Последовательности

9 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: степень с натуральным показателем, проценты, линейная функция, решение уравнений

Зал наполняется рядами: в первом ряду $12$ мест, в каждом следующем на $2$ больше. Вклад лежит в банке: каждый год сумма умножается на одно и то же число. Колония бактерий удваивается каждый час.

Три разные истории, а вопрос один и тот же: что будет на шаге номер $n$ и сколько наберётся за все шаги вместе?

Отвечать на него, выписывая члены по одному, можно только до шага десятого. На шаге сотом нужен другой инструмент — формула. Эта глава как раз про то, как превратить правило «что происходит за один шаг» в формулу «что будет через $n$ шагов».

◎ После урока ты сможешь

• задавать числовую последовательность формулой n-го члена и рекуррентно
• распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии и находить d и q
• применять формулы n-го члена и суммы первых n членов обеих прогрессий
• строить модель сложного процента и отличать её от простого процента
• сравнивать линейный и экспоненциальный рост на одном честном графике

◆ Два способа сделать шаг

Всего два действия задают почти всё в этой главе. Можно каждый шаг прибавлять одно и то же число — получится арифметическая прогрессия. Можно каждый шаг умножать на одно и то же число — получится геометрическая.

Разница между «прибавлять» и «умножать» кажется мелкой. Через $30$ шагов она превращается в разницу между сотней и миллиардом.

Входная диагностика

Всё это уже было в 6–8 классах. Ответь по памяти.

1. Найди $20\,\%$ от $4500$.
2. Цена $800$ ₽ выросла на $15\,\%$. Сколько она стала?
3. Вычисли $2^{10}$.
4. Вычисли $\left(\dfrac12\right)^{5}$.
5. Реши уравнение $5+7(n-1)=54$.
6. Найди сумму $1+2+3+\dots+10$.
7. На какое число нужно умножить величину, чтобы она уменьшилась на $20\,\%$?
8. Найди значение выражения $3\cdot2^{\,n-1}$ при $n=5$.

Ответы для самопроверки

1. $4500\cdot0{,}2=900$.
2. $800\cdot1{,}15=920$ ₽. Множитель — главный герой урока 3.4.
3. $2^{10}=1024$.
4. $\left(\dfrac12\right)^{5}=\dfrac1{32}=0{,}03125$.
5. $7(n-1)=49$, значит $n-1=7$ и $n=8$.
6. $1+2+\dots+10=55$.
7. На $0{,}8$.
8. $3\cdot2^{4}=3\cdot16=48$.

Если задания $2$ и $7$ вызвали затруднение, освежи процентные изменения; если $3$ и $8$ — степень с натуральным показателем.

Договорённости главы

• Члены нумеруем с единицы: $a_1$ — первый член, $a_n$ — член с номером $n$. Номер всегда натуральный.
• Различаем номер и значение. Запись «$a_5=17$» читается «пятый член равен семнадцати», а не «$a$ умножить на $5$».
• Несколько выписанных членов не задают последовательность. Правило нужно назвать словами или формулой.
• Проценты не складываются между собой — перемножаются множители. Это правило проверяем в каждой денежной задаче.
• Приближённые ответы отмечаем знаком $\approx$ и называем точность округления.

Маршрут главы

1. Числовые последовательности — что это такое и два честных способа задать: формулой $n$-го члена и рекуррентно.
2. Арифметическая прогрессия — равные прибавки, формула $a_n$ и сумма Гаусса.
3. Геометрическая прогрессия — равные множители, формула $b_n$ и сумма степеней.
4. Сложный процент и рост — вклад, инфляция, скидки и честное сравнение двух видов роста.
5. Практикум — смешанные задачи, где вид прогрессии нужно ещё распознать.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с самого честного вопроса главы — что вообще значит «задать последовательность».