6.1 Правила подсчёта

9 класс · Вероятность◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: перебор вариантов, дерево вариантов, умножение натуральных чисел

Мастерская собирает велосипеды под заказ. Рама бывает трёх видов, руль — двух, покрышки — двух. Каталог обещает «более двадцати моделей».

Проверить это обещание можно двумя способами: выписать все сборки в столбик или посчитать. Первый способ надёжен, пока вариантов десяток; во втором нужно понять, складывать числа или умножать.

Вопрос урока: по какому признаку выбирают между сложением и умножением — и почему ошибка здесь стоит дороже, чем арифметическая?

◎ После урока ты сможешь

• различать выбор «одного из» и выбор «по шагам»
• применять правило суммы к непересекающимся наборам
• применять правило произведения к последовательному выбору
• комбинировать оба правила в одной задаче и учитывать запрет повторов

Прогноз до вычислений

1. Три рамы, два руля, две покрышки. Сборок больше или меньше двадцати?
2. Если добавить ещё один вид руля, ответ вырастет на $1$ — или как-то иначе?
3. В меню $5$ салатов и $4$ супа. В какой из двух задач ответ больше: «взять одно блюдо» или «взять салат и суп»?

Запиши свои три ответа. Ниже проверим каждый.

Два правила

∴ Правило суммы и правило произведения

Правило суммы. Если объект выбирают из одного из нескольких наборов, которые попарно не пересекаются, и в первом наборе $n_1$ объектов, во втором $n_2$, …, в последнем $n_k$, то всего вариантов

$N=n_1+n_2+\ldots+n_k.$

Правило произведения. Если выбор делают за несколько шагов, на первом шаге есть $n_1$ вариантов, на втором $n_2$, …, на последнем $n_k$, причём число вариантов очередного шага одно и то же при любом предыдущем выборе, то всего вариантов

$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k.$

Слово-подсказка для суммы — «или», для произведения — «и».

Правило произведения ты уже применял в 6 классе — там оно называлось правилом умножения (перебор вариантов). Формула та же, изменилось только имя. Новое здесь — правило суммы рядом с ним и привычка каждый раз спрашивать, какое из двух работает.

Условие «наборы не пересекаются» в правиле суммы — не формальность. Если один и тот же объект попал в два набора, при сложении он будет посчитан дважды.

Условие «число вариантов шага не зависит от предыдущего выбора» в правиле произведения — тоже. Именно оно позволяет умножать, а не разбирать каждую ветку отдельно.

Управляемый эксперимент

Дерево вариантов показывает оба правила сразу: от каждой ветви первого шага отходит одинаковый пучок ветвей второго, а число готовых вариантов равно числу листьев.

Лаборатория перебора

Дерево вариантов и правило умножения

Задай шаги выбора: дерево и полный список вариантов строятся систематически, без пропусков и повторов.

n₁ · n₂ · …

Шаг 1

Название шага

Варианты через запятую 3Не больше 4 вариантов на шаг.

Шаг 2

Название шага

Варианты через запятую 2Не больше 4 вариантов на шаг.

Шаг 3

Название шага

Варианты через запятую 2Не больше 4 вариантов на шаг.

Добавить шагУбрать последний шагСбросить пример

Систематический перебор: первый шаг меняется медленнее всех

№	Рама	Руль	Покрышки
1	городская	прямой	гладкие
2	городская	прямой	шипованные
3	городская	изогнутый	гладкие
4	городская	изогнутый	шипованные
5	горная	прямой	гладкие
6	горная	прямой	шипованные
7	горная	изогнутый	гладкие
8	горная	изогнутый	шипованные
9	складная	прямой	гладкие
10	складная	прямой	шипованные
11	складная	изогнутый	гладкие
12	складная	изогнутый	шипованные

·

3 · 2 · 2 = 12 вариантов.Правило умножения: число вариантов на каждом шаге перемножается, потому что от каждой ветви отходит одинаковый набор продолжений.

Убери один вид покрышек и посмотри, как меняется число листьев: не на единицу, а сразу на треть. Каталог обещал «более двадцати моделей» — а честный ответ равен $3\cdot2\cdot2=12$.

Когда работают оба правила

Из города A в город CРазбираем вместе

Из $A$ в $B$ ведут $3$ дороги, из $B$ в $C$ — ещё $4$. Кроме того, есть паромная переправа прямо из $A$ в $C$, и у неё $2$ рейса.

Маршруты через $B$ собираются по шагам: сначала одна из $3$ дорог, потом одна из $4$. Число вариантов на втором шаге одинаково для любой первой дороги, поэтому

$3\cdot4=12.$

Маршруты на пароме — отдельный набор из $2$ вариантов.

Наборы не пересекаются: маршрут либо идёт через $B$, либо не идёт. Значит, работает правило суммы:

$N=12+2=14.$

Общая схема почти всех задач главы: внутри случая умножаем, между случаями складываем.

Когда варианты «заканчиваются»

Правило произведения не требует, чтобы наборы на шагах были одинаковыми — оно требует, чтобы число вариантов на шаге было одинаковым.

Трёхзначные числа с различными цифрамиРазбираем вместе

Первую цифру нельзя брать нулевой: для неё $9$ вариантов ($1,\ldots,9$).

На вторую цифру годятся все $10$ цифр, кроме уже использованной, — это $9$ вариантов. Заметь: их ровно $9$ при любой первой цифре, поэтому умножать можно.

На третью цифру остаётся $10-2=8$ вариантов. Итого

$9\cdot9\cdot8=648.$

Для сравнения: если цифры разрешено повторять, ответ равен $9\cdot10\cdot10=900$ — это все трёхзначные числа. Разность $900-648=252$ — количество трёхзначных чисел, у которых хотя бы две цифры совпадают.

Проверка понимания

В библиотеке 6 книг по физике и 9 по биологии, все книги разные. Сколькими способами можно взять одну книгу по физике и одну по биологии?

• А. 15
• Б. 69
• В. 54

Типичная ошибка

! Сложили вместо умножения — или сложили пересекающиеся наборы

Первая ошибка. «$5$ салатов и $4$ супа — значит, $9$ обедов». Нет: союз «и» означает два шага выбора, поэтому обедов $5\cdot4=20$. Число $9$ отвечает на вопрос «сколько способов взять одно блюдо».

Вторая ошибка. «Среди $20$ учеников $12$ занимаются спортом, $9$ — музыкой; значит, увлечённых $12+9=21$». Число $21$ больше, чем весь класс, — сигнал, что наборы пересекаются. Тех, кто занят и тем и другим, посчитали дважды, и складывать напрямую нельзя.

Третья ошибка. Забыть, что варианты «заканчиваются»: посчитать трёхзначные числа с различными цифрами как $9\cdot10\cdot10$. После выбора первой цифры на вторую остаётся уже не $10$ вариантов, а $9$.

Проверка одна: скажи задачу словами. «Я делаю шаг, потом ещё шаг» — умножаю. «Я выбираю ровно из одной группы» — складываю, предварительно убедившись, что группы не пересекаются.

Практика

1. В меню $5$ салатов и $4$ супа. а) Сколькими способами взять одно блюдо? б) Сколькими способами взять салат и суп?
2. Кодовый замок состоит из $4$ окошек, в каждом любая цифра от $0$ до $9$. Сколько существует кодов?
3. Тот же замок, но все четыре цифры кода должны быть различны. Сколько кодов?
4. Сколько всего существует двузначных чисел?
5. Сколько трёхзначных чисел записывается различными цифрами?
6. Сколько существует трёхзначных чётных чисел?
7. Номер состоит из двух букв (используются $12$ букв) и трёх цифр. Сколько номеров можно выдать?
8. Из $A$ в $B$ ведут $3$ дороги, из $B$ в $C$ — $4$, а из $A$ в $C$ есть ещё $2$ прямых рейса. Сколько маршрутов из $A$ в $C$?
9. В классе $12$ юношей и $15$ девушек. а) Сколькими способами выбрать одного дежурного? б) Сколькими способами выбрать пару «юноша и девушка»?
10. Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых первая и последняя цифры совпадают?
11. Сколько трёхзначных чисел содержат хотя бы одну цифру $7$?
12. Объясни, почему в задаче 1б ответ нельзя получить сложением.

Ответы и пояснения

1. а) Наборы не пересекаются: $5+4=9$. б) Два шага выбора: $5\cdot4=20$.
2. $10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000$: первая цифра кода тоже может быть нулём.
3. $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$.
4. Первая цифра — $9$ вариантов, вторая — $10$: $9\cdot10=90$.
5. $9\cdot9\cdot8=648$.
6. Последняя цифра одна из $0,2,4,6,8$ — это $5$ вариантов; первая — $9$, средняя — $10$. Итого $9\cdot10\cdot5=450$.
7. $12\cdot12\cdot10\cdot10\cdot10=144\cdot1000=144\,000$.
8. Через $B$: $3\cdot4=12$; прямых: $2$. Наборы не пересекаются, поэтому $12+2=14$.
9. а) $12+15=27$. б) $12\cdot15=180$.
10. Первая цифра — $9$ вариантов, последняя повторяет её ($1$ вариант), две средние — по $10$: $9\cdot10\cdot10\cdot1=900$.
11. Проще через противоположный набор. Всего трёхзначных чисел $900$; без семёрок: первая цифра — $8$ вариантов ($1,\ldots,9$ без $7$), остальные — по $9$. Значит, $8\cdot9\cdot9=648$, и ответ равен $900-648=252$.
12. Сложение считает варианты выбора одного объекта из непересекающихся наборов. В задаче 1б берут два блюда сразу, то есть делают два шага, и наборы «салаты» и «супы» вообще не конкурируют друг с другом. Ответ $9$ соответствует другому вопросу.

Итог

• Правило суммы: выбор «одного из» непересекающихся наборов, числа складываются.
• Правило произведения: выбор по шагам, числа умножаются; число вариантов шага не должно зависеть от предыдущего выбора.
• В одной задаче правила обычно работают вместе: внутри случая умножаем, между случаями складываем.
• Если объекты нельзя повторять, число вариантов на каждом следующем шаге уменьшается на единицу.
• Проверка «больше, чем возможно» ловит пересекающиеся наборы: ответ не может превышать общее число объектов.

Дальше посмотрим на самый частый случай последовательного выбора без повторов — когда расставляют все объекты или несколько из них по местам. У этих чисел есть свои имена и формулы.

← Вход в тему · Дальше: перестановки и размещения →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным