2.3 Сложение и вычитание дробей

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: общий знаменатель у обыкновенных дробей, разложение на множители, сокращение

Две трубы наполняют бассейн. Первая — за $x$ часов, вторая — за $x+1$ час. За один час первая наполняет $\dfrac{1}{x}$ бассейна, вторая — $\dfrac{1}{x+1}$ . Вместе за час:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=?$

Соблазн велик: сложить числители, сложить знаменатели и написать $\dfrac{2}{2x+1}$ . Проверим это на числах, прежде чем поверить.

Прогноз до вычислений

Чему равно $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$ ? А по «правилу» сложения числителей и знаменателей получилось бы $\dfrac{2}{5}$ — что не так?
Каким может быть общий знаменатель для $\dfrac{1}{x}$ и $\dfrac{1}{x+1}$ ?
Что произойдёт со знаками, если из дроби вычесть дробь с двучленом в числителе?

Эксперимент: можно ли складывать «по этажам»

1/x + 1/(x + 1)2 / (2x + 1)

Что покажет проверка значениями?Записи равны при всех допустимых xНайдётся x, при котором значения разные

Слева 1/x + 1/(x + 1), справа 2 / (2x + 1)
x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−1	не определено	−2	слева не определено
0	не определено	2	слева не определено
1	1,5	2/3	значения разные
2	5/6	0,4	значения разные
4	0,45	2/9	значения разные

Проверь: можно ли складывать дроби «по этажам»?Сначала выскажи предположение, потом сверься с таблицей значений.

Расхождение видно сразу: при $x=1$ слева $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ , а справа $\dfrac{2}{3}$ . Знаменатели складывать нельзя — ни у чисел, ни у букв.

Одинаковые знаменатели

Скобки — не украшение. Черта дроби сама по себе работает как скобка: она объединяет весь числитель.

Разные знаменатели

Схема та же, что у обыкновенных дробей, только вместо чисел — многочлены.

Разложи каждый знаменатель на множители.
Составь общий знаменатель: возьми каждый встретившийся множитель в наибольшей степени.
Найди дополнительный множитель для каждой дроби — это то, чего не хватает её знаменателю до общего.
Умножь на дополнительный множитель числитель (знаменатель уже общий).
Выполни действие с числителями и, если получится, сократи результат.

$\frac{5}{2x}-\frac{3}{x^2}:\quad 2x=2\cdot x,\quad x^2=x\cdot x\ \Rightarrow\ \text{общий знаменатель } 2x^2.$

Дополнительные множители: $x$ для первой дроби и $2$ для второй.

$\frac{5}{2x}-\frac{3}{x^2}=\frac{5x}{2x^2}-\frac{6}{2x^2}=\frac{5x-6}{2x^2},\qquad x\ne0.$

1/(x − 3) + 1/(x + 3)2x / (x² − 9)

Слева 1/(x − 3) + 1/(x + 3), справа 2x / (x² − 9)
x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−3	не определено	не определено	обе записи не определены
−1	0,25	0,25	значения совпали
0	0	0	значения совпали
1	−0,25	−0,25	значения совпали
3	не определено	не определено	обе записи не определены

Записи равны при всех допустимых значениях x.Совпадение в 3 проверенных точках — это ещё не доказательство, но повод искать преобразование. Общий знаменатель (x − 3)(x + 3) = x² − 9; числители дают (x + 3) + (x − 3) = 2x.

Вычтем 2/(x − 3) − 1/(x + 3)Разбираем вместе

Знаменатели уже разложены, общих множителей у них нет, поэтому общий знаменатель — их произведение:

$(x-3)(x+3)=x^2-9.$

Допустимые значения: $x\ne3$ и $x\ne-3$ .

Дополнительный множитель первой дроби — $(x+3)$ , второй — $(x-3)$ :

$\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}-\frac{1\cdot(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2x+6-(x-3)}{x^2-9}.$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{2x+6-x+3}{x^2-9}=\frac{x+9}{x^2-9}.$

Проверка при $x=0$ : слева $\dfrac{2}{-3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=-1$ ; справа $\dfrac{9}{-9}=-1$ .

Противоположные знаменатели

Если знаменатели отличаются знаком, общий знаменатель искать не нужно — достаточно поменять знак у одной дроби:

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{2-x}=\frac{1}{x-2}-\frac{-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-2}=\frac{2}{x-2}.$

Здесь использовано равенство $2-x=-(x-2)$ из прошлого урока.

Проверка понимания

Чему равна сумма 1/(x − 3) + 1/(x + 3)?

Практика

Выполни действие и укажи допустимые значения.

$\dfrac{3x}{x+2}+\dfrac{6}{x+2}$
$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}$
$\dfrac{2x+1}{x}-\dfrac{x-4}{x}$
$\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$
$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}$
$\dfrac{5}{2x}-\dfrac{3}{x^2}$
$\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}$
$\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{2-x}$
$\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}$

Ответы и пояснения

$\dfrac{3x+6}{x+2}=\dfrac{3(x+2)}{x+2}=3$ при $x\ne-2$ .
$\dfrac{x-1}{x-1}=1$ при $x\ne1$ .
$\dfrac{(2x+1)-(x-4)}{x}=\dfrac{x+5}{x}$ при $x\ne0$ .
$\dfrac{a-b}{a-b}=1$ при $a\ne b$ .
Общий знаменатель $xy$ : $\dfrac{y+x}{xy}$ при $x\ne0$ , $y\ne0$ .
$\dfrac{(x+3)+(x-3)}{x^2-9}=\dfrac{2x}{x^2-9}$ при $x\ne3$ , $x\ne-3$ .
Общий знаменатель $2x^2$ : $\dfrac{5x-6}{2x^2}$ при $x\ne0$ .
$\dfrac{2(x+3)-(x-3)}{x^2-9}=\dfrac{x+9}{x^2-9}$ при $x\ne3$ , $x\ne-3$ .
$2-x=-(x-2)$ , поэтому получается $\dfrac{2}{x-2}$ при $x\ne2$ .
Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$ : $\dfrac{x+(x-2)}{x^2-4}=\dfrac{2x-2}{x^2-4}=\dfrac{2(x-1)}{(x-2)(x+2)}$ при $x\ne2$ , $x\ne-2$ .

Итог

Дроби с одинаковым знаменателем складывают и вычитают по числителям.
При вычитании числитель второй дроби обязательно берут в скобки.
Общий знаменатель составляют из множителей разложенных знаменателей, каждый — в наибольшей степени.
Дополнительный множитель умножается на числитель; знаменатель уже приведён.

Сложение оказалось самым трудоёмким действием. Дальше — умножение и деление, где вычислений меньше, а внимательности нужно больше.

← Сокращение дробей · Дальше: умножение, деление и степень →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.