5.5 Практикум: цех, кровля и опора

11 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 5.1–5.4

Проектируется производственный цех: прямоугольная коробка $12\times9\times8$ м, две диагональные балки под потолком, наклонная кровельная панель и треугольная опора снаружи. Все вопросы монтажников звучат одинаково: «сколько метров?» и «под каким углом?».

Одна расстановка координат — и весь список закрывается вычислениями. Классические построения оставим для проверки: каждый ответ здесь можно перепроверить вторым способом, и это стоит делать.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать удачную систему координат для реальной конструкции
• связывать вопрос монтажника с нужной формулой координатного метода
• проверять полученное число вторым способом и оценивать его правдоподобие
• называть границы применимости своей модели

Общая система координат

Ставим начало в нижний угол цеха: $A(0;0;0)$, ось $Ox$ — вдоль длины $12$ м, ось $Oy$ — вдоль ширины $9$ м, ось $Oz$ — вверх на высоту $8$ м.

Тогда пол задают точки $A(0;0;0)$, $B(12;0;0)$, $C(12;9;0)$, $D(0;9;0)$, а потолок — те же четыре точки с $z=8$: $A_1(0;0;8)$, $B_1(12;0;8)$, $C_1(12;9;8)$, $D_1(0;9;8)$.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или округлённое и какое допущение модели использовано. Число без такого паспорта невозможно проверить — и на стройке оно бесполезно.

Станция 1. Габариты и диагональ

Первое, что спрашивают: какой длины должна быть диагональная растяжка из угла $A$ в противоположный угол $C_1$?

Диагональ цехаРазбираем вместе

$\vec{AC_1}=(12;9;8)$, поэтому

$AC_1=\sqrt{144+81+64}=\sqrt{289}=17.$

Ровно $17$ м — редкая удача, корень извлёкся нацело.

Проверка классикой: диагональ пола $AC=\sqrt{144+81}=15$, а дальше прямоугольный треугольник $ACC_1$ с катетами $15$ и $8$ даёт $\sqrt{225+64}=17$. Сошлось.

Потренируйся на модели меньшего тела: метод и формулы те же, отличаются только числа.

Лаборатория векторов в пространстве

Вектор по двум точкам тела

Начало координат стоит в вершине A, оси направлены по рёбрам AB, AD и AA₁. Выбирай точки — координаты и длина пересчитываются по формулам, а не измеряются по рисунку.

|a| = √(x² + y² + z²)

Ребро AB 4 м

Ребро AD 3 м

Ребро AA₁ 6 м

Начало векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Конец векторавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная и честная: экранные координаты получены скалярным умножением точки на два вектора картинной плоскости. Поэтому на рисунке углы и длины искажены — доверять нужно вычислениям в координатах.

Моя длина AC₁, мПроверить

?

Вектор AC₁ в теле с рёбрами 4, 3 и 6 м.Запиши координаты вектора, найди его длину и введи ответ с точностью до 0,01.

↺ Вернуть пример

Станция 2. Две балки под потолком

Под потолком идут балки $AC_1$ и $BD_1$. Монтажник спрашивает: они перпендикулярны?

Почти прямой угол — это не прямой уголРазбираем вместе

$\vec{AC_1}=(12;9;8)$ и $\vec{BD_1}=(0;9;8)-(12;0;0)=(-12;9;8)$.

Скалярное произведение: $-144+81+64=1$.

Оно не равно нулю, значит перпендикулярности нет. Длины обеих балок равны $17$, поэтому

$\cos\alpha=\frac{|1|}{17\cdot17}=\frac{1}{289}\approx0{,}00346,$

откуда $\alpha\approx89{,}8°$.

Отклонение от прямого угла — около двух десятых градуса. На чертеже его не увидеть никогда, а на длине $17$ м это уже несколько сантиметров расхождения.

Для сравнения: в кубе те же две диагонали дают $\cos\alpha=\tfrac13$ и угол $\approx70{,}5°$. Значит «почти $90°$» — свойство именно этих пропорций $12:9:8$, а не диагоналей вообще.

Лаборатория векторов в пространстве

Скалярное произведение в теле

Начало координат стоит в вершине A, оси направлены по рёбрам AB, AD и AA₁. Выбирай точки — координаты и угол пересчитываются по формулам, а не измеряются по рисунку.

a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ребро AB 4 м

Ребро AD 3 м

Ребро AA₁ 6 м

Первый вектор: началовершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Первый вектор: конецвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Второй вектор: началовершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Второй вектор: конецвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная и честная: экранные координаты получены скалярным умножением точки на два вектора картинной плоскости. Поэтому на рисунке углы и длины искажены — доверять нужно вычислениям в координатах.

Мой угол между AC₁ и BD₁, градусыПроверить

?

Векторы AC₁ и BD₁.Найди скалярное произведение, затем угол между векторами. Ответ вводи в градусах с точностью до 0,1.

↺ Вернуть пример

Станция 3. Наклонная кровельная панель

Панель проходит через три точки: $B(12;0;0)$, $D(0;9;0)$ и $A_1(0;0;8)$ — она срезает угол цеха у вершины $A$.

Уравнение панели и расстояние до неёРазбираем вместе

Подставляем три точки в $ax+by+cz+d=0$.

Из $B$: $12a+d=0$. Из $D$: $9b+d=0$. Из $A_1$: $8c+d=0$.

Возьмём $d=-72$ (общее кратное чисел $12$, $9$ и $8$): тогда $a=6$, $b=8$, $c=9$, и уравнение панели

$6x+8y+9z-72=0.$

Нормаль $\vec n(6;8;9)$, её длина $\sqrt{36+64+81}=\sqrt{181}\approx13{,}45$.

Расстояние от угла $A(0;0;0)$:

$\rho(A)=\frac{|-72|}{\sqrt{181}}\approx5{,}35\ \text{м}.$

Угол панели с полом (нормаль пола $(0;0;1)$):

$\cos\psi=\frac{9}{\sqrt{181}}\approx0{,}669,$

то есть $\psi\approx48{,}0°$.

Лаборатория плоскостей в координатах

Уравнение плоскости и расстояние до неё

Через три выбранные точки тела проходит единственная плоскость. Лаборатория составляет её уравнение, показывает нормаль и опускает перпендикуляр из четвёртой точки — всё это счётом по координатам, а не по чертежу.

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| : √(a² + b² + c²)

Ребро AB 4 м

Ребро AD 3 м

Ребро AA₁ 6 м

Плоскость: первая точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Плоскость: вторая точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Плоскость: третья точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Точка, до которой меряемвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная: перпендикуляр к плоскости почти никогда не выглядит на рисунке прямым углом. Прямой угол здесь — результат вычисления, а не картинки.

Моё расстояние от A до плоскости BDA₁, мПроверить

?

Плоскость BDA₁ и точка A.Составь уравнение плоскости, подставь координаты точки и раздели модуль результата на длину нормали. Ответ вводи с точностью до 0,01.

↺ Вернуть пример

✦ Знак левой части — это сторона

Подставив точку в левую часть уравнения плоскости, смотри не только на модуль, но и на знак. Для панели $6x+8y+9z-72$ угол $A(0;0;0)$ даёт $-72$, а центр потолка $(6;4{,}5;8)$ даёт $+72$: точки лежат по разные стороны от панели и удалены от неё одинаково. Одинаковые знаки означают одну сторону — так проверяют, не режет ли плоскость нужный отсек.

Станция 4. Треугольная опора

Снаружи стоит правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$: сторона основания $6$ м, боковое ребро $8$ м. Координаты для неё удобно взять свои: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$, а верхние вершины — те же точки с $z=8$.

Угол между диагоналями соседних граней опорыРазбираем вместе

$\vec{AB_1}=(6;0;8)$ и $\vec{BC_1}=(3;3\sqrt3;8)-(6;0;0)=(-3;3\sqrt3;8)$.

Произведение: $-18+0+64=46$.

Длины: $|\vec{AB_1}|=\sqrt{36+64}=10$ и $|\vec{BC_1}|=\sqrt{9+27+64}=\sqrt{100}=10$.

$\cos\alpha=\frac{46}{100}=0{,}46,$

значит $\alpha\approx62{,}6°$.

Обе диагонали получились ровно по $10$ м — удобно и для заказа материала, и для проверки: одинаковые грани обязаны давать одинаковые диагонали.

Проверка понимания

Нужно узнать, лежат ли датчик и точка крепления по одну сторону от кровельной панели. Что для этого достаточно сделать?

• А. Сравнить расстояния до панели
• Б. Подставить обе точки в левую часть уравнения и сравнить знаки
• В. Проверить, перпендикулярна ли панель полу

Итоговый набор задач

Задачи 1–10 — о цехе $12\times9\times8$ м с описанной выше системой координат. Задачи 11–13 — об опоре.

1. Выпиши координаты всех восьми углов цеха.
2. Найди длину диагональной растяжки $AC_1$.
3. Найди координаты центра цеха и его расстояние до пола.
4. Найди угол между балками $AC_1$ и $BD_1$ с точностью до $0{,}1°$.
5. Составь уравнение кровельной панели через $B$, $D$ и $A_1$.
6. Найди расстояние от угла $A$ до панели с точностью до сантиметра.
7. Найди расстояние от угла $C_1$ до панели. Почему сумма ответов задач 6 и 7 не равна $17$?
8. Найди угол между панелью и полом.
9. Найди угол между растяжкой $AC_1$ и панелью.
10. Датчик висит в центре потолка. По одну ли сторону от панели находятся датчик и угол $A$?
11. Найди угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ опоры.
12. Найди расстояние от ребра $AA_1$ до плоскости противоположной грани $BCC_1B_1$.
13. Найди угол между прямой $AB_1$ и плоскостью основания опоры.

Ответы, модели и проверки

1. Пол: $A(0;0;0)$, $B(12;0;0)$, $C(12;9;0)$, $D(0;9;0)$. Потолок: $A_1(0;0;8)$, $B_1(12;0;8)$, $C_1(12;9;8)$, $D_1(0;9;8)$.
2. $AC_1=\sqrt{144+81+64}=\sqrt{289}=17$ м. Проверка: диагональ пола $15$ м, далее $\sqrt{15^2+8^2}=17$.
3. Центр — середина $AC_1$, то есть $(6;4{,}5;4)$; до пола $4$ м, ровно половина высоты.
4. $\vec{AC_1}=(12;9;8)$, $\vec{BD_1}=(-12;9;8)$; произведение $-144+81+64=1$, длины по $17$; $\cos\alpha=\dfrac{1}{289}$ и $\alpha\approx89{,}8°$. Перпендикулярности нет.
5. Из $12a+d=0$, $9b+d=0$, $8c+d=0$ при $d=-72$ получаем $6x+8y+9z-72=0$.
6. $\rho(A)=\dfrac{72}{\sqrt{181}}\approx5{,}35$ м.
7. $\rho(C_1)=\dfrac{|72+72+72-72|}{\sqrt{181}}=\dfrac{144}{\sqrt{181}}\approx10{,}70$ м. Сумма $\approx16{,}06$ м меньше $17$: диагональ $AC_1$ не перпендикулярна панели, ведь $(12;9;8)$ и нормаль $(6;8;9)$ не коллинеарны. В кубе такая сумма совпала бы с диагональю, здесь — нет.
8. Нормали $(6;8;9)$ и $(0;0;1)$: $\cos\psi=\dfrac{9}{\sqrt{181}}\approx0{,}669$, поэтому $\psi\approx48{,}0°$.
9. $\sin\varphi=\dfrac{|6\cdot12+8\cdot9+9\cdot8|}{17\sqrt{181}}=\dfrac{216}{17\sqrt{181}}\approx0{,}944$, поэтому $\varphi\approx70{,}8°$.
10. Центр потолка — точка $(6;4{,}5;8)$. Левая часть в ней: $36+36+72-72=72$, а в точке $A$: $-72$. Знаки разные, значит точки по разные стороны, хотя расстояния совпадают и равны $\approx5{,}35$ м.
11. $\vec{AB_1}=(6;0;8)$, $\vec{BC_1}=(-3;3\sqrt3;8)$; произведение $46$, длины по $10$; $\cos\alpha=0{,}46$ и $\alpha\approx62{,}6°$.
12. Ребро $AA_1$ параллельно плоскости $BCC_1B_1$, поэтому расстояние равно расстоянию от $A$ до неё. Плоскость через $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$, $B_1(6;0;8)$ имеет уравнение $\sqrt3\,x+y-6\sqrt3=0$ с нормалью длины $2$; отсюда $\rho=\dfrac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}20$ м. Проверка: это высота равностороннего треугольника со стороной $6$, то есть $\dfrac{6\sqrt3}{2}$.
13. Нормаль основания $(0;0;1)$, вектор $\vec{AB_1}=(6;0;8)$ длины $10$; $\sin\varphi=\dfrac{8}{10}=0{,}8$, поэтому $\varphi\approx53{,}1°$. Проверка классикой: проекция $AB_1$ на основание — это $AB=6$, и $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{8}{6}$, тот же угол.

Рефлексия проекта

1. Где ответ получился точным, а где потребовал округления? Почему $17$ м точно, а $5{,}35$ м — нет?
2. Какую задачу ты проверил вторым, «чертёжным» способом? Совпали ли ответы?
3. В какой задаче координатный метод оказался явно быстрее классического построения, а в какой — наоборот?
4. Чего не учитывает модель цеха?

Возможные ответы: точны те результаты, где корень извлекается нацело ($17$ м, $10$ м, диагональ пола $15$ м), приближены все, где в знаменателе оказался $\sqrt{181}$ или где угол выражается через арккосинус; расстояние от $A$ до панели и угол диагонали с полом легко проверяются старым способом; координатный метод сильно выигрывает в задачах 6, 7 и 9, а в задаче 12 классическое решение через высоту треугольника даже короче; модель не учитывает толщину стен и панели, прогиб балок, температурные зазоры и погрешность разметки.

✦ Мост дальше

Координатный метод не отменяет геометрию — он даёт второй язык для тех же фактов. В задачах, где перпендикуляр строится за одну строку, классика короче; там, где нужно бы строить сечение и доказывать перпендикулярность, побеждают координаты. Сильное решение обычно выглядит так: считаем координатами, а проверяем чертежом — или наоборот.

← Углы и расстояния · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным