4.1 Теорема косинусов

9 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: теорема Пифагора, тригонометрия острого угла, неравенство треугольника

Два прямых участка забора длиной $5$ м и $8$ м сходятся в одном столбе под углом $60°$. Какое расстояние между их дальними концами?

Теорема Пифагора не работает: угол не прямой. Тригонометрия острого угла тоже не работает: прямоугольного треугольника здесь нет вообще.

◎ После урока ты сможешь

• находить синус и косинус любого угла от 0° до 180° и объяснять знак косинуса
• применять формулы приведения sin(180° − α) = sin α и cos(180° − α) = −cos α
• находить третью сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними
• находить углы треугольника по трём сторонам и определять его вид

Прогноз до вычислений

Прежде чем считать, назови границы. Если бы участки забора вытянулись в одну прямую ($180°$), расстояние равнялось бы $5 + 8 = 13$ м. Если бы они сложились друг на друга ($0°$), осталось бы $8 - 5 = 3$ м.

Значит, ответ лежит строго между $3$ и $13$ — и это в точности неравенство треугольника из 6 класса: каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Запиши своё предположение для $60°$ — ближе к $3$ или ближе к $13$? — и проверь его в лаборатории.

Управляемый эксперимент

Задай две стороны $b = 5$ и $c = 8$, крути угол $A$ между ними и следи за третьей стороной $a$.

Лаборатория решения треугольников

Достроить треугольник по трём числам

Чертёж строится из данных, а не рисуется на глаз: длины и углы на картинке настоящие. Меняй набор данных и следи, какая теорема нужна первой.

исследование

Три стороныДве стороны и угол между нимиСторона и два угла

Сторона b = AC5 м

−+

От 3 до 15 м

Сторона c = AB8 м

−+

От 3 до 15 м

Угол A60°

−+

От 15° до 150°

△

Треугольник остроугольный: наибольший угол равен 81,8°.Стороны: a = 7, b = 5, c = 8 м. Углы: A = 60°, B = 38,2°, C = 81,8°. Площадь 17,32 м², радиус описанной окружности 4,04 м.

↺ Вернуть пример

Три наблюдения, которые стоит записать:

• при $A = 90°$ получается ровно $\sqrt{25 + 64} = \sqrt{89}$ — теорема Пифагора;
• при $A < 90°$ сторона $a$ короче этого значения;
• при $A > 90°$ сторона $a$ длиннее.

Значит, к сумме квадратов нужна поправка, и знак у поправки меняется в $90°$. Осталось понять, какая величина ведёт себя точно так же.

Синус и косинус углов от 0° до 180°

Такая величина есть — это косинус. Но чтобы говорить о косинусе тупого угла, определение из 8 класса (тригонометрия острого угла) нужно расширить: катетов у тупого угла нет.

«Расширить» здесь значит достроить, а не отменить. Отношения сторон остаются верными там, где они работали; мы лишь ищем для них такую замену, которая имеет смысл и при $\alpha > 90°$ — и на острых углах обязана давать те же самые числа.

Возьмём полуокружность радиуса $1$ с центром $O$ в начале координат. Отложим от положительного луча оси $x$ угол $\alpha$ и отметим точку $M$ пересечения его стороны с полуокружностью.

∴ Определение

Пусть точка $M$ на верхней полуокружности единичного радиуса отвечает углу $\alpha$, где $0° \le \alpha \le 180°$. Тогда

$\cos \alpha = x_M, \qquad \sin \alpha = y_M.$

Для острого угла это совпадает со старым определением: в прямоугольном треугольнике $OMH$ гипотенуза равна $1$, поэтому катеты равны $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$.

Точка $M$ всё время остаётся на верхней полуокружности, поэтому синус неотрицателен всегда:

$0 \le \sin \alpha \le 1.$

А первая координата меняет знак при переходе через вертикальную ось:

$\cos \alpha > 0 \text{ при } \alpha < 90°, \qquad \cos 90° = 0, \qquad \cos \alpha < 0 \text{ при } \alpha > 90°.$

Именно эта смена знака и объясняет то, что ты видел в лаборатории.

Формулы приведения

Точки, отвечающие углам $\alpha$ и $180° - \alpha$, симметричны относительно вертикальной оси. Симметрия сохраняет вторую координату и меняет знак первой:

∴ Смежные углы

$\sin(180° - \alpha) = \sin \alpha, \qquad \cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha.$

Отсюда вся таблица тупых углов получается из таблицы острых:

$\alpha$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$
$\sin \alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

Строка синусов симметрична относительно $90°$, строка косинусов — антисимметрична. Основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ сохраняется: это просто уравнение единичной окружности $x^2 + y^2 = 1$.

◆ Полуокружность — половина будущей картинки

Мы взяли только верхнюю половину окружности, и не по лени: углы треугольника всё равно не выходят за $180°$. В 10 классе окружность замкнут целиком и разрешат любой угол поворота — отрицательный, больший оборота, какой угодно. Определение там будет сказано теми же словами: косинус — абсцисса точки, синус — ордината (единичная окружность). Это третий и последний шаг цепочки «отношения сторон → полуокружность → окружность»: на общей части, от $0°$ до $180°$, новое определение даст в точности сегодняшние значения, включая всю таблицу выше.

Теорема косинусов

∴ Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A.$

Аналогично $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ и $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

Обрати внимание на устройство формулы: слева — сторона, противолежащая углу $A$; справа — две стороны, образующие этот угол. Перепутать невозможно, если каждый раз проговаривать это вслух.

При $A = 90°$ косинус равен нулю, поправка исчезает и остаётся $a^2 = b^2 + c^2$. Теорема Пифагора — частный случай.

Забор из двух участковРазбираем вместе

Даны $b = 5$ м, $c = 8$ м, $A = 60°$. Тогда

$a^2 = 5^2 + 8^2 - 2\cdot5\cdot8\cdot\cos 60° = 25 + 64 - 80\cdot\frac{1}{2} = 89 - 40 = 49,$

поэтому $a = 7$ м.

Проверка прогноза: $3 < 7 < 13$ — да, и ближе к середине. Проверка знака: угол острый, косинус положителен, поправка вычиталась, и результат оказался меньше $\sqrt{89} \approx 9{,}43$. Сходится.

Тот же приём при тупом углеРазбираем вместе

Пусть $b = 3$, $c = 7$, $A = 120°$. Косинус тупого угла отрицателен: $\cos 120° = -\dfrac{1}{2}$. Минус на минус даёт плюс:

$a^2 = 9 + 49 - 2\cdot3\cdot7\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = 58 + 21 = 79,$

значит $a = \sqrt{79} \approx 8{,}89$.

Сравни: при $A = 90°$ получилось бы $\sqrt{58} \approx 7{,}62$. Тупой угол «раздвигает» концы сторон — сторона $a$ вышла длиннее.

Обратный ход: три стороны дают углы

Формулу можно решить относительно косинуса. Из $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ получаем

∴ Косинус по трём сторонам

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.$

Знак этой дроби целиком определяется числителем — и сразу называет вид угла. Достаточно применить правило к наибольшей стороне: только против неё может лежать неострый угол.

• $a^2 < b^2 + c^2$ — угол $A$ острый, треугольник остроугольный;
• $a^2 = b^2 + c^2$ — угол $A$ прямой (это обратная теорема Пифагора);
• $a^2 > b^2 + c^2$ — угол $A$ тупой, треугольник тупоугольный.

Вид треугольника со сторонами 7, 8 и 9Разбираем вместе

Наибольшая сторона равна $9$; найдём косинус противолежащего ей угла:

$\cos A = \frac{7^2 + 8^2 - 9^2}{2\cdot7\cdot8} = \frac{49 + 64 - 81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7} \approx 0{,}286.$

Косинус положителен, поэтому наибольший угол острый: $A \approx 73{,}4°$. Треугольник остроугольный.

А вот у сторон $5$, $6$, $10$ картина другая:

$\cos A = \frac{25 + 36 - 100}{2\cdot5\cdot6} = \frac{-39}{60} = -0{,}65,$

косинус отрицателен, $A \approx 130{,}5°$ — треугольник тупоугольный.

Проверка понимания

В треугольнике b = 4, c = 6, а угол между ними равен 120°. Чему равна сторона a?

• А. √28 ≈ 5,29
• Б. √52 ≈ 7,21
• В. √76 ≈ 8,72

! Три места, где теряют задачу

Теряют минус у косинуса тупого угла. Запись $-2bc\cos A$ при $\cos A < 0$ означает прибавление. Полезная проверка: против тупого угла лежит самая длинная сторона, и она обязана оказаться длиннее, чем $\sqrt{b^2 + c^2}$.

Берут угол не между данными сторонами. В формуле $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ угол $A$ образован именно сторонами $b$ и $c$. Если известен другой угол, теорема косинусов сразу не применяется — понадобится теорема синусов из следующего урока.

Забывают извлечь корень. Формула даёт $a^2$, а не $a$. Ответ «$a = 49$» вместо «$a = 7$» — самая частая потеря балла.

Практика

1. Найди $\sin 150°$ и $\cos 150°$.
2. Найди $\sin 135°$ и $\cos 135°$.
3. В треугольнике $b = 6$, $c = 10$, угол между ними равен $60°$. Найди $a$.
4. В треугольнике $b = 3$, $c = 8$, угол между ними равен $120°$. Найди $a$.
5. Стороны треугольника равны $7$, $8$, $9$. Найди косинус наибольшего угла.
6. Определи вид треугольника со сторонами $5$, $6$, $10$.
7. Определи вид треугольника со сторонами $6$, $8$, $10$.
8. Две стороны равны по $5$, угол между ними прямой. Найди третью сторону.
9. Стороны параллелограмма равны $5$ и $8$, острый угол — $60°$. Найди обе диагонали.
10. Две стороны треугольника равны $4$ и $5$. При какой третьей стороне угол против неё будет прямым?

Ответы и пояснения

1. $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$; $\cos 150° = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}87$.
2. $\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$; $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}71$.
3. $a^2 = 36 + 100 - 2\cdot6\cdot10\cdot\dfrac{1}{2} = 136 - 60 = 76$; $a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72$.
4. $a^2 = 9 + 64 + 2\cdot3\cdot8\cdot\dfrac{1}{2} = 73 + 24 = 97$; $a = \sqrt{97} \approx 9{,}85$.
5. $\cos A = \dfrac{49 + 64 - 81}{112} = \dfrac{32}{112} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}286$, откуда $A \approx 73{,}4°$.
6. $10^2 = 100$, а $5^2 + 6^2 = 61$. Так как $100 > 61$, треугольник тупоугольный; наибольший угол $\approx 130{,}5°$.
7. $10^2 = 100 = 36 + 64$ — прямоугольный.
8. $a^2 = 25 + 25 - 0 = 50$; $a = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.
9. Против угла $60°$: $d_1^2 = 25 + 64 - 40 = 49$, $d_1 = 7$. Против смежного угла $120°$: $d_2^2 = 25 + 64 + 40 = 129$, $d_2 = \sqrt{129} \approx 11{,}36$. Проверка: $49 + 129 = 178 = 2(25 + 64)$ — сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.
10. Нужно $x^2 = 16 + 25 = 41$, то есть $x = \sqrt{41} \approx 6{,}40$.

Итог

• Синус и косинус определены для всех углов от $0°$ до $180°$ как координаты точки на единичной полуокружности.
• Синус неотрицателен всюду; косинус положителен до $90°$, равен нулю в $90°$ и отрицателен после.
• $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.
• Теорема косинусов $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ даёт третью сторону по двум сторонам и углу между ними и содержит теорему Пифагора как случай $A = 90°$.
• Обратный ход $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ даёт углы по трём сторонам, а знак дроби сразу называет вид треугольника.

Теорема косинусов справляется с наборами «три стороны» и «две стороны и угол между ними». Но если известны сторона и два угла, она бесполезна: в формуле слишком много неизвестных. Для этого случая нужна вторая теорема — о ней следующий урок.

← Вход в тему · Дальше: теорема синусов →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным