6.3 Треугольники и четырёхугольники

6 класс · Геометрия◷ 45–55 минут◇ База + исследованиеНужно знать: измерение углов, параллельные и перпендикулярные прямые

Название фигуры — это короткая запись её свойств. Но одну и ту же фигуру можно классифицировать по разным признакам: у треугольника есть стороны и углы, а у четырёхугольника — ещё пары противоположных сторон и диагонали.

◎ После урока ты сможешь

• классифицировать треугольник независимо по сторонам и по углам
• проверять по неравенству треугольника, существует ли треугольник с данными сторонами
• распознавать прямоугольник и квадрат по свойствам, а не по наклону рисунка
• узнавать параллелограмм и видеть в нём прямоугольник, ромб и квадрат как частные случаи
• называть стороны, вершины и диагонали многоугольника
• проверять общее утверждение примером или контрпримером

Два паспорта треугольника

По сторонам в этой сортировке различаем:

• равносторонний — три равные стороны;
• равнобедренный — ровно две равные стороны;
• разносторонний — все три стороны различны.

Иногда используют включительную договорённость: «равнобедренный» означает не менее двух равных сторон, и тогда равносторонний треугольник считают его частным случаем. В этой лаборатории три ответа не пересекаются, поэтому слово «равнобедренный» означает ровно две равные стороны; в другой книге сначала проверь принятую договорённость.

По углам различаем остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Поэтому полное описание может состоять из двух слов: например, «равнобедренный прямоугольный».

◆ Признаки не заменяют друг друга

Слова «равнобедренный» и «тупоугольный» не конкурируют: первое сообщает о сторонах, второе — об углах. Сначала выбери основание классификации.

Углы и фигуры

Измеряй, строй и классифицируй

Чертёж даёт наблюдение, а свойства помогают назвать фигуру точно.

задача

Измерить уголПостроить уголТреугольникЧетырёхугольник

Пример 1 из 4Следующий треугольник

По сторонам

равностороннийравнобедренныйразносторонний

По углам

остроугольныйпрямоугольныйтупоугольный

Проверить обе классификации

?

Классифицируй треугольник двумя способами.Отдельно сравни стороны и определи вид углов.

↺ Вернуть пример

Одновременно два названияРазбираем вместе

У треугольного угольника две стороны измерены как равные, а один угол отмечен прямым. По сторонам такой треугольник равнобедренный, по углам — прямоугольный. Ни одно название не отменяет другое: они отвечают на разные вопросы.

Дотянутся ли стороны

Возьми три палочки: $2$ см, $3$ см и $10$ см. Сложи из них треугольник. Прежде чем читать дальше, реши для себя: получится или нет?

Положим длинную палочку на стол — это сторона $AB$ длиной $10$ см. Короткие палочки закрепим концами в точках $A$ и $B$ и будем поворачивать. Их свободные концы обходят две дуги, но дуги нигде не встречаются: вместе короткие палочки дают $2 + 3 = 5$ см, а покрыть между $A$ и $B$ надо $10$ см. Не хватает ровно $5$ см, и никакой поворот этого не исправит.

∴ Неравенство треугольника

В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других. Поэтому из трёх отрезков треугольник складывается только тогда, когда сумма двух коротких больше самого длинного: две оставшиеся проверки после этого выполняются сами собой.

Откуда берётся это правило? Из урока «Прямые и расстояния»: прямой путь короче любого обходного. Дорога из $A$ в $B$ через вершину $C$ — это ломаная из двух звеньев, а сторона $AB$ ведёт напрямую. Значит, $AC + CB > AB$ — и то же самое верно для каждой из трёх сторон.

Проверим правило на нескольких наборах. Каждый раз сравниваем сумму двух коротких сторон с самой длинной:

Стороны, см	Сумма двух коротких	Длинная сторона	Треугольник
$5$, $5$, $8$	$5 + 5 = 10$	$8$	есть: $10 > 8$
$6$, $7$, $12$	$6 + 7 = 13$	$12$	есть: $13 > 12$
$4$, $5$, $9$	$4 + 5 = 9$	$9$	нет: дотянулись ровно-ровно
$2$, $3$, $10$	$2 + 3 = 5$	$10$	нет: $5 < 10$

Набор $4$, $5$, $9$ — самый поучительный. Палочки дотягиваются друг до друга, но вершина $C$ ложится прямо на отрезок $AB$, и вместо треугольника получается отрезок. Поэтому в правиле стоит строгий знак «больше», а не «больше или равно».

Проверка понимания

Из какого набора палочек можно сложить треугольник?

• А. 4, 5 и 9 см
• Б. 5, 6 и 9 см
• В. 2, 3 и 10 см

Четырёхугольник и его диагонали

У четырёхугольника четыре стороны. Соседние вершины соединены сторонами, а несоседние — диагоналями. Диагональ не обязана быть стороной и не обязана иметь ту же длину, что другая диагональ.

У прямоугольника:

• все четыре угла прямые;
• противоположные стороны попарно параллельны и равны;
• диагонали равны и пересекаются в общей середине.

Квадрат обладает всеми этими свойствами и дополнительно имеет четыре равные стороны. Значит, каждый квадрат — прямоугольник, но прямоугольник с разными соседними сторонами не является квадратом.

Углы и фигуры

Измеряй, строй и классифицируй

Чертёж даёт наблюдение, а свойства помогают назвать фигуру точно.

задача

Измерить уголПостроить уголТреугольникЧетырёхугольник

Пример 1 из 4Следующий четырёхугольник

Как точнее назвать фигуру?

квадратпрямоугольникдругой четырёхугольникПроверить

?

Определи вид четырёхугольника.Проверь параллельность сторон и количество прямых углов.

↺ Вернуть пример

Поворот не меняет свойстваРазбираем вместе

Если квадрат повернуть на листе, его стороны перестанут выглядеть горизонтальными и вертикальными, но останутся равными, соседние стороны останутся перпендикулярными, а углы — прямыми. Ориентация страницы не входит в определение квадрата.

✦ Контрпример останавливает слово «всегда»

Чтобы опровергнуть утверждение «у всех четырёхугольников диагонали равны», достаточно построить один четырёхугольник с диагоналями разной длины. Проверка нескольких красивых прямоугольников не доказывает общее утверждение.

Проверка понимания

Какое утверждение верно для каждого квадрата?

• А. Он является прямоугольником с четырьмя равными сторонами
• Б. Любой прямоугольник является квадратом
• В. Его диагонали могут иметь разную длину

! «Все стороны равны» — ещё не квадрат

Из определения квадрата обычно запоминают самую заметную часть — четыре равные стороны — и по ней одной выносят приговор. Но такой четырёхугольник можно «завалить» набок, как раздвигают рамку: стороны останутся равными, а углы перестанут быть прямыми, и квадрата уже нет. Проверяй оба условия сразу: четыре равные стороны и четыре прямых угла; линейка отвечает за первое, угольник в каждой вершине — за второе.

Параллелограмм: семья четырёхугольников

«Заваленная» рамка из предыдущего блока — не безымянный брак, а полноправная фигура. Обрати внимание: когда рамку заваливают, противоположные стороны остаются параллельными — они же и были противоположными сторонами квадрата. Именно это свойство и берут за определение.

∴ Определение

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Измерь линейкой стороны любого параллелограмма — противоположные окажутся равными. Это не случайность одного чертежа, а свойство: его докажут в 7 классе через накрест лежащие углы. Пока достаточно проверить измерением.

Теперь знакомые фигуры выстраиваются в семью:

• прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые;
• ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны (та самая «заваленная» рамка);
• квадрат — параллелограмм, который одновременно прямоугольник и ромб.

Значит, каждый прямоугольник и каждый ромб — параллелограмм. Обратное неверно: у параллелограмма на чертеже углы не прямые, а соседние стороны $6$ см и $5$ см различны, поэтому он не прямоугольник и не ромб.

Диагонали помогают различать членов семьи. У любого параллелограмма они пересекаются в общей середине: точка $O$ делит пополам и $AC$, и $BD$. А вот равными диагонали бывают не всегда — измерь обе на чертеже и сравни. Равными они становятся ровно тогда, когда параллелограмм оказывается прямоугольником.

Практика

1. Классифицируй по сторонам треугольник со сторонами $5$, $5$ и $8$ см.
2. Классифицируй по сторонам треугольники $6,6,6$ и $4,5,6$.
3. Классифицируй по углам треугольник, углы которого измерены как $40°$, $60°$ и $80°$.
4. Классифицируй по углам треугольники с измерениями $25°,65°,90°$ и $30°,35°,115°$.
5. У треугольника две равные стороны и один прямой угол. Дай ему два независимых названия.
6. Назови две пары параллельных и четыре пары перпендикулярных сторон прямоугольника $ABCD$.
7. Прямоугольник имеет стороны $3$ см и $5$ см. Является ли он квадратом? Какие свойства квадрата ему всё же принадлежат?
8. Фигура имеет четыре прямых угла и четыре равные стороны. Как её назвать наиболее точно?
9. Может ли четырёхугольник только с одной парой параллельных сторон быть прямоугольником?
10. Проверь утверждение «у любого четырёхугольника диагонали равны» на фигуре с вершинами $(0;0)$, $(4;0)$, $(3;2)$, $(0;2)$, измерив диагонали по распечатанной сетке или цифровому чертежу.
11. Построй на нелинованной бумаге прямоугольник со сторонами $4$ см и $2$ см с помощью линейки и угольника. Какие измерения проверят результат?
12. Можно ли сложить треугольник из палочек $2$, $3$ и $10$ см? А из $5$, $5$ и $8$ см? А из $4$, $5$ и $9$ см?
13. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB = 7$ см и $BC = 4$ см. Найди $CD$, $AD$ и периметр. Обязан ли такой параллелограмм быть прямоугольником?

Ответы и пояснения

1. Равнобедренный: ровно две стороны равны.
2. Равносторонний; разносторонний.
3. Остроугольный: каждый измеренный угол меньше $90°$.
4. Прямоугольный; тупоугольный.
5. Равнобедренный по сторонам и прямоугольный по углам.
6. $AB\parallel CD$, $BC\parallel AD$; перпендикулярны соседние пары $AB$ и $BC$, $BC$ и $CD$, $CD$ и $DA$, $DA$ и $AB$.
7. Нет, соседние стороны различны. У него четыре прямых угла, попарно равные и параллельные противоположные стороны, равные диагонали.
8. Квадрат.
9. Нет. У прямоугольника две пары параллельных противоположных сторон.
10. Нет. На этой фигуре диагонали $AC$ и $BD$ имеют разные длины; это один достаточный контрпример.
11. Проверяем четыре прямых угла, длины соседних сторон $4$ и $2$ см, равенство противоположных сторон; дополнительная проверка — равенство диагоналей.
12. Нет: $2 + 3 = 5$, а это меньше $10$, короткие палочки не дотягиваются. Да: $5 + 5 = 10 > 8$. Нет: $4 + 5 = 9$ — ровно длина третьей палочки, вершина ложится на неё, и вместо треугольника получается отрезок.
13. $CD = AB = 7$ см и $AD = BC = 4$ см: у параллелограмма противоположные стороны равны. Периметр $2 \cdot (7 + 4) = 22$ см. Прямоугольником он быть не обязан: про углы ничего не сказано, а «заваленная» рамка со сторонами $7$ и $4$ см — тоже параллелограмм.

Итог

• Треугольник получает независимые названия по сторонам и по углам.
• Треугольник существует не из любых трёх отрезков: сумма двух коротких обязана быть больше самого длинного.
• Параллелограмм задаётся двумя парами параллельных сторон; прямоугольник, ромб и квадрат — его частные случаи.
• Квадрат — частный случай прямоугольника, а поворот рисунка не меняет свойства.
• Измерение помогает выдвинуть гипотезу; одно неверное для неё построение уже служит контрпримером.

← Углы и транспортир · Дальше: периметр и площадь →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным