6.2 Классическая вероятность

8 класс · Вероятность◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: события и операции над ними, сокращение дробей, относительная частота

В прошлом году вероятность приходилось добывать опытом: бросить монету пятьсот раз и посмотреть, около какого числа успокоилась доля орлов.

Но для симметричной монеты ответ известен заранее — $\frac{1}{2}$. И для правильного кубика тоже: $\frac{1}{6}$ на каждую грань. Вопрос урока: когда вероятность можно вычислить, не проводя опыт, и как считать её для составных событий?

◎ После урока ты сможешь

• проверять, равновозможны ли исходы опыта
• вычислять вероятность по формуле P = m/n и сокращать результат
• находить вероятность противоположного события
• складывать вероятности событий, не забывая про их общую часть

Прогноз до вычислений

1. Вероятность вытащить из мешка с двенадцатью карточками простое число — больше или меньше половины?
2. Два кубика бросают одновременно. Чего больше: способов получить сумму $7$ или сумму $12$?
3. Стрелок либо попадает, либо промахивается. Значит ли это, что вероятность попадания равна $\frac{1}{2}$?

Когда исходы равновозможны

∴ Классическое определение вероятности

Пусть у опыта конечное число исходов и все они равновозможны: нет ни одной причины ожидать один исход чаще другого. Если всего исходов $n$, а событию $A$ благоприятны $m$ из них, то

$P(A)=\frac{m}{n}.$

Из определения сразу следуют границы: $0\le P(A)\le1$, причём $P(\varnothing)=0$ для невозможного события и $P(\Omega)=1$ для достоверного.

Слово «равновозможны» — не формальность, а условие применимости. Симметрия монеты, кубика и одинаковых на ощупь карточек это условие обеспечивает; форма канцелярской кнопки или мастерство стрелка — нет. Там вероятность по-прежнему оценивают по длинной серии: $P\approx\frac{m}{n}$, где $n$ — число проведённых опытов.

Разница в записи одна: $=$ против $\approx$. Разница в смысле огромная.

◆ Частота и вероятность — про одно и то же число

Здесь стоит остановиться, потому что это стержень всей темы. В 7 классе вероятность вводили с другого конца: как число, около которого группируется относительная частота $\frac{m}{n}$ в длинной серии опытов. Сегодня мы для равновозможных исходов вычислили её заранее — как долю благоприятных исходов.

Это не два разных числа и не два конкурирующих определения. Классическая формула даёт ровно то самое число, к которому подходит частота. Серия бросков монеты приближается не к чему-то своему: доля орлов шла $0{,}7\to0{,}56\to0{,}496\to0{,}482$ — то есть к половине, посчитанной из симметрии монеты.

Отсюда и разделение труда. Есть симметрия — считаем точно и используем серию как проверку. Нет симметрии (кнопка, стрелок) — вычислить нечего, остаётся длинная серия, и знак $=$ честно меняется на $\approx$.

Управляемый эксперимент

Мешок из двенадцати карточек: все исходы равновозможны, поэтому вероятность любого события — просто доля благоприятных карточек. Переключай операции и следи за последним столбцом таблицы.

Лаборатория событий

Вероятность события и операции над событиями

В мешке двенадцать одинаковых карточек с числами от 1 до 12; одну достают наугад. Выбери два события и посмотри, из каких исходов складывается результат операции.

P = m / n

Событие Aчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 6

Событие Bчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 4

ABA ∪ BA ∩ BĀA \ B

Событие A

6

число чётное: {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Событие B

4

число делится на 3: {3; 6; 9; 12}.

Все исходы равновозможны, поэтому вероятность — доля благоприятных

Событие	Благоприятных m	m / 12	Вероятность
A	6	6/12	1/2
B	4	4/12	1/3
A ∪ B	8	8/12	2/3
A ∩ B	2	2/12	1/6
Ā	6	6/12	1/2
A \ B	4	4/12	1/3

P

A ∪ B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}, поэтому P(A ∪ B) = 8/12 = 2/3.Событие A ∪ B происходит ровно тогда, когда произошло хотя бы одно из событий. Проверка суммы по областям диаграммы: 4 + 2 + 2 + 4 = 12.

Сравни строки $A$, $B$ и $A\cup B$: вероятность объединения меньше суммы двух первых ровно на вероятность общей части.

Правила, которые экономят счёт

∴ Противоположное событие и сложение

Пусть $A$ и $B$ — события одного опыта с равновозможными исходами.

Противоположное событие. Из $|A|+|\bar{A}|=n$ следует

$P(\bar{A})=1-P(A).$

Несовместные события. Если $A\cap B=\varnothing$, то благоприятные исходы не пересекаются и

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Общий случай. Если общая часть есть, её вычитают ровно один раз:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Правило про противоположное событие часто короче прямого счёта. «Хотя бы один» почти всегда удобнее считать через «ни одного».

Карточки: два пути к одному ответуРазбираем вместе

Мешок из двенадцати карточек, $A$ — «число чётное», $B$ — «число делится на $3$».

Прямой счёт. Объединению благоприятны карточки $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$ — их $8$, поэтому

$P(A\cup B)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$

По правилу сложения. $P(A)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$, а общая часть $A\cap B=\{6;\,12\}$ даёт $P(A\cap B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. Тогда

$P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

Ответы совпали. А вот наивное $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ завышает результат: карточки $6$ и $12$ посчитаны дважды.

Два кубика: считаем пары

Бросают два кубика — красный и синий. Исходом считают пару «что на красном, что на синем». Таких пар $6\cdot6=36$, и они равновозможны: кубики симметричны и не влияют друг на друга.

Сумма очков в этих $36$ парах распределена неравномерно:

Сумма	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
Число пар	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$

Проверка: $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36$.

Вероятности для двух кубиковРазбираем вместе

Сумма равна $8$. Подходят пары $(2;6)$, $(3;5)$, $(4;4)$, $(5;3)$, $(6;2)$ — их $5$:

$P=\frac{5}{36}.$

Сумма не меньше $10$. Это несовместные события «сумма $10$», «сумма $11$», «сумма $12$», поэтому числа пар складываются: $3+2+1=6$, и

$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Хотя бы на одном кубике шестёрка. Прямой счёт требует аккуратности, а противоположное событие считается мгновенно: «ни на одном нет шестёрки» — это $5\cdot5=25$ пар. Значит,

$P=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.$

Проверка правдоподобия: $\frac{11}{36}\approx0{,}31$ — примерно треть, что похоже на правду.

Проверка понимания

Стрелок делает один выстрел. Исхода два: попал или промахнулся. Верно ли, что вероятность попадания равна 1/2?

• А. Верно: исходов два, значит на каждый приходится половина
• Б. Неверно: исходы не равновозможны, вероятность оценивают по длинной серии выстрелов
• В. Неверно: вероятность попадания всегда больше 1/2

Типичная ошибка

! Исходы посчитали, а равновозможность не проверили

Классическая ловушка: «бросаем два кубика, сумма бывает от $2$ до $12$ — значит, исходов $11$ и вероятность каждой суммы равна $\frac{1}{11}$».

Это неверно. Сумма $2$ получается единственным способом $(1;1)$, а сумма $7$ — шестью способами. Равновозможны пары, а не суммы:

$P(\text{сумма }2)=\frac{1}{36},\qquad P(\text{сумма }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Правило простое: сначала выбери такой список исходов, у которого равновозможность видна из симметрии опыта, и только потом считай долю.

Практика

1. Бросают кубик. Найди $P(\text{выпало }5)$.
2. Бросают кубик. Найди вероятность события «выпало чётное число».
3. Бросают кубик. Найди вероятность события «выпало число больше $4$».
4. В мешке $5$ красных и $7$ синих шаров, одинаковых на ощупь. Найди вероятность вынуть красный и вероятность вынуть синий. Проверь сумму.
5. Карточки с числами от $1$ до $12$. Найди вероятность события «число простое».
6. Те же карточки. Найди вероятность события «число делится на $3$ или больше $8$».
7. Известно, что $P(A)=\frac{3}{8}$. Найди $P(\bar{A})$.
8. Бросают два кубика. Найди вероятность того, что сумма равна $7$.
9. Бросают два кубика. Найди вероятность того, что на кубиках выпали одинаковые числа.
10. Бросают два кубика. Найди вероятность события «сумма не меньше $11$».
11. В лотерее $40$ билетов, из них $6$ выигрышных. Найди вероятность выигрыша обычной дробью и десятичной.
12. Почему к опыту «падение канцелярской кнопки» формулу $P=\frac{m}{n}$ применять нельзя?

Ответы и пояснения

1. $\frac{1}{6}$.
2. Благоприятны $2$, $4$, $6$: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
3. Благоприятны $5$ и $6$: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
4. Всего $12$ шаров: $P(\text{красный})=\frac{5}{12}$, $P(\text{синий})=\frac{7}{12}$. Сумма равна $\frac{12}{12}=1$ — события противоположные.
5. Простые числа до $12$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ — их $5$, значит $\frac{5}{12}$.
6. $A=\{3;\,6;\,9;\,12\}$, $B=\{9;\,10;\,11;\,12\}$, $A\cap B=\{9;\,12\}$. Тогда $\frac{4}{12}+\frac{4}{12}-\frac{2}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
7. $P(\bar{A})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.
8. Пар с суммой $7$ шесть: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
9. Одинаковых пар шесть: $(1;1),\dots,(6;6)$, поэтому $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
10. Сумма $11$ — две пары, сумма $12$ — одна: $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
11. $\frac{6}{40}=\frac{3}{20}=0{,}15$.
12. Кнопка несимметрична: нет причин считать исходы «остриём вверх» и «на бок» равновозможными. Вероятность здесь получают только из длинной серии опытов.

Итог

• Формула $P(A)=\frac{m}{n}$ применима, только если все $n$ исходов равновозможны; иначе остаётся частотная оценка.
• Любая вероятность лежит между $0$ и $1$; невозможное событие имеет вероятность $0$, достоверное — $1$.
• $P(\bar{A})=1-P(A)$ — самый быстрый путь к событиям вида «хотя бы один».
• Складывать вероятности напрямую можно только для несовместных событий; иначе вычитают вероятность общей части.

Дальше опыт станет многошаговым: карточку тянут дважды, стрелок стреляет трижды. Считать исходы списком станет тяжело — и появится дерево.

← События и множества · Дальше: дерево испытаний →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным