4.6. Координатная плоскость

6 класс · Числа со знаком◷ 40–45 минут◇ БазаНужно знать: координатная прямая и действия с числами со знаком

На карте полярной станции одного числа недостаточно. От диспетчерской можно уйти на $3$ км к западу, но ещё нужно знать, насколько сместиться к северу или югу. Положение будем задавать двумя направленными числами.

◎ После урока ты сможешь

• читать и записывать координаты точки в порядке (x;y)
• определять четверть и распознавать точки на осях
• строить маршруты и отражения по изменениям координат

Два независимых движения

Положим диспетчерскую в начало отсчёта. Горизонтальная координата растёт к востоку и убывает к западу. Вертикальная растёт к северу и убывает к югу.

Точка $(-3;2)$ означает: сначала $3$ единицы влево, затем $2$ вверх. Построй маршрут из этой точки: четыре единицы на восток, пять на юг и затем две на запад и три на север.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x −3

−+

От −7 до 7, шаг 1

Координата y 2

−+

От −7 до 7, шаг 1

↑y + 1←x − 10в начало→x + 1↓y − 1

1. 1

   восток 4(−3; 2) + (4; 0) = (1; 2)

2. 2

   юг 5(1; 2) + (0; −5) = (1; −3)

3. 3

   запад 2, север 3(1; −3) + (−2; 3) = (−1; 0)

⌖

Маршрут начинается в A(−3; 2) и заканчивается в B(−1; 0).Каждый шаг прибавляет смещение (Δx; Δy) к текущим координатам. Выполнено шагов: 3.

↺ Вернуть пример

Маршрут проходит через точки $(-3;2)$, $(1;2)$, $(1;-3)$ и заканчивается в $(-1;0)$. Последняя точка лежит на горизонтальной оси.

∴ Координаты точки

Положение точки записывают упорядоченной парой $(x;y)$. Число $x$ задаёт горизонтальное смещение, число $y$ — вертикальное. Порядок менять нельзя.

Горизонтальную координатную прямую называют осью $x$, вертикальную — осью $y$. Их общая точка $(0;0)$ — начало координат.

Четыре области плоскости

Оси делят плоскость на четыре четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой:

Четверть	Знак $x$	Знак $y$	Пример
I	$+$	$+$	$(2;3)$
II	$-$	$+$	$(-2;3)$
III	$-$	$-$	$(-2;-3)$
IV	$+$	$-$	$(2;-3)$

◆ Точки на осях не входят в четверти

Если $x=0$, точка лежит на оси $y$. Если $y=0$, она лежит на оси $x$. Поэтому точки $(0;-4)$, $(3;0)$ и $(0;0)$ не принадлежат ни одной четверти.

Проверка понимания

Где находится точка (0;−4)?

• А. в III четверти
• Б. на отрицательной полуоси y
• В. в IV четверти

Дробные координаты

Оси содержат не только целые точки. Чтобы отметить $A\left(-1{,}5;\frac12\right)$, сначала сместись на $1{,}5$ влево, затем на половину единицы вверх. Точка лежит во II четверти.

Прочитаем точку B(3/4;−2,5)Разбираем вместе

Первая координата $\frac34$ положительна: точка находится правее оси $y$. Вторая координата $-2{,}5$ отрицательна: точка ниже оси $x$. Значит, $B$ лежит в IV четверти.

Записи $\left(\frac34;-2{,}5\right)$ и $\left(-2{,}5;\frac34\right)$ задают разные точки: перестановка координат меняет оба движения.

Отражения

Отражение сохраняет расстояние до оси, но переносит точку на другую сторону. Исследуй отражения точки $(-3;2)$.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x −3

−+

От −6 до 6, шаг 1

Координата y 2

−+

От −6 до 6, шаг 1

↑y + 1←x − 10в начало→x + 1↓y − 1

относительно Ox(−3; 2) → (−3; −2)x сохраняется, y меняет знак

относительно Oy(−3; 2) → (3; 2)y сохраняется, x меняет знак

относительно O(−3; 2) → (3; −2)оба знака меняются

⌖

Отражения A: Aₓ(−3; −2), Aᵧ(3; 2), A₀(3; −2).При отражении относительно оси меняется знак перпендикулярной координаты; относительно начала — знаки обеих.

↺ Вернуть пример

После наблюдения можно коротко записать закономерности для точки $(x;y)$:

• отражение относительно оси $y$ меняет горизонтальное направление: $(-x;y)$;
• отражение относительно оси $x$ меняет вертикальное направление: $(x;-y)$;
• отражение относительно начала координат меняет оба направления: $(-x;-y)$.

Для $(-3;2)$ получаем соответственно $(3;2)$, $(-3;-2)$ и $(3;-2)$.

! Ловушка: менять обе координаты при любом отражении

При отражении относительно одной оси меняется только координата, перпендикулярная этой оси. Например, ось $y$ — вертикальное зеркало: высота $y$ сохраняется, а левая и правая стороны меняются.

Расстояния вдоль осей

Если две точки имеют одинаковую вторую координату, отрезок между ними горизонтален. Его длина равна расстоянию между первыми координатами. Например, для $A(-2;1{,}5)$ и $B(4;1{,}5)$:

$AB=|-2-4|=6.$

А для точек $C(3;-1)$ и $D(3;2{,}5)$ с одинаковой первой координатой длина вертикального отрезка равна

$CD=|-1-2{,}5|=3{,}5.$

Диагональные расстояния требуют нового инструмента; к нему вернёмся в геометрии.

Практика

1. В какой четверти лежит точка $A(-2;3)$?
2. В какой четверти лежит точка $B(4;-1)$?
3. Где лежит точка $C(0;2{,}5)$?
4. Из точки $(-3;2)$ пройди $5$ единиц вправо и $4$ вниз. Запиши конечную точку.
5. Отрази точку $(-2;3)$ относительно оси $y$.
6. Отрази точку $(-2;3)$ относительно оси $x$.
7. Отрази точку $(-2;3)$ относительно начала координат.
8. Найди длину горизонтального отрезка с концами $A(-4;1)$ и $B(2{,}5;1)$.
9. Три вершины прямоугольника — $(-2;-1)$, $(3;-1)$ и $(3;2)$. Найди четвёртую вершину и периметр.
10. Сравни точки $(-1;4)$ и $(4;-1)$: совпадают ли они и в каких четвертях лежат?

Ответы и объяснения

1. Во II: $x<0$, $y>0$.
2. В IV: $x>0$, $y<0$.
3. На положительной полуоси $y$: первая координата равна нулю.
4. $(2;-2)$: $-3+5=2$, $2-4=-2$.
5. $(2;3)$.
6. $(-2;-3)$.
7. $(2;-3)$.
8. $|-4-2{,}5|=6{,}5$.
9. Четвёртая вершина $(-2;2)$. Длины сторон равны $5$ и $3$, поэтому периметр $2\cdot(5+3)=16$.
10. Не совпадают: порядок координат важен. $(-1;4)$ лежит во II четверти, $(4;-1)$ — в IV.

Итог

• Пара $(x;y)$ задаёт сначала горизонтальное, затем вертикальное положение.
• Знаки координат определяют четверть; точки на осях не принадлежат четвертям.
• При отражении меняется знак координаты, перпендикулярной оси отражения.

В практикуме все идеи главы соединятся на карте полярной станции.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным