5.3 Случайный опыт

7 класс · Данные◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: относительная частота, доли и проценты, деление десятичных дробей

Ты бросил монету десять раз, и орёл выпал семь. Друг заявляет: монета фальшивая. Другой друг говорит: теперь чаще будет решка, ей надо «догонять».

Оба неправы, и оба ошибаются одинаково: они судят о монете по слишком короткой серии. Разобраться, сколько опытов нужно и что вообще можно узнать из серии, — задача этого урока.

Прогноз до вычислений

1. Сколько орлов ты ожидаешь в серии из $1000$ бросков симметричной монеты?
2. Насколько, по-твоему, реальное число может отличаться от ожидаемого: на единицы, на десятки или на сотни?
3. Канцелярская кнопка падает либо остриём вверх, либо на бок. Можно ли заранее сказать, что эти исходы равновозможны?

◎ После урока ты сможешь

• описывать случайный опыт списком исходов и задавать события
• вычислять относительную частоту события в серии опытов
• оценивать вероятность события по длинной серии
• отличать случайное колебание частоты от настоящей несимметричности

Язык случайного опыта

∴ Опыт, исход, событие

Случайный опыт — действие, которое можно повторять, у которого заранее известен список возможных результатов, но неизвестно, какой из них получится.

Исход — один из этих возможных результатов. Список исходов составляют так, чтобы в каждом опыте наступал ровно один из них.

Событие — то, что либо произошло, либо нет по итогам опыта. Событие описывают через исходы: например, «на кубике выпало чётное число» — это исходы $2$, $4$ и $6$.

Исходы называют равновозможными, если нет никакой причины ожидать один чаще другого. Симметрия монеты и кубика такую причину устраняет; форма канцелярской кнопки — нет.

Управляемый эксперимент

Лаборатория проводит серию опытов и показывает две картинки: доли исходов и ломаную накопленной частоты. Увеличивай число опытов и смотри на ломаную.

Лаборатория частот

Частота, доля и диаграмма

Слева таблица, справа столбики: одно и то же считается двумя способами — в штуках и в долях.

n = 100

Данные наблюденийСлучайный опыт

МонетаКубикКнопка

Симметричная монета. Два исхода, и симметрия монеты делает их равновозможными.

Число опытов 100Доступны серии: 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000. Длиннее серия — надёжнее оценка.

Номер серии 11Номер задаёт серию целиком: тот же номер — та же последовательность исходов.

Провести новую серию

орёлрешка

Исходы серии из 100 опытов, серия № 11

Исход	Частота	Отн. частота
орёл	56	0,56
решка	44	0,44
Всего	100	1

Исходы равновозможны, поэтому ожидаемая доля каждого равна 0,5.

Ломаная построена по одной и той же серии: первые опыты дают резкие скачки, дальше каждый новый опыт меняет долю всё слабее.

≈

Событие «выпал орёл» случилось 56 раз из 100: относительная частота 0,56, то есть 56 %.Ожидаемая доля равна 0,5; расхождение с частотой составляет 0,06. Чем длиннее серия, тем меньше такие расхождения.

↺ Вернуть пример

Серия воспроизводима: у неё есть номер, и с тем же номером она повторится в точности. Это удобно для разбора, но настоящую монету не заменяет — брось её сам хотя бы пятьдесят раз, результат стоит того.

Устойчивость частоты

Вот одна и та же серия бросков монеты (серия № 11), обрезанная в разных местах:

Число бросков $n$	Орлов $m$	Относительная частота $m/n$
$10$	$7$	$0{,}7$
$20$	$13$	$0{,}65$
$50$	$28$	$0{,}56$
$100$	$56$	$0{,}56$
$200$	$108$	$0{,}54$
$500$	$248$	$0{,}496$
$1000$	$482$	$0{,}482$

Обрати внимание: число орлов от ожидаемой половины отклоняется всё сильнее (на $2$ при $n=10$, на $18$ при $n=1000$), а вот доля орлов подходит к $0{,}5$ всё ближе. Именно это свойство и делает частоту полезной.

∴ Частотная оценка вероятности

Если случайный опыт повторять много раз в одних и тех же условиях, относительная частота события колеблется всё меньше и группируется около некоторого числа. Это число называют вероятностью события и обозначают $P$.

Отсюда способ оценивать вероятность на практике:

$P \approx \frac{m}{n},$

где $n$ — число проведённых опытов, $m$ — число опытов, в которых событие произошло. Чем больше $n$, тем надёжнее оценка.

Вероятность любого события лежит между $0$ и $1$: невозможное событие имеет вероятность $0$, достоверное — $1$.

Для симметричной монеты и правильного кубика вероятность можно назвать заранее, не бросая: раз исходов $k$ и они равновозможны, доля каждого равна $\frac{1}{k}$. Для монеты это $\frac{1}{2}=0{,}5$, для кубика $\frac{1}{6}\approx0{,}167$. Серия опытов тогда служит проверкой: сходится ли частота с ожиданием.

Кубик: короткая серия врёт, длинная — нетРазбираем вместе

Бросаем кубик и следим за событием «выпала шестёрка». Исходов шесть, они равновозможны, поэтому ожидаемая доля равна $\frac{1}{6}\approx0{,}167$.

Первые двенадцать бросков серии № 7 дали

$2,\;6,\;4,\;6,\;1,\;6,\;3,\;1,\;1,\;6,\;6,\;4.$

Шестёрок здесь пять, то есть

$\frac{5}{12}\approx0{,}417.$

Это в два с половиной раза больше ожидаемого. Если остановиться тут, легко объявить кубик утяжелённым.

Продолжим ту же серию до $600$ бросков. Частоты граней:

Грань	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Частота	$104$	$99$	$106$	$87$	$95$	$109$
Отн. частота	$0{,}173$	$0{,}165$	$0{,}177$	$0{,}145$	$0{,}158$	$0{,}182$

Проверка: $104+99+106+87+95+109=600$.

Теперь доля шестёрок равна $\frac{109}{600}\approx0{,}182$ — отличие от $0{,}167$ составляет около $0{,}015$. Все шесть долей собрались около $\frac{1}{6}$, и утверждать, что кубик неправильный, оснований нет.

Заодно посчитаем событие «выпало чётное число». Ему благоприятны грани $2$, $4$, $6$:

$\frac{99+87+109}{600}=\frac{295}{600}\approx0{,}492,$

что близко к ожидаемым $\frac{3}{6}=0{,}5$.

Когда вероятность нельзя вычислить заранее

У канцелярской кнопки два исхода, но она несимметрична: рассуждать про «равные шансы» нет никаких оснований. Вероятность здесь можно только оценить по опыту.

Серия бросков модели кнопки (серия № 3):

Число бросков $n$	Остриём вверх $m$	$m/n$
$10$	$6$	$0{,}6$
$20$	$13$	$0{,}65$
$50$	$37$	$0{,}74$
$100$	$71$	$0{,}71$
$200$	$138$	$0{,}69$

Частота успокаивается около $0{,}7$. Значит, $P \approx 0{,}7$ — и это единственный доступный ответ: никакая симметрия его не подскажет. Переключи лабораторию на опыт «Кнопка» и проверь сам: сначала оцени долю по ломаной, потом открой ту, что заложена в модель.

Проверка понимания

Монету бросили 20 раз, орёл выпал 13 раз. Какой вывод верен?

• А. Монета несимметрична: 13 заметно больше 10
• Б. В следующих бросках решка будет выпадать чаще, чтобы сравнять счёт
• В. Отклонение обычное для короткой серии; чтобы судить о монете, нужна серия длиннее

Типичная ошибка

! Монета обязана отыграться

Заблуждение звучит так: «выпало пять орлов подряд, значит теперь вероятнее решка». Это неверно. Монета не хранит память о прошлых бросках: в шестом броске вероятность решки по-прежнему $0{,}5$.

Откуда же берётся выравнивание доли? Не из «отыгрыша», а из деления. После пяти орлов доля орлов равна $1$. Если дальше монета ведёт себя обычно, то через $995$ бросков в числителе окажется примерно $5+498=503$, а в знаменателе $1000$: доля станет около $0{,}503$. Пять лишних орлов никуда не делись — они просто растворились в большом числе новых опытов.

Практика

1. В серии из $200$ бросков кнопка $138$ раз упала остриём вверх. Найди относительную частоту этого события.
2. Монету бросили $1000$ раз, орёл выпал $482$ раза. Найди относительную частоту и её отклонение от $0{,}5$.
3. Кубик бросили $600$ раз, шестёрка выпала $109$ раз. Найди относительную частоту и сравни с ожидаемой долей.
4. В той же серии из $600$ бросков чётная грань выпала $295$ раз. Найди относительную частоту и ожидаемую долю.
5. Относительная частота события равна $0{,}35$ в серии из $400$ опытов. Сколько раз событие произошло?
6. Какая серия даёт более надёжную оценку вероятности: $20$ опытов или $500$? Почему?
7. В десяти бросках монеты выпало семь орлов. Можно ли утверждать, что монета несимметрична?
8. У симметричной монеты пять раз подряд выпал орёл. Какова вероятность орла в шестом броске?
9. В непрозрачном мешке $12$ одинаковых на ощупь шаров, из них $3$ красных. Шар вынимают и возвращают обратно. Какую долю красных ожидать в длинной серии?
10. Сколько примерно красных шаров ожидать в $200$ вытягиваниях из этого мешка?
11. Приведи пример случайного опыта, у которого исходы не равновозможны.

Ответы и пояснения

1. $138:200=0{,}69$.
2. $482:1000=0{,}482$; отклонение $|0{,}482-0{,}5|=0{,}018$.
3. $109:600\approx0{,}182$; ожидаемая доля $\frac{1}{6}\approx0{,}167$; отличие около $0{,}015$ — обычное для такой серии.
4. $295:600\approx0{,}492$; ожидаемая доля $\frac{3}{6}=0{,}5$.
5. $0{,}35\cdot400=140$ раз.
6. Серия из $500$ опытов. С ростом числа опытов относительная частота колеблется всё меньше и подходит к вероятности; на $20$ опытах разброс слишком велик.
7. Нет. При $n=10$ доля $0{,}7$ вполне обычна для симметричной монеты. Нужна серия хотя бы в несколько сотен бросков.
8. $0{,}5$. Броски независимы, монета не помнит прошлых результатов.
9. Шары одинаковы на ощупь, значит исходы равновозможны; доля красных равна $3:12=0{,}25$.
10. Примерно $0{,}25\cdot200=50$ шаров. Точное число заранее неизвестно и почти наверняка будет немного другим.
11. Например: падение канцелярской кнопки; бросок кубика с утяжелённой гранью; вопрос «пойдёт ли завтра дождь»; вытягивание шара из мешка, где шаров одного цвета больше.

Итог

• Случайный опыт задают списком исходов; событие описывают через исходы, которые ему благоприятны.
• Относительная частота события в короткой серии сильно скачет, а в длинной устойчиво группируется около одного числа — вероятности.
• Формула $P\approx\frac{m}{n}$ работает и там, где симметрии нет и вычислить вероятность заранее невозможно.
• Отдельный опыт не «выравнивает» прошлые: доля выравнивается за счёт большого числа новых опытов, а не за счёт отыгрыша.

Дальше — практикум: соберём данные, характеристики, диаграммы и оценку вероятности в один отчёт.

← Частоты и диаграммы · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным