4.4 Расстояния и углы

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: перпендикуляр и наклонная, теорема о трёх перпендикулярах, тангенс острого угла

«Далеко ли от датчика до потолка?» и «под каким углом идёт пандус?» — вопросы, на которые нельзя ответить, пока не сказано, какой именно отрезок и какой именно угол имеется в виду. В пространстве вариантов много, и каждый раз выбирают наименьший отрезок и наименьший угол.

◎ После урока ты сможешь

• называть отрезок, задающий расстояние, в каждом из пяти случаев
• находить угол между прямой и плоскостью через проекцию прямой
• строить линейный угол двугранного угла и находить угол между плоскостями
• вычислять расстояния по координатам точек в пространстве

Прогноз до вычислений

В кубе с ребром $6$ см возьми диагональ $AC_1$ и плоскость нижней грани $ABCD$. Как ты думаешь, угол между ними ближе к $30°$, к $45°$ или к $60°$? Многие называют $45°$, потому что «диагональ идёт под наклоном ровно посередине».

Запиши свой ответ — ниже мы посчитаем точно.

Сначала потренируйся на лаборатории: она задаёт тот же прямоугольный треугольник «перпендикуляр — наклонная — проекция». Для $MH=6$ и $HA=8$ найди наклонную и угол, который она образует с плоскостью.

Лаборатория пространства

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Из точки M к плоскости проведены перпендикуляр MH и наклонная MA. Отрезок HA — проекция наклонной.

MA² = MH² + HA²

Перпендикуляр и наклоннаяТри перпендикуляра

Перпендикуляр MH 6 см

Проекция HA 8 см

Моя наклонная MA, смПроверить

?

MH = 6 см, HA = 8 см.Найди длину наклонной MA и запиши ответ с точностью до 0,01.

↺ Вернуть пример

Пять расстояний

∴ Расстояние — всегда наименьшая длина

• От точки до плоскости — длина перпендикуляра из точки на плоскость.
• От точки до прямой — длина перпендикуляра из точки на прямую.
• От прямой до параллельной ей плоскости — расстояние от любой точки прямой до плоскости (оно одинаково для всех точек).
• Между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой.
• Между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра, то есть отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Такой отрезок существует и единственен.

Последний случай удобно сводить к предпоследнему: расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию от прямой $a$ до плоскости, которая проходит через $b$ и параллельна $a$.

Угол между прямой и плоскостью

∴ Определение через проекцию

Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ и не перпендикулярна ей. Углом между $a$ и $\alpha$ называется угол между прямой $a$ и её проекцией на плоскость $\alpha$.

Если $a\perp\alpha$, угол считают равным $90°$; если $a\parallel\alpha$ или $a\subset\alpha$ — равным $0°$.

Из прямоугольного треугольника «перпендикуляр — наклонная — проекция»:

$\sin\varphi=\frac{MH}{MA},\qquad \operatorname{tg}\varphi=\frac{MH}{HA}.$

Угол между прямой и плоскостью — наименьший из углов между этой прямой и всеми прямыми плоскости. Поэтому он и лежит в промежутке от $0°$ до $90°$.

Двугранный угол и угол между плоскостями

∴ Линейный угол

Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общей границей (ребром). Чтобы его измерить, в каждой полуплоскости из одной точки ребра проводят луч, перпендикулярный ребру. Полученный угол называется линейным углом двугранного угла; от выбора точки на ребре он не зависит.

Угол между плоскостями — не тупой из двух смежных линейных углов, то есть число от $0°$ до $90°$. Если он равен $90°$, плоскости называют перпендикулярными.

Четыре измерения в кубе с ребром 6Разбираем вместе

1. Расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1B_1$. Отрезок $AB$ перпендикулярен $BC$ и $BB_1$ — двум пересекающимся прямым этой плоскости, значит $AB\perp(BCC_1B_1)$. Расстояние равно $AB=6$ см.

2. Расстояние между скрещивающимися $AB$ и $CC_1$. Отрезок $BC$ перпендикулярен $AB$ и перпендикулярен $CC_1$, а концами лежит на этих прямых. Это общий перпендикуляр, поэтому расстояние равно $BC=6$ см.

3. Угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью $ABCD$. Так как $CC_1\perp(ABCD)$, проекцией $AC_1$ на нижнюю грань служит диагональ $AC=6\sqrt2$. Тогда

$\operatorname{tg}\varphi=\frac{CC_1}{AC}=\frac{6}{6\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707,$

откуда $\varphi\approx35°$ — заметно меньше, чем $45°$. Проверка вторым способом: $AC_1=6\sqrt3$, поэтому $\sin\varphi=\dfrac{6}{6\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$, и это тот же угол.

4. Угол между плоскостями $ABC_1D_1$ и $ABCD$. Их общая прямая — $AB$. В нижней грани $AD\perp AB$, а $AD_1\perp AB$, потому что $AB\perp(ADD_1A_1)$. Значит $\angle D_1AD$ — линейный угол. В квадрате $ADD_1A_1$ отрезок $AD_1$ — диагональ, поэтому угол равен $45°$.

Координаты в пространстве

К плоским координатам добавляется третья ось, и координатный метод 9 класса переносится почти без изменений:

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.$

Например, для $A(1;2;3)$ и $B(5;8;15)$ получаем $AB=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14$.

Расстояние от точки $M(x;y;z)$ до плоскости $Oxy$ равно $|z|$, а до оси $Oz$ — величине $\sqrt{x^2+y^2}$: это уже знакомая проекция.

Проверка понимания

Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр 12 см и две наклонные 13 см и 20 см. Чему равно расстояние от M до α?

• А. 13 см — по самой короткой наклонной
• Б. 12 см
• В. 15 см — среднее из трёх чисел

! Угол с плоскостью и угол с перпендикуляром — разные углы

Если прямая образует с перпендикуляром к плоскости угол $60°$, то с самой плоскостью она образует $30°$: эти углы дополняют друг друга до $90°$. Ошибка появляется, когда в задаче задан угол наклона троса «к вертикали», а в формулу подставляют его как угол с полом.

Практика

Задачи 1–7 — о кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$ см.

1. Найди расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1B_1$.
2. Найди расстояние между плоскостями $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
3. Найди расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CC_1$.
4. Найди расстояние от прямой $AB$ до плоскости $A_1B_1C_1D_1$.
5. Найди тангенс угла между диагональю $AC_1$ и плоскостью $ABCD$ и оцени сам угол.
6. Найди угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABCD$.
7. Найди угол между плоскостями $ABC_1D_1$ и $ABCD$.
8. Найди расстояние между точками $A(1;2;3)$ и $B(5;8;15)$.
9. Найди расстояние от точки $M(3;-4;12)$ до плоскости $Oxy$ и до оси $Oz$.
10. Перпендикуляр из точки $M$ к плоскости равен $10$, а наклонная образует с плоскостью угол $60°$. Найди наклонную и её проекцию.

Ответы и пояснения

1. $AB\perp BC$ и $AB\perp BB_1$, значит $AB\perp(BCC_1B_1)$ и расстояние равно $6$ см.
2. $6$ см: расстояние между параллельными гранями равно ребру.
3. $6$ см: общий перпендикуляр — ребро $BC$, оно перпендикулярно и $AB$, и $CC_1$.
4. $6$ см: $AB\parallel(A_1B_1C_1D_1)$, а расстояние от точки $A$ до этой плоскости равно $AA_1=6$ см.
5. Проекция $AC_1$ — диагональ $AC=6\sqrt2$, поэтому $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0{,}707$ и $\varphi\approx35°$.
6. Проекция $AB_1$ — отрезок $AB$, поэтому $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{BB_1}{AB}=\dfrac{6}{6}=1$ и $\varphi=45°$.
7. $45°$: линейный угол — это $\angle D_1AD$, а $AD_1$ — диагональ квадрата $ADD_1A_1$.
8. $AB=\sqrt{4^2+6^2+12^2}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14$.
9. До плоскости $Oxy$ — $|z|=12$; до оси $Oz$ — $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$.
10. $\sin60°=\dfrac{10}{MA}$, поэтому $MA=\dfrac{10}{\sin60°}=\dfrac{20\sqrt3}{3}\approx11{,}55$. Проекция равна $\dfrac{10}{\operatorname{tg}60°}=\dfrac{10\sqrt3}{3}\approx5{,}77$.

Итог

• Расстояние в пространстве — всегда длина перпендикулярного отрезка и всегда наименьшая из возможных длин.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми задаёт их общий перпендикуляр; его удобно искать через плоскость, параллельную одной из прямых.
• Угол между прямой и плоскостью измеряют между прямой и её проекцией; он не превосходит $90°$.
• Двугранный угол измеряют линейным углом, а угол между плоскостями берут не тупым.

Дальше — практикум: те же величины, но в задаче о реальном каркасе, где нужно самому решать, какое измерение требуется.

← Перпендикулярность · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным