6.5 Практикум: турнир, лотерея и серия испытаний

9 класс · Вероятность◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 6.1–6.4

Школа проводит день математических игр. Нужно собрать команды, разыграть шуточную лотерею и провести серию бросков — а к каждому объявлению приложить честный расчёт.

Числа здесь большие, и проверить их перебором не выйдет. Зато каждый ответ можно проверить вторым способом: другой формулой, противоположным событием или суммой вероятностей.

Станция 1. Составы команд

На игры записались $9$ человек, а в команде играют $4$ . Порядок внутри команды роли не играет: капитанов не назначают.

Посчитай число составов сам, запиши ответ и только потом нажми «Проверить».

Сколько всего объектов, n 9От 1 до 12; стрелки клавиатуры меняют n на 1.

Сколько выбираем, k 4От 0 до 9: выбрать больше, чем есть, нельзя.

Вопрос: сколькими способами можно выбрать 4 предмета из 9, если порядок внутри выбора не важен?

Сколько получится? Запиши число без пробелов

Три величины для одних и тех же n и k
Величина	Как считается	Значение
P₉ = 9!	1 · 2 · … · 9	362 880
A(9, 4)	9 · 8 · 7 · 6	3 024
C(9, 4)	A(9, 4) : 4!	?

Посчитай сам, запиши число и нажми «Проверить».Подсказка: посчитай 4 убывающих множителей от 9 и раздели произведение на 4!.

Два взгляда на один ответРазбираем вместе

Прямой счёт. Выбираем $4$ человек из $9$ без порядка:

$C_9^4=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=\frac{3024}{24}=126.$

Через симметрию. Выбрать четверых в команду — то же самое, что выбрать пятерых в запас:

$C_9^5=C_9^4=126.$

Через треугольник Паскаля. $C_9^4=C_8^3+C_8^4=56+70=126$ .

Три пути — один ответ. Если бы капитан всё-таки назначался, вариантов стало бы в $4$ раза больше: $126\cdot4=504$ .

Станция 2. Серия бросков

Игрок бросает кубик $5$ раз; успехом считается выпадение $1$ или $2$ , то есть $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Отметь нужное значение числа успехов, посчитай его вероятность обыкновенной дробью и проверь себя.

Число испытаний n 5От 1 до 12; испытания независимы, и вероятность успеха в каждом одна и та же.

Вероятность успеха p 1/3Вероятность неудачи равна q = 1 − p = 2/3.

Схема Бернулли: 5 независимых испытаний, вероятность успеха в каждом равна 1/3 (вытянуть красный шар из трёх).

Отмеченное значение X 0Стрелки клавиатуры двигают отметку по значениям величины; для неё считаются P(X = k), P(X ≥ k) и P(X ≤ k).

Чему равна вероятность P(X = 0)? Запиши обыкновенной дробью, например 3/8

Таблица распределения: число успехов, n = 5, p = 1/3
Значение	Число путей C(n, k)	Вероятность	Приближённо
0	1	?	?
1	5	?	?
2	10	?	?
3	10	?	?
4	5	?	?
5	1	?	?
Сумма	32	1	1

Второй столбец — строка треугольника Паскаля с номером 5; её сумма равна 2^5. Числа путей одинаковы при любом p, а вероятности — нет.

Посчитай P(X = 0) сам, запиши дробь и нажми «Проверить».Подсказка: перемножь три множителя — число путей C(5, 0), степень p и степень q.

Станция 3. Случайная величина без схемы Бернулли

Не всякая случайная величина считается формулой Бернулли. Бросим два кубика и запишем сумму очков: испытания независимы, но исходов у величины одиннадцать, а не два.

Зато общий рецепт работает всегда: перечисли равновозможные исходы опыта, сосчитай, скольким из них отвечает каждое значение, и раздели.

Бросают красный и синий кубики. Равновозможны 36 пар, а не 11 сумм.

Отмеченное значение X 2Стрелки клавиатуры двигают отметку по значениям величины; для неё считаются P(X = k), P(X ≥ k) и P(X ≤ k).

Таблица распределения: сумма очков, всего 36 равновозможных исходов
Значение	Благоприятных исходов	Вероятность	Приближённо
2	1	1/36	0,0278
3	2	1/18	0,0556
4	3	1/12	0,0833
5	4	1/9	0,1111
6	5	5/36	0,1389
7	6	1/6	0,1667
8	5	5/36	0,1389
9	4	1/9	0,1111
10	3	1/12	0,0833
11	2	1/18	0,0556
12	1	1/36	0,0278
Сумма	36	1	1

Второй столбец — просто число благоприятных исходов; вероятность получается делением на общее число равновозможных исходов.

P(X = 2) = 1/36 ≈ 0,0278; P(X ≥ 2) = 1; P(X ≤ 2) = 1/36.Математическое ожидание M(X) = 7 ≈ 7. Самое вероятное значение — 7. Ожидание — это «центр тяжести» распределения, а не самое частое значение: у несимметричной картинки они расходятся.

Переключи опыт на «Орлы на трёх монетах» и сравни таблицу с формулой Бернулли при $n=3$ , $p=\frac{1}{2}$ : числа совпадут полностью. А вот сумма двух кубиков схеме Бернулли не подчиняется — и её картинка треугольная, а не колоколообразная.

Проверка понимания

Из 20 участников выбирают троих призёров с распределением первого, второго и третьего мест. Какая формула нужна?

Итоговый набор задач

В меню $4$ салата, $3$ горячих блюда и $2$ напитка. Сколько разных обедов из трёх позиций можно составить?
Сколько четырёхзначных чисел можно записать цифрами от $1$ до $9$ без повторений?
Сколькими способами $7$ человек могут сесть в ряд?
Из $20$ участников выбирают призёров на первое, второе и третье места. Сколько вариантов?
Из тех же $20$ участников выбирают троих в жюри. Сколько вариантов? Во сколько раз меньше, чем в задаче 4, и почему?
Сколько диагоналей у выпуклого двенадцатиугольника?
В классе $10$ юношей и $14$ девушек. Сколькими способами выбрать команду из $3$ юношей и $2$ девушек?
Выпиши седьмую строку треугольника Паскаля и проверь её сумму.
Монету бросают $7$ раз. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно $5$ раз.
Стрелок попадает с вероятностью $\frac{3}{4}$ и делает $4$ выстрела. Найди вероятности событий «ровно три попадания» и «хотя бы одно попадание».
Составь таблицу распределения числа орлов при трёх бросках монеты. Найди $M(X)$ и $P(X\ge2)$ .
Бросают два кубика, $X$ — сумма очков. Найди $P(X=7)$ , $P(X\ge10)$ и $M(X)$ .
В лотерее нужно отметить $5$ номеров из $36$ . Какова вероятность угадать ровно $4$ номера?
Объясни, почему ответы задач 4 и 5 отличаются ровно в $6$ раз.

Ответы, модели и проверки

Правило произведения: $4\cdot3\cdot2=24$ обеда.
Повторов нет, цифры $1$ – $9$ : $9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$ . Это $A_9^4$ .
$P_7=7!=5040$ .
$A_{20}^3=20\cdot19\cdot18=6840$ .
$C_{20}^3=\dfrac{6840}{6}=1140$ — в $3!=6$ раз меньше: жюри не различает, кого выбрали первым.
Отрезков между вершинами $C_{12}^2=66$ , сторон $12$ , диагоналей $66-12=54$ .
$C_{10}^3\cdot C_{14}^2=120\cdot91=10\,920$ : внутри группы — сочетания, между группами — умножение.
$1,\;7,\;21,\;35,\;35,\;21,\;7,\;1$ ; сумма равна $128=2^7$ .
$C_7^5\left(\frac{1}{2}\right)^7=\dfrac{21}{128}\approx0{,}164$ .
Ровно три: $C_4^3\left(\frac{3}{4}\right)^3\cdot\frac{1}{4}=4\cdot\dfrac{27}{64}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{108}{256}=\dfrac{27}{64}\approx0{,}422$ . Хотя бы одно: $1-\left(\frac{1}{4}\right)^4=1-\dfrac{1}{256}=\dfrac{255}{256}\approx0{,}996$ .
$P(0)=\frac{1}{8}$ , $P(1)=\frac{3}{8}$ , $P(2)=\frac{3}{8}$ , $P(3)=\frac{1}{8}$ ; сумма равна $1$ . Тогда $M(X)=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5$ и $P(X\ge2)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$ .
Равновозможны $36$ пар. Сумма $7$ получается $6$ парами: $P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ . Суммы $10$ , $11$ , $12$ дают $3+2+1=6$ пар: $P(X\ge10)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$ . Распределение симметрично относительно $7$ , поэтому $M(X)=7$ .
Благоприятных билетов $C_5^4\cdot C_{31}^1=5\cdot31=155$ , всего $C_{36}^5=376\,992$ . Значит, $P=\dfrac{155}{376\,992}\approx0{,}00041$ . Модель: все билеты равновозможны, порядок отметок не важен.
Каждая тройка людей даёт ровно $3!=6$ распределений мест. Формула размещений различает эти шесть вариантов, формула сочетаний — нет, поэтому $A_{20}^3=C_{20}^3\cdot3!$ .

Рефлексия проекта

В какой из задач ответ был точным, а в какой пришлось округлять — и почему?
Какую задачу ты проверил вторым способом? Совпали ли ответы?
Какое условие модели легче всего нарушить в реальной жизни: независимость испытаний, постоянство $p$ или равновозможность исходов?

Возможные ответы: все числа вариантов и все вероятности в виде обыкновенных дробей точны, округление появляется только в десятичной записи; задачу 5 проверяют делением ответа задачи 4 на $3!$ , задачу 10 — суммой всех четырёх вероятностей; в жизни первым ломается постоянство $p$ — стрелок устаёт, а шар из мешка не возвращают.

← Схема Бернулли · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.