3.4 Множества и логика

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: числовые промежутки, множества событий, определения и доказательства

На доске написано утверждение: «Все корни этого уравнения положительны». Как его опровергнуть?

Проверить все корни и убедиться, что каждый из них положителен, — так утверждение можно только подтвердить. А чтобы опровергнуть, достаточно одного корня, который положительным не является. Один контрпример убивает слово «все».

Это не приём и не хитрость. Это правило языка: у каждого утверждения есть точное отрицание, и оно получается по формальным законам. В этом уроке мы разберём язык, на котором записано всё, что мы делали до сих пор: язык множеств, связок и кванторов.

◎ После урока ты сможешь

• записывать условия и ответы на языке множеств и операций над ними
• переводить связки «и», «или», «не» в пересечение, объединение и дополнение
• строить отрицание утверждения с квантором
• различать необходимое и достаточное условие
• проводить прямое доказательство, доказательство от противного и опровержение контрпримером

Прогноз до вычислений

• Как одним словом назвать множество решений системы двух условий? А совокупности?
• Что нужно предъявить, чтобы опровергнуть утверждение «каждое простое число нечётно»?
• Утверждение «$x=3$» и утверждение «$x^2=9$» — какое из них сильнее?

Эксперимент: операции над множествами

Выбирай два условия и операцию. Смотри, какие элементы попадают в результат при «хотя бы одно», при «оба сразу» и при отрицании.

Лаборатория событий

События, операции и диаграмма Эйлера

В мешке двенадцать одинаковых карточек с числами от 1 до 12; одну достают наугад. Выбери два события и посмотри, из каких исходов складывается результат операции.

n = 12

Событие Aчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 6

Событие Bчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 5

ABA ∪ BA ∩ BĀA \ B

Событие A

6

число чётное: {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Событие B

5

число простое: {2; 3; 5; 7; 11}.

∪

A ∩ B = {2}; в этом событии 1 из 12 исходов.Событие A ∩ B происходит ровно тогда, когда произошли оба события сразу. Проверка суммы по областям диаграммы: 5 + 1 + 4 + 2 = 12.

А теперь то же самое на числовой прямой: система двух условий — это пересечение двух множеств.

Лаборатория неравенств

Система: где два условия выполняются одновременно

Каждое неравенство даёт свою часть прямой. Ответ системы — то, что закрашено дважды.

система

Первое неравенство

Коэффициент при x слева 1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева 0

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: ⩾ — больше или равно

<⩽>⩾

Число справа −1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Второе неравенство

Коэффициент при x слева 1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева 0

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: < — меньше

<⩽>⩾

Число справа 4

−+

От −10 до 10, шаг 1

Три множества: два условия и их общая часть

Неравенство	Решение	Название
x ⩾ −1	[−1; +∞)	числовой луч
x < 4	(−∞; 4)	открытый числовой луч
Система	[−1; 4)	полуинтервал

∩

Ответ системы: [−1; 4).Первое неравенство даёт [−1; +∞), второе — (−∞; 4). Решение системы — общая часть.

↺ Вернуть пример

Множества и операции

∴ Основные обозначения

Множество задают перечислением элементов, $A=\{1;\,2;\,5\}$, или описанием свойства, $B=\{x\mid x>3\}$.

• $a\in A$ — элемент $a$ принадлежит множеству $A$; $a\notin A$ — не принадлежит.
• $A\subset B$ — каждый элемент $A$ принадлежит $B$ ($A$ — подмножество $B$).
• $\varnothing$ — пустое множество, в нём нет ни одного элемента.
• $A\cap B$ — пересечение: элементы, принадлежащие обоим множествам.
• $A\cup B$ — объединение: элементы, принадлежащие хотя бы одному.
• $A\setminus B$ — разность: элементы $A$, не принадлежащие $B$.

Числовые множества вложены друг в друга:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$

Натуральные — внутри целых, целые — внутри рациональных, рациональные — внутри действительных. Например, $-3\in\mathbb{Z}$, но $-3\notin\mathbb{N}$; а $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$, но $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$.

∴ Связки и операции — одно и то же

Запись словами	Логическая связка	Операция над множествами
выполнены оба условия	«и», система $\{$	пересечение $\cap$
выполнено хотя бы одно	«или», совокупность $[$	объединение $\cup$
условие не выполнено	«не»	дополнение

Поэтому ответ системы $\begin{cases}x\ge-1\\ x<4\end{cases}$ записывают как $[-1;\,4)$, а ответ совокупности $x\le0$ или $x>2$ — как $(-\infty;\,0]\cup(2;+\infty)$.

Кванторы и отрицание

∴ Два квантора

$\forall$ — «для любого», квантор всеобщности. $\exists$ — «существует», квантор существования.

Отрицание меняет квантор на противоположный, а условие — на своё отрицание:

$\overline{\forall x\ P(x)}\ =\ \exists x\ \overline{P(x)},\qquad \overline{\exists x\ P(x)}\ =\ \forall x\ \overline{P(x)}.$

Отрицание утверждения «все корни положительны» — это не «все корни неположительны», а «существует корень, который не положителен». Разница принципиальная: во втором случае достаточно одного примера.

Так же устроены отрицания слов «хотя бы один» и «ни одного»:

• «хотя бы один ученик решил задачу» $\;\to\;$ «ни один ученик не решил задачу»;
• «все числа набора чётны» $\;\to\;$ «найдётся нечётное число».

Необходимое и достаточное

∴ Что означают стрелки

Если из $A$ следует $B$ ($A\Rightarrow B$), то говорят:

• $A$ — достаточное условие для $B$ (хватает $A$, чтобы получить $B$);
• $B$ — необходимое условие для $A$ (без $B$ никакого $A$ не будет).

Если верно и $A\Rightarrow B$, и $B\Rightarrow A$, пишут $A\Leftrightarrow B$ и говорят: $A$ — необходимое и достаточное условие для $B$, или «$A$ верно тогда и только тогда, когда верно $B$».

Пример. «$x=3$» $\Rightarrow$ «$x^2=9$», но обратное неверно. Значит, равенство $x=3$ достаточно для $x^2=9$, но не необходимо: подходит ещё и $x=-3$.

Это ровно та же логика, что и в первом уроке главы: уравнение-следствие — необходимое условие, равносильное уравнение — необходимое и достаточное.

Три способа доказать (и один — опровергнуть)

∴ Методы доказательства

Прямое доказательство. Из посылок цепочкой верных переходов получают вывод.

От противного. Предполагают, что вывод неверен, и вместе с посылками приходят к противоречию. Значит, предположение невозможно.

Контрпример. Чтобы опровергнуть утверждение со словом «все» или «любой», достаточно одного примера, где оно не выполняется. Обратите внимание: примерами доказать утверждение о всех объектах нельзя — можно только опровергнуть.

Контрпримеры ты строишь давно: впервые — ещё в 6 классе, когда одним кривым четырёхугольником опровергал «у всех четырёхугольников диагонали равны» (треугольники и четырёхугольники). Новое здесь — объяснение асимметрии, которая тогда выглядела просто везением. Она следует из правила отрицания: «все $x$ обладают свойством $P$» отрицается как «существует $x$ без свойства $P$». Опровержение — это утверждение о существовании, и для него достаточно предъявить один объект. Доказательство же остаётся утверждением о всех, и никакой список примеров его не закрывает.

Прямое доказательствоРазбираем вместе

Утверждение. Если $n$ — чётное натуральное число, то $n^2$ делится на $4$.

Доказательство. По определению чётности $n=2k$ для некоторого натурального $k$. Тогда

$n^2=(2k)^2=4k^2.$

Множитель $4$ выделен явно, значит $n^2$ делится на $4$. $\blacksquare$

Доказательство от противногоРазбираем вместе

Утверждение. Если $n^2$ — чётное натуральное число, то и $n$ чётно.

Доказательство. Предположим противное: $n^2$ чётно, а $n$ нечётно. Тогда $n=2k+1$ и

$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,$

то есть $n^2$ нечётно. Это противоречит условию. Значит, предположение невозможно и $n$ чётно. $\blacksquare$

Второй пример той же схемы: уравнение $x^2+1=0$ не имеет действительных корней. Предположим, корень $x_0$ существует. Тогда $x_0^2=-1$, но квадрат действительного числа неотрицателен. Противоречие.

Опровержение контрпримеромРазбираем вместе

Утверждение. «Если $a^2=b^2$, то $a=b$».

Контрпример. $a=2$, $b=-2$. Условие выполнено: $4=4$. Вывод неверен: $2\ne-2$. Утверждение опровергнуто. $\blacksquare$

Ещё один: «сумма двух иррациональных чисел иррациональна» опровергается парой $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$: их сумма равна $0$ и вполне рациональна.

Именно этот контрпример стоит за всей главой: квадрат не различает $a$ и $-a$, поэтому возведение в квадрат и добавляет посторонние корни.

Проверка понимания

Как звучит отрицание утверждения «все корни уравнения целые»?

• А. Все корни уравнения нецелые
• Б. Существует корень уравнения, который не является целым
• В. У уравнения нет корней

! Логические ловушки

Проверили несколько случаев и объявили доказанным. Выражение $n^2+n+41$ даёт простое число при $n=0,1,2,\dots,39$ — сорок подряд удачных проверок. А при $n=40$ получается $1600+40+41=1681=41^2$, число составное. Примеры доказательством не являются.

Перепутали необходимое и достаточное. «Чтобы число делилось на $6$, необходимо, чтобы оно делилось на $2$» — верно. «Достаточно» — неверно: число $4$ делится на $2$ и не делится на $6$.

Отрицали «все» через «ни один». Отрицание фразы «все задачи решены» — «хотя бы одна задача не решена», а вовсе не «ни одна задача не решена».

Спутали «или» с «и». В математике «или» не исключающее: $A\cup B$ содержит и те элементы, которые попали в оба множества сразу.

Практика

1. Запиши перечислением множество корней уравнения $(x-3)(x+1)=0$.
2. Верно ли, что $-3\in\mathbb{Z}$? А что $-3\in\mathbb{N}$? А что $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$?
3. Найди $A\cap B$ и $A\cup B$, если $A=[-2;\,3]$ и $B=(1;\,5)$.
4. Запиши множеством решение системы $x\ge-1$ и $x<4$.
5. Запиши множеством решение совокупности $x\le0$ или $x>2$.
6. Сформулируй отрицание утверждения «все корни уравнения положительны».
7. Сформулируй отрицание утверждения «существует натуральное число, меньшее $30$ и делящееся и на $5$, и на $7$». Какое из двух утверждений верно?
8. Условие «$x=3$» для условия «$x^2=9$» — необходимое, достаточное или и то и другое?
9. Опровергни контрпримером: «если $a^2=b^2$, то $a=b$».
10. Опровергни контрпримером: «сумма двух иррациональных чисел иррациональна».
11. Докажи прямо: если $n$ нечётно, то $n^2$ нечётно.
12. Докажи от противного: если сумма двух чисел больше $10$, то хотя бы одно из них больше $5$.

Ответы и пояснения

1. $\{-1;\,3\}$.
2. $-3\in\mathbb{Z}$ — верно; $-3\in\mathbb{N}$ — неверно; $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ — неверно, это иррациональное число.
3. $A\cap B=(1;\,3]$, $A\cup B=[-2;\,5)$.
4. $[-1;\,4)$.
5. $(-\infty;\,0]\cup(2;+\infty)$.
6. «Существует корень уравнения, который не положителен», то есть найдётся корень $x\le0$.
7. Отрицание: «любое натуральное число, меньшее $30$, не делится одновременно на $5$ и на $7$». Верно именно отрицание: наименьшее число, делящееся и на $5$, и на $7$, равно $35$.
8. Достаточное, но не необходимое: из $x=3$ следует $x^2=9$, а обратно — нет, ведь подходит и $x=-3$.
9. $a=2$, $b=-2$: условие $4=4$ выполнено, а вывод $2=-2$ неверен.
10. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ — рациональное число.
11. Пусть $n=2k+1$. Тогда $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ — при делении на $2$ остаётся остаток $1$, значит $n^2$ нечётно.
12. Предположим противное: $a+b>10$, но при этом $a\le5$ и $b\le5$. Складывая неравенства, получаем $a+b\le10$ — противоречие с $a+b>10$. Значит, предположение невозможно, и хотя бы одно из чисел больше $5$.

Итог

• Ответ уравнения, системы и совокупности — это множество; «и» отвечает пересечению, «или» — объединению.
• Отрицание меняет квантор на противоположный: «для любого» становится «существует».
• $A\Rightarrow B$ означает, что $A$ достаточно для $B$, а $B$ необходимо для $A$; равносильность — это обе стрелки сразу.
• Утверждение доказывают прямо или от противного, а опровергают одним контрпримером.
• Проверка на примерах — способ найти гипотезу или опровергнуть её, но не доказать.

В практикуме всё это соберётся вместе: уравнения будут не только решаться, но и обсуждаться — где переход равносильный, где следствие, и чьё решение верное.

← Уравнения с модулем · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным