4.3 Решение треугольников

9 класс · Геометрия◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: теорема косинусов, теорема синусов, сумма углов треугольника

Решить треугольник — значит найти все шесть его элементов: три стороны и три угла. Обычно на входе дают три числа, и вся задача сводится к одному вопросу: с какой теоремы начать?

Ошибка в этом выборе стоит дорого. Начнёшь не с того — застрянешь на уравнении с двумя неизвестными или, что хуже, получишь правдоподобный, но неверный ответ.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать четыре типовых набора исходных данных
• выбирать первую теорему по набору и доводить решение до всех шести элементов
• проверять ответ вторым способом и оценивать его правдоподобие
• объяснять, почему набор «две стороны и угол не между ними» может давать два треугольника

Прогноз до вычислений

Сколько чисел нужно, чтобы треугольник восстанавливался однозначно? Вспомни признаки равенства треугольников из 7 класса и ответь на три вопроса:

1. Достаточно ли трёх сторон?
2. Достаточно ли трёх углов?
3. Достаточно ли двух сторон и угла — любого?

Запиши ответы, а потом проверь их в лаборатории, переключая наборы данных.

Управляемый эксперимент

Лаборатория строит чертёж по данным и прячет искомую величину до нажатия «Проверить». Пройди все три вкладки: посчитай сам, потом сверься.

Лаборатория решения треугольников

Достроить треугольник по трём числам

Чертёж строится из данных, а не рисуется на глаз: длины и углы на картинке настоящие. Меняй набор данных и следи, какая теорема нужна первой.

задача

Три стороныДве стороны и угол между нимиСторона и два угла

Сторона a = BC6 см

−+

От 3 до 15 см

Сторона b = AC7 см

−+

От 3 до 15 см

Сторона c = AB9 см

−+

От 3 до 15 см

Угол A, градусыПроверить

?

Стороны 6, 7 и 9 см. Найди угол A.Работает теорема косинусов в обратную сторону: косинус угла собирается из трёх квадратов.

↺ Вернуть пример

Три стороны определяют треугольник полностью — это признак равенства по трём сторонам. Три угла не определяют: подобных треугольников бесконечно много, и хотя бы одна длина обязана быть в данных.

Карта наборов данных

∴ С чего начинать

Что известно	Первый шаг	Дальше
Три стороны	теорема косинусов: наибольший угол	теорема косинусов для второго угла, сумма углов для третьего
Две стороны и угол между ними	теорема косинусов: третья сторона	теорема косинусов для второго угла, сумма углов для третьего
Сторона и два угла	сумма углов: третий угол	теорема синусов для двух сторон
Две стороны и угол против одной из них	теорема синусов: синус второго угла	проверить оба угла: решений может быть $0$, $1$ или $2$

Правило запоминается одной фразой: если в данных есть пара «сторона и противолежащий ей угол» — работает теорема синусов; если такой пары нет — начинать надо с теоремы косинусов.

Две стороны и угол между нимиРазбираем вместе

Дано: $b = 5$, $c = 8$, $\angle A = 60°$.

Шаг 1. Третья сторона по теореме косинусов:

$a^2 = 25 + 64 - 2\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2} = 49, \qquad a = 7.$

Шаг 2. Второй угол — снова теоремой косинусов, так безопаснее:

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{49 + 64 - 25}{2\cdot7\cdot8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \approx 0{,}7857,$

откуда $\angle B \approx 38{,}2°$.

Шаг 3. Третий угол по сумме: $\angle C \approx 180° - 60° - 38{,}2° = 81{,}8°$.

Проверка. Против меньшей стороны $b = 5$ должен лежать меньший угол — так и есть: $38{,}2° < 60° < 81{,}8°$. Площадь: $S = \dfrac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\sin 60° = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$.

Три стороныРазбираем вместе

Дано: $a = 6$, $b = 7$, $c = 9$. Неравенство треугольника выполнено: $6 + 7 = 13 > 9$.

$\cos A = \frac{49 + 81 - 36}{2\cdot7\cdot9} = \frac{94}{126} \approx 0{,}7460 \Rightarrow \angle A \approx 41{,}8°;$

$\cos B = \frac{36 + 81 - 49}{2\cdot6\cdot9} = \frac{68}{108} \approx 0{,}6296 \Rightarrow \angle B \approx 51{,}0°;$

$\angle C \approx 180° - 41{,}8° - 51{,}0° = 87{,}2°.$

Проверка. Прямой подсчёт третьего угла даёт $\cos C = \dfrac{36 + 49 - 81}{2\cdot6\cdot7} = \dfrac{4}{84} \approx 0{,}0476$, то есть $\angle C \approx 87{,}3°$ — совпало с точностью до округления. Треугольник почти прямоугольный, но всё-таки остроугольный.

Площадь по формуле Герона: $p = 11$, $S = \sqrt{11\cdot5\cdot4\cdot2} = \sqrt{440} = 2\sqrt{110} \approx 20{,}98$.

Неоднозначный случай

Остался четвёртый набор: две стороны и угол, лежащий не между ними. Здесь теорема синусов даёт синус, а синус не различает угол и смежный с ним.

Один набор данных — два разных треугольникаРазбираем вместе

Дано: $a = 6$, $b = 9$, $\angle A = 30°$. Угол $A$ лежит против стороны $a$, а не между $a$ и $b$.

$\sin B = \frac{b\sin A}{a} = \frac{9\cdot 0{,}5}{6} = 0{,}75.$

Углов с таким синусом два: $\angle B \approx 48{,}6°$ и $\angle B \approx 131{,}4°$. Проверяем каждый на сумму углов:

• $30° + 48{,}6° = 78{,}6° < 180°$ — годится, тогда $\angle C \approx 101{,}4°$ и $c = \dfrac{a\sin C}{\sin A} \approx 11{,}76$;
• $30° + 131{,}4° = 161{,}4° < 180°$ — тоже годится, тогда $\angle C \approx 18{,}6°$ и $c \approx 3{,}83$.

Оба треугольника существуют. Данные их не различают: сторона $b = 9$ длиннее стороны $a = 6$, и дуга радиуса $6$ с центром в вершине $C$ пересекает вторую сторону угла в двух точках.

✦ Когда двусмысленности нет

Если известный угол лежит против большей из двух данных сторон, тупой вариант отпадает: в треугольнике не может быть двух неострых углов. Например, при $a = 10$, $b = 6$, $\angle A = 30°$ получаем $\sin B = 0{,}3$ и единственный ответ $\angle B \approx 17{,}5°$.

А если $\sin B$ оказался больше единицы — треугольника нет вовсе. Так, при $a = 4$, $b = 9$, $\angle A = 40°$ выходит $\sin B \approx 1{,}45$: сторона $a$ слишком коротка, чтобы дотянуться до второй стороны угла.

Проверка понимания

В каком наборе данных треугольник может оказаться не единственным?

• А. Три стороны
• Б. Две стороны и угол между ними
• В. Две стороны и угол против одной из них

! Четыре ловушки решения треугольников

Ищут второй угол теоремой синусов там, где угол может быть тупым. Калькулятор всегда возвращает острый ответ. Безопасных выхода два: считать угол теоремой косинусов (её знак сам всё расскажет) или искать угол против меньшей стороны — такой угол заведомо острый.

Не проверяют неравенство треугольника. Для набора «три стороны» это первое действие: при сторонах $2$, $3$, $6$ считать нечего.

В неоднозначном случае берут только один корень. Если тупой вариант проходит по сумме углов, в ответе обязаны быть два треугольника.

Округляют промежуточные значения. Округлив угол до целых на первом шаге, легко потерять единицы в длине на третьем. Округляй только окончательный ответ.

Практика

1. Найди третью сторону, если $b = 7$, $c = 10$, а угол между ними равен $60°$.
2. Найди все углы треугольника со сторонами $5$, $6$, $7$.
3. Реши треугольник по данным $c = 12$, $\angle A = 45°$, $\angle B = 75°$.
4. Найди площадь треугольника из задачи 1.
5. Реши треугольник по данным $a = 5$, $b = 8$, $\angle A = 30°$. Сколько решений?
6. Существует ли треугольник, у которого $a = 4$, $b = 9$, $\angle A = 40°$?
7. Найди площадь треугольника со сторонами $9$ и $12$ и углом $150°$ между ними.
8. Треугольник имеет стороны $8$, $15$, $17$. Найди его вид, площадь и радиус описанной окружности.
9. Две стороны треугольника равны по $10$, угол между ними равен $120°$. Найди третью сторону, оставшиеся углы и площадь.
10. Из порта одновременно вышли два катера. Угол между их курсами равен $45°$, скорости — $12$ км/ч и $16$ км/ч. Какое расстояние между ними через $2$ часа?

Ответы и пояснения

1. $a^2 = 49 + 100 - 2\cdot7\cdot10\cdot\dfrac{1}{2} = 79$, поэтому $a = \sqrt{79} \approx 8{,}89$.
2. $\cos$ угла против $7$ равен $\dfrac{25 + 36 - 49}{60} = 0{,}2$, то есть $\approx 78{,}5°$; против $6$: $\dfrac{25 + 49 - 36}{70} \approx 0{,}5429$, то есть $\approx 57{,}1°$; третий угол $\approx 44{,}4°$. Сумма даёт $180°$.
3. $\angle C = 60°$; $a = \dfrac{12\sin 45°}{\sin 60°} = 4\sqrt{6} \approx 9{,}80$; $b = \dfrac{12\sin 75°}{\sin 60°} \approx 13{,}38$.
4. $S = \dfrac{1}{2}\cdot7\cdot10\cdot\sin 60° = 17{,}5\sqrt{3} \approx 30{,}31$.
5. $\sin B = \dfrac{8\cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$, поэтому $\angle B \approx 53{,}1°$ или $\angle B \approx 126{,}9°$. Оба подходят: получаются $\angle C \approx 96{,}9°$, $c \approx 9{,}93$ и $\angle C \approx 23{,}1°$, $c \approx 3{,}93$. Два решения.
6. Нет: $\sin B = \dfrac{9\sin 40°}{4} \approx 1{,}45 > 1$.
7. $S = \dfrac{1}{2}\cdot9\cdot12\cdot\sin 150° = 54\cdot0{,}5 = 27$.
8. $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ — прямоугольный. Тогда $S = \dfrac{1}{2}\cdot8\cdot15 = 60$, а $R = \dfrac{17}{2} = 8{,}5$.
9. $c^2 = 100 + 100 + 100 = 300$, $c = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$. Треугольник равнобедренный, поэтому два оставшихся угла равны по $\dfrac{180° - 120°}{2} = 30°$. Площадь $S = \dfrac{1}{2}\cdot100\cdot\sin 120° = 25\sqrt{3} \approx 43{,}30$.
10. За $2$ часа катера прошли $24$ км и $32$ км. Тогда $d^2 = 576 + 1024 - 2\cdot24\cdot32\cdot\cos 45° \approx 1600 - 1086{,}1 = 513{,}9$, откуда $d \approx 22{,}67$ км.

Итог

• Решить треугольник — найти все три стороны и все три угла.
• Есть пара «сторона и противолежащий угол» — начинай с теоремы синусов; такой пары нет — с теоремы косинусов.
• Второй угол надёжнее искать теоремой косинусов или брать его против меньшей стороны: тогда он гарантированно острый.
• Набор «две стороны и угол не между ними» может давать ноль, одно или два решения; ответ обязан честно назвать их число.
• Каждый ответ полезно проверять вторым способом: против большей стороны — больший угол, сумма углов равна $180°$, площадь считается двумя формулами.

Мы научились работать с произвольным треугольником. Дальше объединим треугольник с окружностью: любой правильный многоугольник разрезается на равные треугольники, и это даёт формулы его периметра и площади — а заодно объясняет, откуда берётся длина окружности.

← Теорема синусов · Дальше: правильные многоугольники и круг →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным