3.6. Процентные задачи и изменения

6 класс · Отношения◷ 50–65 минут◇ База + исследованиеНужно знать: процент как сотая доля и пропорции

После скидки $20\%$ рюкзак стоит $2400$ рублей. Можно ли найти прежнюю цену, просто прибавив к новой $20\%$? Сначала нужно понять, от какой величины считался процент.

◎ После урока ты сможешь

• различать задачи на часть, целое и процент
• увеличивать и уменьшать величину с помощью коэффициента изменения
• объяснять, почему равные последовательные проценты не всегда взаимно уничтожаются

Меняй основание и наблюдай

Лаборатория процентов

Процент — одна сотая

Свяжи сотенную сетку, дробь, десятичную запись и изменение величины.

100 клеток

Процент, % 20От 0 до 100 %.

Исходная величина, ₽ 3000От 0 до 1000000 ₽.

20%=20100=0,2

Найти 20% от величины

600 ₽

3000 ₽ · 0,2 = 600 ₽

Увеличить на 20%

3600 ₽

3000 ₽ · (1 + 0,2) = 3000 ₽ · 1,2

Уменьшить на 20%

2400 ₽

3000 ₽ · (1 − 0,2) = 3000 ₽ · 0,8

Ловушка сложения процентов

+20%, затем −20%

После увеличения получаем 3600 ₽. Теперь уменьшение считают уже от этой новой величины: 3600 ₽ · 0,8 = 2880 ₽.

Это на 120 ₽ меньше исходного: множители, а не знаки процентов, определяют результат.

%

20% от 3000 ₽ — это 600 ₽.Для части умножаем на 0,2; для увеличения — на 1,2, для уменьшения — на 0,8.

Три вопроса об одной модели

Пусть основание равно $A$, сравниваемая величина — $B$, а число перед знаком процента — $p$. Тогда процент равен $p\%$, и величины связывает равенство

$B=A\cdot\frac p{100}.$

Из него возникают три типа задач.

Известно	Нужно найти	Действие
основание $A$ и процент $p\%$	величина $B$	$B=A\cdot\frac p{100}$
величина $B$ и ненулевой процент $p\%$	основание $A$	$A=B:\frac p{100}$
величина $B$ и ненулевое основание $A$	число $p$ перед знаком процента	$p=\frac BA\cdot100$

Деление требует проверки: основание восстанавливают при $p\ne0$, а процент находят при $A\ne0$. После вычисления числа $p$ к ответу дописывают знак процента.

Восстановим целое по частиРазбираем вместе

$18\%$ всех книг составляют $72$ справочника. Сколько книг всего?

Здесь $72$ — часть, а $18\%=0{,}18$ — её доля от неизвестного целого:

$A=72:0{,}18=400.$

Проверка: $18\%$ от $400$ равны $400\cdot0{,}18=72$.

Найдём, сколько процентов составляет частьРазбираем вместе

Из $80$ деталей проверку прошли $68$.

$\frac{68}{80}\cdot100\%=0{,}85\cdot100\%=85\%.$

За $100\%$ принято число всех деталей, а не только прошедших проверку.

Увеличение и уменьшение

Если исходная величина — $A$, то после увеличения на $p\%$ остаётся исходное целое $100\%$ и добавляется ещё $p\%$:

$A_{\text{нов}}=A\left(1+\frac p{100}\right).$

После уменьшения остаётся $(100-p)\%$:

$A_{\text{нов}}=A\left(1-\frac p{100}\right).$

Числа $1+\frac p{100}$ и $1-\frac p{100}$ называют коэффициентами изменения.

Цена после скидкиРазбираем вместе

Рюкзак после скидки $20\%$ стоит $2400$ рублей. Новая цена составляет $80\%$ старой:

$2400=0{,}8A.$

Поэтому

$A=2400:0{,}8=3000\text{ рублей}.$

Если просто прибавить $20\%$ от новой цены, получим $2400+480=2880$ рублей — это не исходная цена. Скидку считали от $3000$, а прибавку — уже от $2400$.

Проверка понимания

Цена 1000 ₽ сначала уменьшилась на 20%, затем новая цена выросла на 20%. Какой стала цена?

• А. 1000 ₽
• Б. 960 ₽
• В. 800 ₽

Последовательные изменения перемножаются

Уменьшение на $20\%$ даёт коэффициент $0{,}8$, а увеличение на $20\%$ — коэффициент $1{,}2$:

$0{,}8\cdot1{,}2=0{,}96.$

В результате осталось $96\%$ исходной величины, то есть произошло общее уменьшение на $4\%$.

◆ У этого есть имя — сложный процент

Если величина меняется на одни и те же $p\%$ шаг за шагом, то коэффициент каждого шага один и тот же, а за $n$ шагов множители перемножаются — получается степень. Такой рост называют сложным процентом: именно так растут вклады в банке. В 9 классе он получит короткую формулу и окажется геометрической прогрессией (урок 3.4). Сама идея у тебя уже есть — не хватает только имени.

! Ловушка: сложить проценты с разными основаниями

Проценты можно складывать напрямую только тогда, когда они взяты от одного и того же целого. В последовательных изменениях основание меняется после каждого шага, поэтому нужно последовательно умножать коэффициенты.

Проценты и процентные пункты

Если доля выросла с $40\%$ до $50\%$, она увеличилась на 10 процентных пунктов. Относительно старого значения рост составляет

$\frac{50-40}{40}\cdot100\%=25\%.$

Это разные ответы на разные вопросы. Процентные пункты сравнивают две доли напрямую; процентное изменение сравнивает прирост со старым значением.

Практика

Найди неизвестную величину

1. $24$ ученика составляют $60\%$ группы. Сколько учеников в группе?
2. Из $250$ задач решены $190$. Какой процент задач решён?
3. После выполнения $35\%$ маршрута осталось $26$ км. Какова длина всего маршрута?
4. Число увеличили на $15\%$ и получили $230$. Найди исходное число.

Выполни изменение

5. Цена $1800$ рублей выросла на $12\%$. Найди новую цену.
6. Масса $64$ кг уменьшилась на $7{,}5\%$. Найди новую массу.
7. Население посёлка $5000$ человек выросло сначала на $10\%$, а затем ещё на $20\%$. На сколько процентов оно выросло относительно начала?
8. Цена $2000$ рублей сначала выросла на $25\%$, затем снизилась на $20\%$. Вернулась ли она к исходной?

Объясни

9. Доля участников выросла с $30\%$ до $36\%$. Найди рост в процентных пунктах и в процентах от старой доли.
10. Придумай пример двух величин, для которых фраза «увеличилось на $50\%$» означает разные абсолютные прибавки.

Ответы и объяснения

1. $24:0{,}6=40$ учеников.
2. $190:250\cdot100\%=76\%$.
3. Осталось $65\%$, значит весь маршрут равен $26:0{,}65=40$ км.
4. Коэффициент роста $1{,}15$; исходное число $230:1{,}15=200$.
5. $1800\cdot1{,}12=2016$ рублей.
6. $64\cdot0{,}925=59{,}2$ кг.
7. $5000\cdot1{,}1\cdot1{,}2=6600$. Коэффициент $1{,}32$, рост $32\%$, а не $30\%$.
8. $2000\cdot1{,}25\cdot0{,}8=2000$. Да: именно эти разные проценты в данном порядке дают взаимно обратные коэффициенты.
9. Рост на $6$ процентных пунктов; относительно $30\%$ это $6:30\cdot100\%=20\%$.
10. Например, $50\%$ от $200$ рублей — $100$ рублей, а $50\%$ от $800$ рублей — $400$ рублей.

Итог

• Одно равенство $B=A\cdot\frac p{100}$ связывает часть, целое и процент.
• Увеличение и уменьшение удобно выполнять коэффициентами $1\pm\frac p{100}$.
• Последовательные проценты относятся к меняющимся основаниям, поэтому коэффициенты перемножают.

В практикуме предстоит по условию выбрать нужную модель: отношение, пропорцию, ставку, масштаб или процент.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным