2.3 Вершина и свойства по графику

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: вершинная форма, выделение полного квадрата, дискриминант, числовые промежутки

У фермера есть $40$ метров сетки. Он хочет огородить прямоугольный загон наибольшей площади. Стороны можно выбрать любые — лишь бы периметр остался прежним.

Если одна сторона равна $x$, то вторая равна $20-x$, и площадь равна

$S=x(20-x)=20x-x^2.$

Перед нами квадратичная функция с ветвями вниз. Значит, наибольшее значение у неё есть — и достигается оно ровно в вершине. Осталось научиться находить эту вершину быстро.

◎ После урока ты сможешь

• находить вершину параболы по формуле x₀ = −b/(2a) и вычислять y₀ подстановкой
• объяснять, почему ось симметрии проходит через середину между нулями
• читать по графику монотонность, область значений и знак функции
• решать задачи на наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции

Прогноз до вычислений

1. Какой прямоугольник даст наибольшую площадь: вытянутый или близкий к квадрату?
2. Может ли площадь загона оказаться равной $120\text{ м}^2$?
3. Загоны со сторонами $6$ и $14$ и со сторонами $14$ и $6$ — это разные ответы или один?

Откуда берётся формула вершины

В прошлом уроке любая парабола записывалась как $y=a(x-m)^2+n$ с вершиной $(m;n)$. Выделим полный квадрат в общем случае:

$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c.$

Приведём последние два слагаемых к общему знаменателю:

$-\frac{b^2}{4a}+c=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{D}{4a}.$

Получилась вершинная форма

$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a},$

а из неё сразу читается вершина.

∴ Вершина и ось симметрии

У параболы $y=ax^2+bx+c$ вершина находится в точке $(x_0;y_0)$, где

$x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0).$

Прямая $x=x_0$ — ось симметрии параболы: точки графика с абсциссами $x_0-t$ и $x_0+t$ имеют одинаковые ординаты.

Если $a>0$, то $y_0$ — наименьшее значение функции. Если $a<0$, то $y_0$ — наибольшее.

Ординату вершины можно считать и по формуле $y_0=-\dfrac{D}{4a}$, но подстановка $x_0$ в исходную формулу надёжнее: она заодно проверяет само $x_0$.

Есть и второй способ увидеть ось симметрии. Если нулей два, они равны

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$

и их полусумма равна $\dfrac{-b}{2a}$ — корни всегда стоят симметрично относительно оси. Поэтому вершину можно найти и так: сложить нули и разделить пополам.

Эксперимент: найди вершину, не рисуя график

Функция задана стандартным видом. Определи в уме, куда уехала вершина, выбери ответ — и только потом посмотри на рисунок.

Лаборатория преобразований графика

Найди вершину, не рисуя график

Функция задана стандартным видом. Определи, на сколько и куда сдвинут эталон y = x², и только потом проверь себя рисунком.

y = a(x − m)² + n

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = x² − 6x + 5→вершина (?; ?)

Моя вершина

Абсцисса вершины m 0−5−4−3−2−1012345Это же число — сдвиг вдоль оси x.

Ордината вершины n 0−5−4−3−2−1012345Это же число — сдвиг вдоль оси y.

Проверить

?

Куда уехала вершина?Выдели полный квадрат или найди вершину по формуле x₀ = −b/(2a). График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Что ещё видно на графике

Вершина делит область определения на две части, и на каждой функция ведёт себя однообразно.

Лаборатория квадратичной функции

Три коэффициента задают одну параболу

Меняй a, b и c и следи сразу за тремя вещами: направлением ветвей, положением вершины и числом точек пересечения с осью x.

y = ax² + bx + c

Коэффициент a 1

−+

Целое от −4 до 4, кроме нуля

Коэффициент b 2

−+

Целое от −12 до 12

Свободный член c −3

−+

Целое от −24 до 24

y = x² + 2x − 3→D = 16

Значения в точках, симметричных относительно оси x = −1

x	−3	−2	−1	0	1
y	0	−3	−4	−3	0

1. 1

   Ветви направлены вверхЗнак старшего коэффициента: a = 1. В вершине достигается наименьшее значение.

2. 2

   Вершина (−1; −4), ось симметрии x = −1x₀ = −b/(2a) = −(2) / (2·1); y₀ = −D/(4a).

3. 3

   два нуля: x = −3 и x = 1D = 16; график пересекает ось y в точке (0; −3).

4. 4

   Убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞)Область значений: y ⩾ −4. Выше оси x: x < −3 или x > 1. Ниже оси x: −3 < x < 1.

∪

y = x² + 2x − 3: вершина (−1; −4), ось симметрии x = −1.Ветви направлены вверх, поэтому в вершине достигается наименьшее значение. Область значений: y ⩾ −4.

↺ Вернуть пример

Собери по рисунку весь «паспорт» функции:

• направление ветвей — по знаку $a$;
• вершина и ось симметрии — по формуле $x_0=-\dfrac{b}{2a}$;
• нули — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$;
• монотонность: при $a>0$ функция убывает на $(-\infty;x_0]$ и возрастает на $[x_0;+\infty)$, при $a<0$ — наоборот;
• область значений: при $a>0$ это $y\geqslant y_0$, при $a<0$ это $y\leqslant y_0$;
• знак функции: между нулями знак противоположен знаку $a$, вне нулей — совпадает с ним.

Полный разбор функции y = 2x² − 12x + 10Разбираем вместе

Ветви вверх, так как $a=2>0$.

Вершина:

$x_0=-\frac{-12}{2\cdot2}=\frac{12}{4}=3,\qquad y_0=2\cdot9-12\cdot3+10=18-36+10=-8.$

Значит, вершина — точка $(3;-8)$, ось симметрии — прямая $x=3$, наименьшее значение функции равно $-8$.

Нули: $D=144-4\cdot2\cdot10=144-80=64$, $\sqrt{D}=8$, поэтому

$x=\frac{12\pm8}{4},\qquad x_1=1,\quad x_2=5.$

Проверка оси симметрии: $\dfrac{1+5}{2}=3$ — совпало с $x_0$.

Итог: функция убывает на $(-\infty;3]$ и возрастает на $[3;+\infty)$; область значений $y\geqslant-8$; значения отрицательны при $1<x<5$ и положительны при $x<1$ и при $x>5$.

Вернёмся к загону. Для $S=20x-x^2$ имеем $a=-1$, $b=20$, поэтому

$x_0=-\frac{20}{2\cdot(-1)}=10,\qquad S(10)=200-100=100.$

Наибольшая площадь равна $100\text{ м}^2$, и получается она у квадрата $10\times10$. А площадь $120\text{ м}^2$ недостижима: уравнение $20x-x^2=120$ приводится к $x^2-20x+120=0$, у которого $D=400-480=-80<0$.

Проверка понимания

Где находится вершина параболы y = x² − 8x + 3?

• А. (4; −13)
• Б. (−4; 51)
• В. (8; 3)

! Ординату вершины ищут по формуле для абсциссы

Формула $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ даёт только одно число — абсциссу. Ордината получается подстановкой:

$y_0=y(x_0)=a x_0^2+b x_0+c.$

Запись вершины в виде $\left(-\dfrac{b}{2a};\ c\right)$ неверна: $c$ — это значение при $x=0$, а не при $x=x_0$. Совпадут они только тогда, когда $b=0$ и вершина стоит на оси $y$.

Практика

1. Найди вершину и ось симметрии параболы $y=x^2-6x+5$.
2. Найди вершину параболы $y=-x^2+4x-1$ и её наибольшее значение.
3. Найди вершину параболы $y=2x^2+8x+1$.
4. Укажи область значений функции $y=x^2-6x+5$.
5. Назови промежутки возрастания и убывания функции $y=-x^2+4x-1$.
6. Найди наименьшее значение функции $y=3x^2-6x+7$.
7. Периметр загона равен $40$ м. Какова наибольшая возможная площадь и при каких сторонах?
8. При каких $x$ график функции $y=x^2-6x+5$ лежит ниже оси $x$?
9. Сколько общих точек с осью $x$ у графика $y=x^2-6x+10$? Где лежит этот график?
10. Ось симметрии параболы $y=x^2+bx+3$ — прямая $x=2$. Найди $b$.

Ответы и пояснения

1. $x_0=\dfrac{6}{2}=3$, $y_0=9-18+5=-4$. Вершина $(3;-4)$, ось симметрии $x=3$.
2. $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$, $y_0=-4+8-1=3$. Вершина $(2;3)$, наибольшее значение $3$.
3. $x_0=-\dfrac{8}{4}=-2$, $y_0=8-16+1=-7$. Вершина $(-2;-7)$.
4. Ветви вверх, поэтому $y\geqslant-4$.
5. Ветви вниз: функция возрастает на $(-\infty;2]$ и убывает на $[2;+\infty)$.
6. $x_0=\dfrac{6}{6}=1$, $y_0=3-6+7=4$. Наименьшее значение равно $4$.
7. Полупериметр равен $20$, поэтому $S=x(20-x)$. Вершина при $x=10$, $S=100\text{ м}^2$; загон квадратный, $10\times10$.
8. $D=36-20=16$, нули $x=\dfrac{6\pm4}{2}$, то есть $1$ и $5$. Ветви вверх, значит ниже оси при $1<x<5$.
9. $D=36-40=-4<0$ — общих точек нет. Ветви вверх, поэтому весь график лежит выше оси $x$.
10. $-\dfrac{b}{2}=2$, откуда $b=-4$.

Итог

• Абсцисса вершины равна $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, ордината — значение функции в этой точке.
• Ось симметрии $x=x_0$ проходит через середину между нулями, если нули существуют.
• Знак $a$ решает, наибольшее или наименьшее значение стоит в вершине, и задаёт область значений.
• Наибольшая площадь при фиксированном периметре достигается у квадрата — и это следствие всего одной формулы вершины.

Мы уже умеем говорить, где график лежит выше оси $x$, а где ниже. Осталось превратить это наблюдение в аккуратный способ решать неравенства.

← Преобразования графика · Дальше: квадратные неравенства →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным