2.4 Умножение, деление и степень дроби

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: умножение и деление обыкновенных дробей, свойства степеней, сокращение

Умножение дробей — самое простое действие: общий знаменатель не нужен, приведение не нужно, достаточно перемножить «этажи». Именно поэтому здесь легче всего потерять запрет.

Посмотри на произведение

$\frac{x}{x+2}\cdot\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{x-2}{x}.$

Ответ верный. Но в нём не осталось ни следа от условия $x\ne-2$, которое было в первом множителе.

◎ После урока ты сможешь

• умножать и делить алгебраические дроби по правилу «числитель на числитель»
• сокращать до умножения, а не после
• возводить дробь в натуральную степень
• выписывать все запреты, включая числитель делителя

Прогноз до вычислений

• Что быстрее: сначала перемножить многочлены, а потом сокращать, — или наоборот?
• Какие значения запрещает запись $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}$? Сколько условий получится?
• Чему равно $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$? А $\left(\dfrac{2a}{3b}\right)^3$?

Правила

∴ Умножение, деление, степень

$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Деление заменяется умножением на перевёрнутый делитель. Переворачивают именно делитель — вторую дробь.

Степень дроби — частный случай умножения: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^3=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^3}{b^3}$. Показатель распределяется по обоим этажам, включая числовой коэффициент:

$\left(\frac{2a}{3b}\right)^3=\frac{(2a)^3}{(3b)^3}=\frac{8a^3}{27b^3}.$

Эксперимент: куда пропал запрет

Лаборатория равносильных записей

Умножение с сокращением

Верно ли выполнено умножение дробей? Значения считаются точно, без округлений — в каждой точке видно, совпадают записи или нет.

x/(x + 2) · (x² − 4)/x²

x/(x + 2) · (x² − 4)/x²=(x − 2) / x

Одно значение — две записи

Таблица сравнения

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например −1,5.

Слева x/(x + 2) · (x² − 4)/x², справа (x − 2) / x

x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−2	не определено	2	слева не определено
−1	3	3	значения совпали
0	не определено	не определено	обе записи не определены
1	−1	−1	значения совпали
4	0,5	0,5	значения совпали

Что стало с допустимыми значениями

Ответ «шире» исходной записи

• Исходная запись запрещает: −2; 0.
• Предложенный ответ запрещает: 0.
• Потеряно при преобразовании: −2. Именно поэтому рядом с ответом пишут условие x ≠ −2.

=

Записи равны при всех допустимых значениях x.Совпадение в 3 проверенных точках — это ещё не доказательство, но повод искать преобразование. Ответ верен, но запрет x ≠ −2 виден только в исходном произведении.

↺ Вернуть пример

Записи совпадают всюду, где обе определены. Но при $x=-2$ произведение не имеет смысла, а его «ответ» $\dfrac{x-2}{x}$ спокойно равен $2$. Значит, ответ обязан идти с условием $x\ne-2$, $x\ne0$.

✦ Сокращать до умножения

Если сначала перемножить многочлены, получится $\dfrac{x^3-4x}{x^3+2x^2}$ — и раскладывать придётся всё равно.

Разумный порядок: разложить каждый числитель и знаменатель, вычеркнуть общие множители крест-накрест и только потом записать результат. Меньше вычислений — меньше ошибок.

Умножим (x² − 4)/(3x) · 6x/(x + 2)Разбираем вместе

Раскладываем на множители всё, что раскладывается:

$\frac{(x-2)(x+2)}{3x}\cdot\frac{6x}{x+2}.$

Запреты выписываем сразу по обоим знаменателям: $3x\ne0$ и $x+2\ne0$, то есть $x\ne0$ и $x\ne-2$.

Сокращаем общие множители: $(x+2)$ сверху и снизу, а $\dfrac{6x}{3x}=2$:

$\frac{(x-2)\cdot6x}{3x}=2(x-2)=2x-4.$

Ответ: $2x-4$ при $x\ne0$ и $x\ne-2$.

Проверка при $x=1$: слева $\dfrac{1-4}{3}\cdot\dfrac{6}{3}=(-1)\cdot2=-2$, справа $2-4=-2$.

Деление: три источника запретов

При делении $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}$ в ноль не должны обращаться:

• $B$ — знаменатель делимого;
• $D$ — знаменатель делителя;
• $C$ — числитель делителя, потому что делить на нулевую дробь нельзя.

Третье условие теряют чаще всего: после переворота $C$ оказывается в знаменателе и выглядит «как обычно», но запрет существует уже в исходной записи.

Лаборатория равносильных записей

Деление дробей

Верно ли выполнено деление? Значения считаются точно, без округлений — в каждой точке видно, совпадают записи или нет.

x/(x − 1) : x²/(x² − 1)

x/(x − 1) : x²/(x² − 1)?(x + 1) / x

Что покажет проверка значениями?

Записи равны при всех допустимых xНайдётся x, при котором значения разныеПроверить

Одно значение — две записи

Таблица сравнения

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например −1,5.

Слева x/(x − 1) : x²/(x² − 1), справа (x + 1) / x

x	Исходная запись	Предложенный ответ	Вывод
−1	не определено	0	слева не определено
0	не определено	не определено	обе записи не определены
1	не определено	2	слева не определено
2	1,5	1,5	значения совпали
3	4/3	4/3	значения совпали

Что стало с допустимыми значениями

Ответ «шире» исходной записи

• Исходная запись запрещает: −1; 0; 1.
• Предложенный ответ запрещает: 0.
• Потеряно при преобразовании: −1; 1. Именно поэтому рядом с ответом пишут условие x ≠ −1, x ≠ 1.

?

Верно ли выполнено деление?Сначала выскажи предположение, потом сверься с таблицей значений.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

При каких x имеет смысл запись x/(x − 4) : (x + 1)/x ?

• А. При x ≠ 4
• Б. При x ≠ 4, x ≠ 0 и x ≠ −1
• В. При x ≠ 4 и x ≠ 0

! Перевернули не ту дробь

При делении $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}$ иногда переворачивают первую дробь и пишут $\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{c}{d}$.

Проверить легко на числах: $\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{1}=2$, а «перевёрнутое делимое» дало бы $\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{1}{4}=0{,}5$. Правильный ответ больше единицы, потому что мы делим на число, меньшее единицы.

Практика

Выполни действие; там, где просят, укажи допустимые значения.

1. $\dfrac{a}{3}\cdot\dfrac{6}{a^2}$
2. $\dfrac{x+1}{x}\cdot\dfrac{x^2}{x+1}$
3. $\dfrac{x^2-9}{2x}\cdot\dfrac{4x}{x+3}$
4. $\dfrac{6x^2y}{5}\cdot\dfrac{10}{3xy^2}$
5. $\dfrac{a}{b}:\dfrac{a^2}{b^2}$
6. $\dfrac{x}{x-1}:\dfrac{x^2}{x^2-1}$
7. $\dfrac{x^2-4}{x+5}:\dfrac{x-2}{x+5}$
8. $\left(\dfrac{2a}{3b}\right)^3$
9. $\left(\dfrac{x}{y}\right)^2\cdot\dfrac{y}{x}$
10. При каких значениях $x$ имеет смысл запись $\dfrac{x}{x-4}:\dfrac{x+1}{x}$?

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{6a}{3a^2}=\dfrac{2}{a}$ при $a\ne0$.
2. $\dfrac{(x+1)x^2}{x(x+1)}=x$ при $x\ne0$ и $x\ne-1$.
3. $\dfrac{(x-3)(x+3)\cdot4x}{2x(x+3)}=2(x-3)=2x-6$ при $x\ne0$, $x\ne-3$.
4. $\dfrac{60x^2y}{15xy^2}=\dfrac{4x}{y}$ при $x\ne0$, $y\ne0$.
5. $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{ab^2}{a^2b}=\dfrac{b}{a}$ при $a\ne0$, $b\ne0$.
6. $\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}=\dfrac{x+1}{x}$ при $x\ne0$, $x\ne1$, $x\ne-1$.
7. $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+5}\cdot\dfrac{x+5}{x-2}=x+2$ при $x\ne-5$ и $x\ne2$.
8. $\dfrac{(2a)^3}{(3b)^3}=\dfrac{8a^3}{27b^3}$ при $b\ne0$.
9. $\dfrac{x^2}{y^2}\cdot\dfrac{y}{x}=\dfrac{x^2y}{y^2x}=\dfrac{x}{y}$ при $x\ne0$, $y\ne0$.
10. Знаменатель делимого: $x\ne4$. Знаменатель делителя: $x\ne0$. Числитель делителя: $x+1\ne0$, то есть $x\ne-1$. Итого $x\ne4$, $x\ne0$, $x\ne-1$.

Итог

• Умножение дробей выполняется поэтажно, деление — умножением на перевёрнутый делитель.
• Показатель степени применяется и к числителю, и к знаменателю, включая коэффициенты.
• Сокращать выгодно до перемножения многочленов.
• Запреты собирают со всех знаменателей исходной записи и с числителя делителя.

Все четыре действия освоены. Теперь дробь можно поставить в уравнение — и там проверка допустимости станет обязательным шагом решения: рациональные уравнения.

← Сложение и вычитание · Дальше: рациональные уравнения →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным