5.4. Распределительное свойство

6 класс · Буквы и формулы◷ 40–50 минут◇ Углубление · мост к 7 классуНужно знать: площадь прямоугольника, выражения и числа со знаком

Прямоугольник высотой $3$ разделён на две части шириной $x$ и $2$. Его общая ширина равна $x+2$. Площадь можно найти как площадь целого или как сумму площадей частей:

$3(x+2)=3x+3\cdot2=3x+6.$

Две записи описывают один и тот же прямоугольник, поэтому дают одинаковые значения.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять распределительное свойство через разбиение целого на части
• правильно раскрывать скобки при положительном и отрицательном множителе
• выносить общий числовой множитель и проверять равенство подстановкой

Целое и его части

Переключай представление «целое» и «части». Меняй $x$, множитель и постоянную часть; числовое значение слева и справа должно совпадать.

Лаборатория распределительного закона

Умножить сумму целиком или по частям

Направленные полосы сохраняют знак каждого вклада — в том числе при отрицательном множителе.

a(b ± c)

ЦеликомПо частямСобрать обратно

Множитель 3

−+

От −8 до 8, шаг 1.

Значение x 4

−+

От −8 до 8, шаг 1.

Число в скобках 2

−+

От −8 до 8, шаг 1.

3 · (4 + 2)=12 + 6=18

1. 1

   Внутри скобок. 4 + 2 = 6.

2. 2

   Распределяем множитель. Первый вклад — 3 · 4 = 12, второй — 3 · (2) = 6.

3. 3

   Сверяем. Оба маршрута дают 18.

=

3 · (4 + 2) = 12 + 6 = 18Знак второго вклада определяется всем произведением, а не только знаком между членами в скобках.

↺ Вернуть пример

При положительных длинах картинка буквально показывает площадь. Равенство остаётся верным и для чисел со знаком: тогда его подтверждают законы умножения и сложения, хотя отрицательная длина уже не имеет геометрического смысла.

∴ Распределительное свойство

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$

$a(b+c)=ab+ac,$

$a(b-c)=ab-ac.$

Множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри.

Знак множителя тоже распределяется

Раскроем −2(x + 5)Разбираем вместе

Умножаем на $-2$ каждое слагаемое:

$-2(x+5)=(-2)x+(-2)\cdot5=-2x-10.$

Проверим при $x=3$. Слева $-2\cdot8=-16$, справа $-6-10=-16$. Эта подстановка подтверждает один случай, а равенство записей при всех $x$ следует из распределительного свойства.

Если в скобках разность, полезно считать её суммой с отрицательным числом:

$-3(x-2)=-3\bigl(x+(-2)\bigr)=-3x+6.$

Плюс перед шестёркой появляется потому, что произведение двух отрицательных чисел положительно.

Проверка понимания

Какая запись равна −3(x − 2)?

• А. −3x − 6
• Б. −3x + 6
• В. −3x − 2

Обратный ход: общий множитель

Если каждое слагаемое содержит один множитель, его можно вынести за скобки:

$8x+12=4\cdot2x+4\cdot3=4(2x+3).$

Это то же распределительное свойство, прочитанное справа налево. Удобно выбирать общий множитель так, чтобы числа в скобках стали проще.

Два способа посчитатьРазбираем вместе

Для $17\cdot6+3\cdot6$ общий множитель — $6$:

$17\cdot6+3\cdot6=(17+3)\cdot6=20\cdot6=120.$

Здесь свойство сокращает вычисление и показывает, что буквенная запись продолжает знакомый арифметический приём.

! Потерянное слагаемое

Запись $5(x+2)=5x+2$ неверна: справа число $2$ не умножили на $5$. Быстрая проверка при $x=0$ даёт слева $10$, справа $2$ — равенство сразу рушится.

Практика

1. Раскрой скобки: $4(x+3)$.
2. Раскрой скобки: $5(a-2)$.
3. Раскрой скобки: $-2(y+6)$.
4. Раскрой скобки: $-4(m-3)$.
5. Заполни пропуск: $7(p+\square)=7p+35$.
6. Вынеси общий множитель: $6x+18$.
7. Вынеси общий множитель: $15a-10$.
8. Вычисли удобным способом $38\cdot7+62\cdot7$.
9. Проверь подстановкой при $x=-2$: $3(x-4)=3x-12$.
10. Найди и исправь ошибку: $-5(a+2)=-5a+10$.
11. Сравни $2(x+5)$ и $2x+5$. При каком значении $x$ они равны? Объясни, делает ли это выражения одинаковыми планами.
12. Прямоугольник высотой $k$ имеет ширину $a+4$. Запиши площадь целого и сумму площадей двух частей.

Ответы и пояснения

1. $4x+12$.
2. $5a-10$.
3. $-2y-12$.
4. $-4m+12$.
5. $5$.
6. Например, $6(x+3)$.
7. $5(3a-2)$.
8. $(38+62)\cdot7=700$.
9. Слева $3(-2-4)=-18$, справа $3\cdot(-2)-12=-18$.
10. Верно: $-5(a+2)=-5a-10$.
11. $2x+10=2x+5$ не может быть верным ни при каком $x$, потому что постоянные части различаются на $5$. Планы не одинаковы.
12. $k(a+4)$ и $ka+4k$; записи равны.

Итог

• Умножение суммы или разности распределяется на каждое слагаемое.
• Отрицательный множитель требует особенно внимательно вычислять знаки произведений.
• Подстановка проверяет отдельный числовой случай: несовпадение опровергает равенство записей при всех значениях, а одно совпадение ещё не доказывает его. Равенство при всех допустимых значениях обосновывает общий закон.

После раскрытия скобок часто появляются слагаемые одного вида. Научимся объединять подобные слагаемые.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным