5.2 Векторы и действия

11 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: векторы на плоскости, координаты в пространстве, параллелепипед

Груз висит на трёх тросах, закреплённых в разных стенах. Каждый трос тянет в своём направлении, а груз стоит на месте. Значит, три силы как-то складываются в ноль — и «как-то» здесь нужно превратить в точное вычисление.

Вектор на плоскости ты уже знаешь. В пространстве меняется ровно одна вещь: координат становится три. Зато появляется новая возможность — разложить любой вектор по трём направлениям, и именно она делает координатный метод универсальным.

◎ После урока ты сможешь

• находить координаты вектора по координатам его начала и конца
• выполнять сложение, вычитание и умножение на число в координатах
• проверять коллинеарность двух и компланарность трёх векторов
• раскладывать вектор по базису рёбер параллелепипеда

Прогноз до вычислений

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ обозначим $\vec{AB}=\vec a$, $\vec{AD}=\vec b$, $\vec{AA_1}=\vec c$.

Как ты думаешь, чему равен вектор диагонали $\vec{AC_1}$? Запиши ответ через $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$, не подглядывая дальше.

Самый частый первый ответ — $\vec a+\vec b$. Проверим его через минуту.

Вектор в пространстве

Определения переносятся с плоскости слово в слово. Вектор — направленный отрезок; два вектора равны, если они сонаправлены и имеют равные длины. Вектор можно откладывать от любой точки — от этого он не меняется.

∴ Координаты вектора и его длина

Если $A(x_1;y_1;z_1)$ и $B(x_2;y_2;z_2)$, то

$\vec{AB}=(x_2-x_1;\ y_2-y_1;\ z_2-z_1).$

Длина вектора $\vec a(x;y;z)$ равна

$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Нулевой вектор имеет координаты $(0;0;0)$; направления у него нет.

Действия выполняются покоординатно, как и на плоскости: для $\vec a(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b(x_2;y_2;z_2)$

$\vec a+\vec b=(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2),\qquad k\vec a=(kx_1;\ ky_1;\ kz_1).$

Геометрически работают всё те же правило треугольника и правило параллелограмма. Но в пространстве к ним добавляется третье.

∴ Правило параллелепипеда

Если три вектора $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ отложены от одной точки и не лежат в одной плоскости, то их сумма — диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

Поэтому в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ верно $\vec{AC_1}=\vec a+\vec b+\vec c$.

Вот и ответ на прогноз: $\vec a+\vec b$ — это только $\vec{AC}$, диагональ нижней грани. Чтобы дойти до $C_1$, нужно ещё подняться на $\vec c$.

Управляемый эксперимент

Лаборатория показывает координаты вектора между любыми двумя отмеченными точками куба. Проверь на ней разложения: возьми ребро $1$ и посмотри, что координаты вектора $\vec{AC_1}$ равны $(1;1;1)$, а $\vec{BD_1}$ — уже $(-1;1;1)$.

Лаборатория векторов в пространстве

Вектор по двум точкам тела

Начало координат стоит в вершине A, оси направлены по рёбрам AB, AD и AA₁. Выбирай точки — координаты и длина пересчитываются по формулам, а не измеряются по рисунку.

|a| = √(x² + y² + z²)

Ребро куба 4 см

Начало векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Конец векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная и честная: экранные координаты получены скалярным умножением точки на два вектора картинной плоскости. Поэтому на рисунке углы и длины искажены — доверять нужно вычислениям в координатах.

→

AC₁ = (4; 4; 4), длина 6,93 см.Координаты вектора — это разности координат конца и начала. Длина: √(4² + 4² + 4²) = 6,93 см.

↺ Вернуть пример

При ребре $a$ координаты вектора относительно базиса рёбер — это в точности коэффициенты разложения, умноженные на $a$. Именно поэтому координаты и разложение по базису — одно и то же, записанное по-разному.

Действия в координатахРазбираем вместе

Даны $\vec a(1;-2;2)$ и $\vec b(3;0;-4)$.

Длины: $|\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3$ и $|\vec b|=\sqrt{9+0+16}=5$.

Сумма: $\vec a+\vec b=(4;-2;-2)$, её длина $\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6\approx4{,}90$.

Обрати внимание: $|\vec a+\vec b|\ne|\vec a|+|\vec b|$. Длины складываются только у сонаправленных векторов.

Комбинация: $2\vec a-\vec b=(2-3;\ -4-0;\ 4+4)=(-1;-4;8)$, её длина $\sqrt{1+16+64}=\sqrt{81}=9$.

Коллинеарность и компланарность

∴ Два признака

Ненулевые векторы $\vec a$ и $\vec b$ коллинеарны (лежат на параллельных прямых) тогда и только тогда, когда $\vec b=k\vec a$ при некотором числе $k$. В координатах это значит, что все три пары координат пропорциональны.

Три вектора компланарны, если их можно отложить от одной точки так, что они окажутся в одной плоскости. Признак: один из них раскладывается через два других, то есть $\vec c=x\vec a+y\vec b$ при некоторых числах $x$ и $y$ (для неколлинеарных $\vec a$ и $\vec b$).

Коллинеарность — свойство пары векторов, компланарность — свойство тройки. Путать их нельзя: любые два вектора компланарны всегда, а три — далеко не всегда.

Проверка компланарностиРазбираем вместе

Компланарны ли $\vec a(1;2;-1)$, $\vec b(0;3;2)$ и $\vec c(2;1;-4)$?

Ищем числа $x$ и $y$ из условия $\vec c=x\vec a+y\vec b$, расписывая по координатам:

по $x$-координате $\ 2=x\cdot1+y\cdot0$, откуда $x=2$;

по $y$-координате $\ 1=2\cdot2+3y$, откуда $3y=-3$ и $y=-1$;

по $z$-координате проверяем: $2\cdot(-1)+(-1)\cdot2=-4$ — совпало с координатой вектора $\vec c$.

Система совместна, значит $\vec c=2\vec a-\vec b$ и три вектора компланарны.

Если бы третье равенство не выполнилось, вывод был бы обратным: тройка некомпланарна.

Базис пространства

∴ Разложение по базису

Любые три некомпланарных вектора $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ образуют базис пространства: каждый вектор $\vec p$ представляется в виде

$\vec p=x\vec a+y\vec b+z\vec c,$

причём единственным способом. Числа $x$, $y$, $z$ называют координатами вектора $\vec p$ в этом базисе.

Стандартный базис — рёбра параллелепипеда из одной вершины. Если базис ортонормированный (векторы попарно перпендикулярны и единичны), координаты в базисе совпадают с обычными координатами вектора.

Четыре разложения в параллелепипедеРазбираем вместе

Пусть $\vec{AB}=\vec a$, $\vec{AD}=\vec b$, $\vec{AA_1}=\vec c$. Удобно считать в «клетках»: координата $1$ означает целое ребро.

Диагональ тела. $\vec{AC_1}=\vec a+\vec b+\vec c$: идём вдоль $AB$, потом вдоль $BC$ (это $\vec b$), потом вверх.

Вторая диагональ. $\vec{BD_1}=\vec{BA}+\vec{AD}+\vec{DD_1}=-\vec a+\vec b+\vec c$. Первый шаг идёт против $\vec a$, отсюда минус.

Диагональ снизу вверх наоборот. $\vec{A_1C}=\vec{A_1A}+\vec{AB}+\vec{BC}=-\vec c+\vec a+\vec b$.

Центр тела. Точка $O$ — середина $AC_1$, поэтому $\vec{AO}=\tfrac12\vec a+\tfrac12\vec b+\tfrac12\vec c$.

Проверка через координаты при ребре $1$: $\vec{BD_1}$ соединяет $B(1;0;0)$ и $D_1(0;1;1)$, то есть равен $(-1;1;1)$ — те же коэффициенты.

! Четыре ловушки

Складывают координаты точек. Координаты вектора $\vec{AB}$ — это разности «конец минус начало», а не суммы.

Забывают вертикальное ребро. $\vec{AC_1}=\vec a+\vec b$ — типичная запись «по инерции с плоскости»; в пространстве нужен ещё $\vec c$.

Считают любую тройку базисом. Компланарные векторы базиса не образуют: через них выражаются только векторы одной плоскости, а не всего пространства.

Меняют знак не там. В $\vec{BD_1}=-\vec a+\vec b+\vec c$ минус стоит потому, что путь начинается с движения из $B$ в $A$, то есть против $\vec a$.

Проверка понимания

Векторы a, b и c компланарны. Можно ли разложить по ним любой вектор пространства?

• А. Да, ведь векторов три — этого хватает
• Б. Нет: так получаются только векторы той же плоскости
• В. Да, если один из них ненулевой

Практика

Задачи 8–12 — о параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $\vec{AB}=\vec a$, $\vec{AD}=\vec b$, $\vec{AA_1}=\vec c$.

1. Даны $A(1;-2;0)$ и $B(4;2;-5)$. Найди координаты $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$, а также $|\vec{AB}|$.
2. Для $\vec a(1;-2;2)$ и $\vec b(3;0;-4)$ найди $\vec a+\vec b$, $\vec a-\vec b$ и $3\vec a$.
3. Для тех же векторов найди $|2\vec a-\vec b|$.
4. При каком $m$ векторы $(2;m;-6)$ и $(-1;3;3)$ коллинеарны?
5. Компланарны ли векторы $(1;2;-1)$, $(0;3;2)$ и $(2;1;-4)$?
6. Найди единичный вектор, сонаправленный с $\vec a(2;-1;2)$.
7. Найди координаты точки $D$, при которой $ABCD$ — параллелограмм, если $A(1;0;2)$, $B(3;2;2)$, $C(4;2;5)$.
8. Разложи $\vec{B_1D}$ по базису $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$.
9. Разложи $\vec{C_1M}$, где $M$ — середина ребра $AB$.
10. Разложи $\vec{AK}$, где $K$ — центр грани $BCC_1B_1$.
11. Разложи $\vec{MK}$ для точек $M$ и $K$ из задач 9 и 10.
12. Докажи, что $\vec{A_1C_1}=\vec a+\vec b$, и объясни, почему векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec{A_1C_1}$ компланарны.

Ответы и пояснения

1. $\vec{AB}=(3;4;-5)$, $\vec{BA}=(-3;-4;5)$, $|\vec{AB}|=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2\approx7{,}07$.
2. $\vec a+\vec b=(4;-2;-2)$; $\vec a-\vec b=(-2;-2;6)$; $3\vec a=(3;-6;6)$.
3. $2\vec a-\vec b=(-1;-4;8)$, длина $\sqrt{1+16+64}=\sqrt{81}=9$.
4. Из $(-1;3;3)=k(2;m;-6)$ по первой координате $k=-0{,}5$; третья координата подтверждает: $-0{,}5\cdot(-6)=3$. Тогда $3=-0{,}5m$, то есть $m=-6$.
5. Да: $(2;1;-4)=2\cdot(1;2;-1)-(0;3;2)$, все три координаты сходятся.
6. $|\vec a|=\sqrt{4+1+4}=3$, поэтому искомый вектор $\left(\tfrac23;-\tfrac13;\tfrac23\right)$.
7. В параллелограмме $\vec{AD}=\vec{BC}=(1;0;3)$, значит $D(2;0;5)$. Проверка: $\vec{DC}=(2;2;0)=\vec{AB}$.
8. $\vec{B_1D}=\vec{B_1B}+\vec{BA}+\vec{AD}=-\vec c-\vec a+\vec b$, то есть $-\vec a+\vec b-\vec c$.
9. $C_1$ имеет координаты $(1;1;1)$, а $M$ — координаты $(0{,}5;0;0)$, значит $\vec{C_1M}=-0{,}5\vec a-\vec b-\vec c$.
10. Центр грани $BCC_1B_1$ имеет координаты $(1;0{,}5;0{,}5)$, поэтому $\vec{AK}=\vec a+0{,}5\vec b+0{,}5\vec c$.
11. $\vec{MK}=\vec{AK}-\vec{AM}=(\vec a+0{,}5\vec b+0{,}5\vec c)-0{,}5\vec a=0{,}5\vec a+0{,}5\vec b+0{,}5\vec c$.
12. $\vec{A_1C_1}=\vec{A_1B_1}+\vec{B_1C_1}=\vec a+\vec b$, поскольку $A_1B_1\parallel AB$ и $B_1C_1\parallel AD$ с теми же длинами. Раз третий вектор выражается через первые два, тройка компланарна: все три лежат в плоскости, параллельной $ABCD$.

Итог

• Координаты вектора в пространстве — три разности «конец минус начало»; действия выполняются покоординатно.
• К правилам треугольника и параллелограмма добавляется правило параллелепипеда для трёх некомпланарных векторов.
• Коллинеарность проверяется равенством $\vec b=k\vec a$, компланарность — разложением $\vec c=x\vec a+y\vec b$.
• Три некомпланарных вектора образуют базис, и разложение по нему единственно.

Складывать и раскладывать мы научились. Но ни длину, ни угол одно только сложение не даёт. В следующем уроке появится операция, которая превращает пару векторов в число, — и все углы станут вычислимыми.

← Координаты в пространстве · Дальше: скалярное произведение →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным