5.7. Практикум · Модель экспедиции

6 класс · Буквы и формулы◷ 60–75 минут · можно по станциям◇ Смешанная практика · с углублениемНужно знать: уроки 5.1–5.6

Класс планирует учебную экспедицию. Аренда автобуса стоит $1800$ рублей, а страховка и питание — ещё $240$ рублей на каждого участника. Число участников $n$ в этой модели — целое неотрицательное число. Нужно записать общий план, посчитать разные сценарии и понять, сколько участников помещается в бюджет.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать между подстановкой, таблицей и преобразованием выражения
• строить модель с постоянной и переменной частью и проверять её
• искать неизвестный вход подбором и обратным рассуждением без формальных переносов

Карта понятий

Понятие	Короткий смысл	Контрольный вопрос
переменная	число, значение которого может меняться	что обозначает буква?
выражение	план арифметических действий	где скобки и каков порядок?
значение выражения	результат при заданных буквах	все ли значения подставлены?
подобные слагаемые	слагаемые с одной буквенной частью	совпадает ли «тип величины»?
формула	связь одной величины с другими	согласованы ли смысл и единицы?

Проверка понимания

Стоимость экспедиции равна 240n + 1800 рублей, а бюджет — 5400 рублей. Какая запись связывает модель с целевой стоимостью?

• А. 240n + 1800
• Б. C = 240n + 1800
• В. 240n + 1800 = 5400

От модели к неизвестному входу

Построй таблицу стоимости и подбирай целое число участников. Лаборатория показывает мост к будущей теме уравнений, но здесь достаточно смысла операций.

Лаборатория формул

Бюджет экспедиции

К фиксированным расходам 1800 ₽ добавляется по 240 ₽ на каждого участника.

C = 1800 + 240 · n

ВычислитьТаблицаПодобрать вход

Подбор: Участники, человек 12

−+

От 0 до 25, шаг 1 человек.

C = 1800 + 240 · n→4680 ₽

Проверка смысла величин

Условия модели выполнены

Все входы лежат в допустимых диапазонах, а счётные величины остаются целыми.

Мост к уравнениям

Цель: C = 5400 ₽

Получилось 4680 ₽ — на 720 ₽ меньше цели.

Меняй n с шагом 1 и следи, приближается ли результат к цели.

ƒ

Получилось 4680 ₽ — на 720 ₽ меньше цели.Сравнение с целью выполнено точно для n = 12.

↺ Вернуть пример

Сколько участников соответствует бюджету 5400 рублей?Разбираем вместе

При $n=12$ стоимость равна

$1800+240\cdot12=4680\text{ рублей}.$

До цели не хватает $720$ рублей. Каждая следующая единица $n$ добавляет $240$ рублей, значит нужно ещё $720:240=3$ участника. Получаем $n=15$.

Проверка:

$1800+240\cdot15=1800+3600=5400.$

При $n=16$ стоимость уже равна $5640$ рублей и превышает бюджет. Значит, $15$ — не только значение для точного расходования $5400$ рублей, но и наибольшее число участников, которое помещается в этот бюджет.

Мы не «переносили» числа через знак равенства: сравнили текущую стоимость с целью, а затем перевели недостающие $720$ рублей в три одинаковые прибавки по $240$ рублей.

◆ Три способа проверить модель

Подстановка проверяет отдельный случай. Таблица показывает несколько входов и шаг изменения. Смысл единиц проверяет, можно ли складывать части и правдоподобен ли результат.

Станция 1. Язык выражений

1. В экспедиции $n$ учеников и $3$ взрослых. Запиши общее число людей.
2. Каждый участник получает $2$ бутылки воды и $1$ блокнот на группу. Запиши число бутылок для $n+3$ людей.
3. За аренду оборудования берут $500$ рублей и по $90$ рублей с человека. Запиши стоимость для $p$ человек.
4. Прочитай словами $4(n+3)-2$ и укажи порядок действий.

Ответы к станции 1

1. $n+3$.
2. $2(n+3)$ бутылок.
3. $500+90p$ рублей.
4. К сумме $n+3$ применить умножение на $4$, затем вычесть $2$: скобки, умножение, вычитание.

Станция 2. Подстановка и преобразования

5. Найди стоимость $C=1800+240n$ при $n=18$.
6. Заполни три значения $y=4x-1$ для $x=-2;0;3$.
7. Раскрой скобки и упрости: $3(n+4)+2n$.
8. Упрости смету $120a+80+30a-25$.

Ответы к станции 2

5. $1800+240\cdot18=1800+4320=6120$ рублей.
6. $-9$, $-1$, $11$; пары $(-2;-9)$, $(0;-1)$, $(3;11)$.
7. $3n+12+2n=5n+12$.
8. $150a+55$.

Станция 3. Исследование модели

9. Сравни две компании: $A=1200+300n$ и $B=2400+200n$. Найди стоимости при $n=4$, $8$ и $12$. Что замечаешь?
10. Бюджет равен $4200$ рублей, модель — $1200+300n$. Найди целое $n$ подбором или обратным смысловым ходом и проверь.
11. В формуле $s=60t$ время $t$ по ошибке подставляют в минутах, а скорость $60$ дана в км/ч. Исправь вычисление расстояния за $t$ минут.
12. ★ Организатор записал $200(n+2)$ для стоимости $n$ ученических и двух взрослых билетов по одной цене. Затем взрослый билет подорожал на $50$ рублей. Построй новую формулу и упрости её.

Ответы и разбор станции 3

9. При $n=4$: $A=2400$, $B=3200$; при $n=8$: $A=3600$, $B=4000$; при $n=12$: обе стоимости равны $4800$ рублей. У A меньше постоянная часть, но больше прибавка на участника: при целых $n<12$ дешевле A, при $n=12$ цены равны, а при $n>12$ дешевле B.
10. После фиксированных $1200$ остаётся $3000$ рублей; это $3000:300=10$ одинаковых взносов. Проверка: $1200+300\cdot10=4200$.
11. Если число минут обозначено $t$, то время в часах равно $\frac{t}{60}$. Поэтому $s=60\cdot\frac{t}{60}=t$ км в данной модели: числовое равенство расстояния в километрах и времени в минутах здесь связано именно со скоростью $60$ км/ч.
12. Ученические билеты стоят $200n$, два взрослых — по $250$: $C=200n+2\cdot250=200n+500$.

! Равенство — не команда переноса

Запись $240n+1800=5400$ утверждает, что две величины равны. Пока мы ищем $n$ таблицей, проверкой и обратным смысловым ходом. Общие правила решения уравнений будут отдельной темой; здесь важно не менять равенство необоснованно.

Финальная самопроверка

Проверь свой проект четырьмя вопросами:

1. Для каждой ли буквы назван смысл и единица?
2. Совпадает ли порядок действий с сюжетом?
3. Объединены ли только подобные части?
4. Возвращает ли подстановка найденного значения нужный результат?

Что взять с собой дальше

• Буква позволяет говорить сразу о множестве числовых случаев.
• Выражение — план, преобразование — другой вид того же плана, формула — модель связи величин.
• Подстановка и таблица связывают символы с проверяемыми числами.
• Запись с неизвестным значением уже появилась, но правила её решения ещё предстоит обосновать.

Следующий естественный вопрос: как находить неизвестное число не только подбором? К нему ведёт тема равенств и уравнений, где знак равенства станет главным объектом исследования.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным