6.4 Схема Бернулли

9 класс · Вероятность◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: сочетания, дерево испытаний, умножение дробей, степени

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $\frac{3}{5}$ и делает $5$ выстрелов. Какова вероятность ровно трёх попаданий?

Деревом испытаний задача решается — но у дерева будет $2^5=32$ листа, и придётся вручную отобрать те, где ровно три попадания. Уже при десяти выстрелах листьев станет $1024$.

Вопрос урока: как посчитать вероятность «ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях», не рисуя дерево?

◎ После урока ты сможешь

• проверять, выполняются ли условия схемы Бернулли
• применять формулу Бернулли и понимать смысл каждого из трёх множителей
• считать вероятности событий «хотя бы один» и «не более k» через таблицу
• строить таблицу распределения числа успехов и находить M(X) = n·p

Прогноз до вычислений

1. У стрелка с вероятностью попадания $\frac{3}{5}$ и пятью выстрелами какое число попаданий самое вероятное?
2. Вероятность ровно трёх попаданий — это больше или меньше половины?
3. Кубик бросают четыре раза. Вероятность «хотя бы одна шестёрка» — больше или меньше $\frac{1}{2}$?

Условия схемы

∴ Схема Бернулли

Говорят, что проводится серия испытаний по схеме Бернулли, если выполнены три условия.

1. Испытаний конечное число $n$, и они независимы: исход одного не влияет на вероятности других.
2. У каждого испытания ровно два исхода — назовём их «успех» и «неудача».
3. Вероятность успеха $p$ одна и та же во всех испытаниях; вероятность неудачи $q=1-p$.

Слово «успех» здесь техническое: успехом может быть и попадание, и брак, и выпадение шестёрки — то, что мы считаем.

Независимость здесь понимается так же, как в дереве испытаний: исход одного шага не меняет вероятностей следующего. Проверять её вычислением — по равенству $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ — научимся в 10 классе; пока хватает устройства опыта.

Проверять условия обязательно. Извлечение шаров без возвращения схеме Бернулли не подчиняется: после первого шара состав мешка меняется, и $p$ уже не постоянна. С возвращением — подчиняется.

Формула Бернулли

Посмотрим на один конкретный сценарий пяти выстрелов: попал, попал, промах, попал, промах. Испытания независимы, поэтому вероятность этого пути равна произведению

$\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}=\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2.$

Важное наблюдение: у любого пути с тремя попаданиями вероятность точно такая же — меняется лишь порядок множителей. Осталось понять, сколько таких путей. Путь задаётся тем, какие три из пяти выстрелов оказались удачными, а это выбор без порядка: $C_5^3=10$.

∴ Формула Бернулли

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ произойдёт ровно $k$ успехов, равна

$P_n(k)=C_n^k\,p^k\,q^{\,n-k},\qquad q=1-p.$

Три множителя отвечают трём вопросам:

• $C_n^k$ — сколько путей приводят к $k$ успехам;
• $p^k$ — вероятность успехов вдоль одного пути;
• $q^{\,n-k}$ — вероятность неудач вдоль того же пути.

Пять выстрелов, три попаданияРазбираем вместе

Дано: $n=5$, $p=\frac{3}{5}$, $q=\frac{2}{5}$, $k=3$.

$C_5^3=\frac{5\cdot4\cdot3}{6}=10,\qquad \left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{27}{125},\qquad \left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}.$

Перемножаем:

$P_5(3)=10\cdot\frac{27}{125}\cdot\frac{4}{25}=\frac{1080}{3125}=\frac{216}{625}\approx0{,}3456.$

Меньше половины — и это нормально: у случайной величины шесть возможных значений, и ни одно из них не обязано быть вероятнее всех остальных вместе взятых.

Управляемый эксперимент

Задай число испытаний и вероятность успеха и посмотри на всю таблицу сразу. Двигай отметку по значениям: рядом считаются $P(X=k)$, $P(X\ge k)$ и $P(X\le k)$.

Лаборатория распределений

Случайная величина и её распределение

Слева таблица всех значений с точными вероятностями, справа их картина. Сумма вероятностей всегда равна единице — это первая проверка любой таблицы.

n = 5, p = 3/5

Схема БернуллиОпыт с равновозможными исходами

Число испытаний n 5От 1 до 12; испытания независимы, и вероятность успеха в каждом одна и та же.

Вероятность успеха p 3/51/6 — шестёрка при броске кубика1/4 — угадать ответ из четырёх наугад1/3 — вытянуть красный шар из трёх1/2 — орёл у симметричной монеты3/5 — попадание у среднего стрелка2/3 — верный ответ у подготовленного ученика3/4 — исправная деталь на потоке9/10 — надёжный блок прибораВероятность неудачи равна q = 1 − p = 2/5.

Схема Бернулли: 5 независимых испытаний, вероятность успеха в каждом равна 3/5 (попадание у среднего стрелка).

Отмеченное значение X 0Стрелки клавиатуры двигают отметку по значениям величины; для неё считаются P(X = k), P(X ≥ k) и P(X ≤ k).

Таблица распределения: число успехов, n = 5, p = 3/5

Значение	Число путей C(n, k)	Вероятность	Приближённо
0	1	32/3125	0,0102
1	5	48/625	0,0768
2	10	144/625	0,2304
3	10	216/625	0,3456
4	5	162/625	0,2592
5	1	243/3125	0,0778
Сумма	32	1	1

Второй столбец — строка треугольника Паскаля с номером 5; её сумма равна 2^5. Числа путей одинаковы при любом p, а вероятности — нет.

Σ

P(X = 0) = 32/3125 ≈ 0,0102; P(X ≥ 0) = 1; P(X ≤ 0) = 32/3125.Математическое ожидание M(X) = 3 ≈ 3. Самое вероятное значение — 3. Проверка формулой: M(X) = n·p = 5·3/5 = 3. Ожидание почти никогда не совпадает с самым вероятным значением и вовсе не обязано быть целым.

↺ Вернуть пример

Понаблюдай за двумя вещами. Первая: при $p=\frac{1}{2}$ картинка симметрична, а числа путей — это строка треугольника Паскаля. Вторая: штриховая линия $M(X)$ стоит там, где картинка «уравновешена», и почти никогда не попадает точно на столбик.

Распределение числа успехов

Обозначим через $X$ число успехов в серии. Заранее оно неизвестно — это случайная величина. Но у каждого её значения есть вычислимая вероятность, и весь набор значений с вероятностями называют распределением.

Общее определение случайной величины — числовой характеристики исхода опыта — ждёт в 10 классе. Пока достаточно понимать её как число, которое выдаёт опыт.

Для стрелка ($n=5$, $p=\frac{3}{5}$) удобно привести все вероятности к общему знаменателю $5^5=3125$:

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$C_5^k$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$
$P_5(k)\cdot3125$	$32$	$240$	$720$	$1080$	$810$	$243$

Проверка: $32+240+720+1080+810+243=3125$, то есть сумма вероятностей равна $1$. Если сумма не сошлась — ошибка в вычислениях, и искать её нужно сразу.

✦ Математическое ожидание

Математическим ожиданием случайной величины называют число

$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_mp_m,$

то есть среднее значений, взвешенное их вероятностями. Это «центр тяжести» распределения: при большом числе повторов серии среднее из полученных значений будет близко к $M(X)$.

Для схемы Бернулли ответ красивый:

$M(X)=n\,p.$

У стрелка $M(X)=5\cdot\frac{3}{5}=3$ попадания, а у теста из $10$ вопросов с угадыванием $p=\frac{1}{4}$ ожидание равно $2{,}5$ верных ответа. Дробное значение не должно смущать: ожидание — не предсказание одного опыта, а долговременное среднее.

Это первая встреча с $M(X)$, и она не последняя: в 10 классе ожидание считают для любого распределения, а в 11-м из него вырастает справедливая цена игры.

Четыре броска кубикаРазбираем вместе

Успех — выпадение шестёрки, $p=\frac{1}{6}$, $q=\frac{5}{6}$, $n=4$.

Ровно одна шестёрка.

$P_4(1)=C_4^1\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3=4\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{125}{216}=\frac{500}{1296}=\frac{125}{324}\approx0{,}386.$

Ни одной шестёрки.

$P_4(0)=\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{1296}\approx0{,}482.$

Хотя бы одна шестёрка. Считать четыре слагаемых незачем — работает противоположное событие:

$P=1-\frac{625}{1296}=\frac{671}{1296}\approx0{,}518.$

Чуть больше половины. Кстати, $M(X)=4\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ — в среднем меньше одной шестёрки за четыре броска.

Проверка понимания

Монету бросают 6 раз. Какова вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза?

• А. 1/64
• Б. 4/6
• В. 15/64

Типичная ошибка

! Посчитали один путь вместо всех

Самая частая ошибка — потерять множитель $C_n^k$:

$P_5(3)\ne\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{108}{3125}.$

Это вероятность одного конкретного сценария, например «попал, попал, попал, промах, промах». Сценариев с тремя попаданиями десять, поэтому ответ в десять раз больше.

Вторая ошибка — перепутать степени: написать $p^{\,n-k}q^k$. Проверяй по смыслу: показатель у $p$ — это число успехов, у $q$ — число неудач, и вместе они дают $n$.

Третья ошибка — применить схему там, где $p$ меняется. «Из мешка без возвращения вынимают три шара» — не схема Бернулли: после первого извлечения вероятность успеха другая. Проверяй условие постоянства $p$ до того, как возьмёшь формулу.

Практика

1. Монету бросают $6$ раз. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно $4$ раза.
2. Монету бросают $6$ раз. Найди вероятность события «выпал хотя бы один орёл».
3. Кубик бросают $4$ раза. Найди вероятность ровно одной шестёрки.
4. Кубик бросают $4$ раза. Найди вероятность события «хотя бы одна шестёрка».
5. Стрелок попадает с вероятностью $\frac{3}{5}$ и делает $5$ выстрелов. Найди вероятность ровно трёх попаданий.
6. Тот же стрелок. Найди вероятность того, что он не попадёт ни разу.
7. В тесте $5$ вопросов, у каждого $4$ варианта ответа и ровно один верный; ученик отвечает наугад. Найди вероятность ровно двух верных ответов.
8. Тот же тест. Найди вероятности событий «ни одного верного ответа» и «хотя бы один верный ответ».
9. Прибор состоит из $3$ независимых блоков, каждый исправен с вероятностью $\frac{9}{10}$. Найди вероятность того, что исправны ровно два блока.
10. Составь таблицу распределения числа орлов при трёх бросках монеты и проверь сумму вероятностей.
11. Найди $M(X)$ для схемы Бернулли с $n=10$ и $p=\frac{1}{5}$.
12. Объясни, почему сумма всех чисел строки треугольника Паскаля равна $2^n$, а сумма вероятностей схемы Бернулли равна $1$ при любом $p$.

Ответы и пояснения

1. $C_6^4\left(\frac{1}{2}\right)^6=\dfrac{15}{64}\approx0{,}234$.
2. Противоположное событие — «ни одного орла»: $1-\dfrac{1}{64}=\dfrac{63}{64}\approx0{,}984$.
3. $C_4^1\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3=\dfrac{500}{1296}=\dfrac{125}{324}\approx0{,}386$.
4. $1-\left(\frac{5}{6}\right)^4=1-\dfrac{625}{1296}=\dfrac{671}{1296}\approx0{,}518$.
5. $C_5^3\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2=\dfrac{1080}{3125}=\dfrac{216}{625}\approx0{,}346$.
6. $\left(\frac{2}{5}\right)^5=\dfrac{32}{3125}\approx0{,}010$.
7. $C_5^2\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3=10\cdot\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{27}{64}=\dfrac{270}{1024}=\dfrac{135}{512}\approx0{,}264$.
8. Ни одного: $\left(\frac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}\approx0{,}237$. Хотя бы один: $1-\dfrac{243}{1024}=\dfrac{781}{1024}\approx0{,}763$.
9. $C_3^2\left(\frac{9}{10}\right)^2\cdot\frac{1}{10}=3\cdot\dfrac{81}{100}\cdot\dfrac{1}{10}=\dfrac{243}{1000}=0{,}243$.
10. $P(0)=\frac{1}{8}$, $P(1)=\frac{3}{8}$, $P(2)=\frac{3}{8}$, $P(3)=\frac{1}{8}$; сумма $\dfrac{1+3+3+1}{8}=1$. Числители — четвёртая строка треугольника Паскаля.
11. $M(X)=10\cdot\frac{1}{5}=2$ успеха.
12. Каждый элемент множества либо входит в подмножество, либо нет: $n$ шагов по $2$ варианта дают $2^n$, и это же число равно сумме чисел строки. С вероятностями похоже: сумма всех $P_n(k)$ — это раскрытие выражения $(p+q)^n$, а $p+q=1$, поэтому сумма равна $1$ при любом $p$. При $p=q=\frac{1}{2}$ обе проверки совпадают: все пути равновозможны, и их ровно $2^n$.

Итог

• Схема Бернулли требует трёх условий: независимость испытаний, два исхода, постоянная вероятность успеха.
• $P_n(k)=C_n^k\,p^k\,q^{\,n-k}$: число путей умножается на вероятность одного пути.
• События «хотя бы один» короче считать через противоположное: $1-q^{\,n}$.
• Все значения числа успехов вместе с вероятностями образуют распределение случайной величины; сумма вероятностей равна $1$.
• Математическое ожидание $M(X)=np$ — долговременное среднее, а не предсказание одного опыта.

Дальше — практикум: соберём правила подсчёта, сочетания и схему Бернулли в один разбор и посмотрим на распределения величин, которые Бернулли не описываются, — например, суммы очков на двух кубиках.

← Сочетания · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным