7.2 Круговые диаграммы

6 класс · Данные◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: обыкновенные дроби, проценты, градусная мера угла, транспортир

В сутках $24$ часа. Ты записал, куда они уходят: сон — $9$ ч, школа — $7$ ч, уроки дома — $4$ ч, кружок — $2$ ч, свободное время — $2$ ч.

Столбчатая диаграмма ответит, чего больше. Но настоящий вопрос другой: какую часть суток занимает каждое дело? Для доли целого нужна другая картинка — круг.

◎ После урока ты сможешь

• находить долю категории как обыкновенную дробь и как процент
• вычислять центральный угол сектора по формуле «доля · 360°»
• строить круговую диаграмму и проверять её по сумме углов
• выбирать между столбчатой и круговой диаграммой по типу вопроса

Прогноз

Сон занимает $9$ часов из $24$. Больше это или меньше половины круга? Больше или меньше трети? Прикинь на глаз, какой угол получится: острый, тупой или больше развёрнутого.

От доли к углу

Полный круг — это целое, и в нём $360°$. Если категория занимает долю $\tfrac{a}{b}$ целого, то её сектору достаётся такая же доля градусов:

$\alpha=\frac{a}{b}\cdot360°.$

Никакого «на глаз»: угол считается, а потом откладывается транспортиром.

Лаборатория данных

Круг делится на доли

Каждый сектор получает свой угол: доля от целого, умноженная на 360°.

доля · 360°

Строка 1

Занятие

Часов 9Целое от 0 до 999, ч.

Строка 2

Занятие

Часов 7Целое от 0 до 999, ч.

Строка 3

Занятие

Часов 4Целое от 0 до 999, ч.

Строка 4

Занятие

Часов 2Целое от 0 до 999, ч.

Строка 5

Занятие

Часов 2Целое от 0 до 999, ч.

Добавить строкуУбрать последнююСбросить пример

Таблица долей: значение, доля от целого, процент и угол сектора

Занятие	Часов, ч	Доля	Процент	Угол сектора
Сон	9	3/8	37,5%	135°
Школа	7	7/24	29,2%	105°
Уроки дома	4	1/6	16,7%	60°
Кружок	2	1/12	8,3%	30°
Свободное	2	1/12	8,3%	30°
Всего	24	1	100%	360°

◔

Целое равно 24 ч; сектор «Сон» получает 135°.Угол каждого сектора равен доле категории, умноженной на 360°; сумма всех углов всегда даёт полный круг.

∴ Три записи одной доли

Для части $a$ от целого $b$ верны сразу три равносильные записи:

$\text{доля}=\frac{a}{b},\qquad \text{процент}=\frac{a}{b}\cdot100\%,\qquad \text{угол сектора}=\frac{a}{b}\cdot360°.$

Сумма всех долей равна $1$, сумма процентов — $100\%$, сумма углов — $360°$. Любое из этих трёх равенств годится как проверка построения.

Сутки по секторамРазбираем вместе

Целое — это $24$ часа. Считаем долю и угол для сна:

$\frac{9}{24}=\frac{3}{8},\qquad \alpha=\frac{3}{8}\cdot360°=3\cdot45°=135°.$

Заметь удобный приём: $360:24=15$, поэтому каждому часу достаётся ровно $15°$. Дальше углы считаются в уме:

$9\cdot15°=135°,\quad 7\cdot15°=105°,\quad 4\cdot15°=60°,\quad 2\cdot15°=30°,\quad 2\cdot15°=30°.$

Проверка: $135+105+60+30+30=360$. Круг закрылся полностью, значит ни одного часа не потеряно.

В процентах: $\tfrac{3}{8}=0{,}375=37{,}5\%$ — сон занимает чуть больше трети суток.

Подробнее о переводе долей в проценты — в уроке «Проценты».

Проверка понимания

Сектор занимает 3/8 круга. Чему равен его центральный угол?

• А. 45°
• Б. 135°
• В. 37,5°

Как построить круговую диаграмму

1. Найди целое — сумму всех значений.
2. Для каждой категории посчитай угол по формуле $\alpha=\dfrac{a}{b}\cdot360°$.
3. Сложи все углы: должно получиться ровно $360°$.
4. Проведи радиус, отложи первый угол транспортиром, от новой границы — следующий, и так по кругу.
5. Подпиши секторы и укажи целое: «всего $24$ ч», «всего $25$ человек».

! Сравнивают секторы из разных кругов

На одной диаграмме сектор «спорт» занимает $30\%$, на другой — $20\%$. Кажется, что в первом случае людей больше. Но в первом опросе участвовали $20$ человек, а во втором — $100$:

$0{,}3\cdot20=6,\qquad 0{,}2\cdot100=20.$

Проценты сравнивать можно только внутри одного целого. Как только целые разные, возвращайся к абсолютным числам.

Когда круг, а когда столбики

• Круговая диаграмма отвечает на вопрос «какая часть от целого». Она хороша, когда категорий немного ($3$–$6$) и они вместе составляют ровно целое.
• Столбчатая диаграмма отвечает на вопрос «где больше и на сколько». Она справляется и с пятнадцатью категориями, и с величинами, которые не складываются в целое (например, температура по дням).

Практика

1. Целое равно $24$, часть равна $9$. Найди угол сектора.
2. Часть составляет $25\%$ целого. Чему равен угол её сектора?
3. Сектор занимает $\tfrac16$ круга. Найди его угол и долю в процентах.
4. Угол сектора равен $72°$. Какую долю круга он занимает и сколько это процентов?
5. Из $200$ голосов $80$ отдали за первый проект. Найди угол сектора и процент.
6. На диаграмме четыре сектора: $120°$, $90°$, $60°$, $45°$. Найди угол пятого сектора.
7. Ученик сложил все углы своей диаграммы и получил $358°$. О чём это говорит?
8. Сектор «спорт» занимает больше половины круга. Что можно сразу сказать о его доле?
9. В библиотеке $40$ книг: фантастика — $10$, приключения — $14$, наука — $6$, остальные — прочее. Сколько книг в разделе «прочее» и какой у него угол?
10. Почему круговая диаграмма — плохой выбор, если категорий пятнадцать?

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{9}{24}\cdot360°=\dfrac38\cdot360°=135°$.
2. $0{,}25\cdot360°=90°$.
3. $\dfrac16\cdot360°=60°$; в процентах $\dfrac16\approx0{,}1667$, то есть $\approx16{,}7\%$.
4. $\dfrac{72}{360}=\dfrac15$, то есть $20\%$.
5. $\dfrac{80}{200}=\dfrac25$; угол $\dfrac25\cdot360°=144°$, процент $40\%$.
6. $360°-(120°+90°+60°+45°)=360°-315°=45°$.
7. Где-то ошибка: сумма углов всех секторов обязана быть ровно $360°$. Скорее всего, углы округляли или потеряли одну категорию.
8. Больше половины круга — это больше $180°$, то есть доля больше $\tfrac12$, или больше $50\%$.
9. $40-(10+14+6)=40-30=10$ книг; угол $\dfrac{10}{40}\cdot360°=\dfrac14\cdot360°=90°$.
10. Секторы станут очень узкими: их трудно различить, подписать и сравнить между собой. Для пятнадцати категорий удобнее столбчатая диаграмма.

Итог

• Круговая диаграмма показывает доли целого; целое — это весь круг, то есть $360°$.
• Угол сектора равен доле, умноженной на $360°$; сумма всех углов служит проверкой.
• Одна и та же доля записывается дробью, процентом и градусами — это три языка для одного числа.
• Проценты из разных целых сравнивать нельзя. А чтобы свернуть весь ряд данных в одно число, нужен другой инструмент — среднее арифметическое.

← Таблицы и столбчатые диаграммы · Дальше: среднее арифметическое →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным