Состав мешка тот же, значит и числа на рёбрах второго уровня те же.

✦ Независимые шаги

Шаги опыта называют независимыми, если вероятности исходов очередного шага не зависят от того, что произошло раньше. Тогда дерево становится совсем простым: все пучки рёбер одинаковы, и

$P(\text{оба исхода}) = P(\text{первый})\cdot P(\text{второй}).$

Для мешка $2$ К и $3$ С с возвращением $P(\text{КК})=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$, что заметно больше, чем $\frac{1}{10}$ без возвращения: возвращённый красный шар оставляет второй попытке больше шансов.

Пока независимость мы проверяем по устройству опыта: шар вернули — шаги независимы, не вернули — зависимы. Проверять её вычислением, по равенству $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$, научимся в 10 классе.

Тест наугадРазбираем вместе

В тесте два вопроса, у каждого $4$ варианта ответа и ровно один верный. Ученик отвечает наугад, вопросы друг с другом не связаны, поэтому шаги независимы:

$P(\text{верно})=\frac{1}{4},\qquad P(\text{неверно})=\frac{3}{4}.$

Четыре пути дерева:

$P(\text{ВВ})=\frac{1}{16},\quad P(\text{ВН})=\frac{3}{16},\quad P(\text{НВ})=\frac{3}{16},\quad P(\text{НН})=\frac{9}{16}.$

Проверка: $\frac{1+3+3+9}{16}=1$.

Оба ответа верны: $\frac{1}{16}$. Ровно один верный: $\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. Хотя бы один верный: проще через противоположное событие

$1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}.$

Лаборатория умеет и такой сюжет: переключи её на «Серию выстрелов» и задай вероятность успеха дробью.

Проверка понимания

В мешке 3 белых и 2 чёрных шара. Вынимают два шара подряд без возвращения. Какова вероятность, что оба белые?

• А. 3/10
• Б. 9/25
• В. 11/10

Типичная ошибка

! Второй шаг посчитали по старому мешку

Самая частая ошибка в задачах без возвращения — оставить на втором ребре ту же дробь, что и на первом: $\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}$ вместо $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}$.

Меняются оба числа: и сколько шаров нужного цвета осталось (числитель), и сколько шаров всего (знаменатель). Спрашивай себя перед каждым ребром: сколько шаров лежит в мешке именно сейчас?

Вторая ошибка — складывать вероятности вдоль пути. Сложение отвечает на вопрос «или», умножение — на вопрос «и потом». Складывают разные пути, перемножают рёбра одного пути. Если сумма по всем листьям не равна $1$, где-то перепутаны эти два действия.

Практика

1. Монету бросают дважды. Построй дерево и найди вероятность двух орлов.
2. Монету бросают дважды. Найди вероятность события «выпал ровно один орёл».
3. Монету бросают трижды. Найди вероятность трёх орлов и вероятность события «выпал хотя бы один орёл».
4. В мешке $3$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают два шара без возвращения. Найди вероятности событий «оба белые», «оба чёрные», «шары разного цвета». Проверь сумму.
5. Тот же мешок, но шар возвращают. Найди вероятность двух белых.
6. Стрелок попадает при каждом выстреле с вероятностью $\frac{3}{5}$, выстрелы независимы. Найди вероятности «два попадания», «ни одного попадания», «ровно одно попадание» для двух выстрелов и проверь сумму.
7. Прибор работает, если исправны оба независимых блока; каждый исправен с вероятностью $\frac{9}{10}$. Найди вероятность того, что прибор работает.
8. В коробке $4$ конфеты, из них $1$ с орехом. Берут две конфеты подряд без возвращения. Найди вероятность того, что конфета с орехом попадётся.
9. В мешке $2$ красных и $3$ синих шара, вынимают три шара без возвращения. Найди вероятность того, что все три синие.
10. Почему сумма вероятностей всех листьев дерева всегда равна $1$?
11. Можно ли изобразить деревом бросок двух кубиков? Чем это неудобно?

Ответы и пояснения

1. Шаги независимы: $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.
2. Два пути — ОР и РО: $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.
3. Три орла: $\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$. Хотя бы один орёл: $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ (противоположное событие — три решки).
4. Оба белые: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$. Оба чёрные: $\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$. Разного цвета: $1-\frac{3}{10}-\frac{1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$. Сумма: $\frac{3}{10}+\frac{1}{10}+\frac{6}{10}=1$.
5. $\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$.
6. Два попадания: $\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$. Ни одного: $\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}$. Ровно одно: $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$. Сумма: $\frac{9+4+12}{25}=1$.
7. $\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}=\frac{81}{100}=0{,}81$.
8. Противоположное событие — обе конфеты без ореха: $\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Значит, искомая вероятность равна $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
9. $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$.
10. Листья — это все возможные сценарии опыта, и ровно один из них обязательно происходит. Значит, соответствующее событие достоверно, а его вероятность равна $1$.
11. Можно: первый шаг — шесть рёбер, из каждого ещё шесть. Но листьев получится $36$, рисунок огромный, и таблица $6\times6$ читается гораздо удобнее. Дерево выигрывает там, где на каждом шаге мало исходов, а шагов немного.

Итог

• Дерево испытаний хранит весь многошаговый опыт: узлы — состояния, рёбра — исходы шага, числа на рёбрах — вероятности в этот момент.
• Вероятность пути — произведение чисел на его рёбрах; вероятность события — сумма вероятностей его путей.
• Без возвращения меняются и числитель, и знаменатель следующей дроби; с возвращением шаги независимы и все пучки рёбер одинаковы.
• Сумма вероятностей всех листьев равна $1$ — это бесплатная проверка каждой задачи.

Дальше вернёмся к данным: научимся измерять не центр ряда, а его разброс — и увидим, почему двух рядов с одинаковым средним может быть недостаточно для вывода.

← Классическая вероятность · Дальше: рассеивание данных →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным