4.6 Практикум: технические условия

8 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 4.1–4.5

Школьная теплица получила паспорт: температура от $18$ до $25$ градусов, длина грядки не меньше $15$ и не больше $60$ дециметров, бюджет на автополив — $1000$ рублей. Ни одно из этих требований не задано равенством, зато каждое проверяется одним неравенством.

Плюс к этому надо понимать, как устроены сами зависимости: время полива и расход воды связаны не по прямой.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать модель по вопросу: равенство, неравенство, система или оценка
• связывать формулу, график, промежуток и рисунок на координатной прямой
• проверять ответ подстановкой и объяснять роль граничных значений
• называть ограничения своей модели

Станция 1. Форма зависимости

Расход воды на грядку постоянен, а время полива зависит от напора: чем сильнее напор, тем меньше времени. Узнай семейство по графику и найди коэффициент.

Галерея графиков

Узнай функцию по её графику

Сетка честная: одна клетка — одна единица по каждой оси. Сначала прочитай ответ по рисунку, потом нажми «Проверить».

y = ?

График № 1 из 7Следующий график

Моё семейство функции

Обратная пропорциональностьКвадратичная функцияКвадратный кореньМодуль

Мой k — значение функции при x = 1

Проверить

?

Назови семейство функции и коэффициент k.Подсказка одна на все четыре формулы: k равен значению функции при x = 1.

↺ Вернуть пример

Почему это гипербола, а не прямаяРазбираем вместе

Пусть объём воды равен $60$ литрам, а напор — $x$ литров в минуту. Тогда время $t=\dfrac{60}{x}$ минут.

При $x=24$: $t=2{,}5$ мин. При $x=40$: $t=1{,}5$ мин.

Напор вырос примерно в $1{,}67$ раза, а время уменьшилось во столько же раз: произведение $x\cdot t=60$ остаётся постоянным. Это признак обратной пропорциональности, а не линейной зависимости.

Станция 2. Промежуток допуска

Грядку размечают вдоль стены, а отсчёт ведут от опорной стойки: влево координаты отрицательные, вправо — положительные. Разрешённая зона — от $-1$ м включительно до $6$ м, причём саму отметку $6$ занимать нельзя. Собери этот промежуток и посмотри, как одно и то же множество выглядит в трёх записях.

Лаборатория неравенств

Собери промежуток и прочитай его запись

Меняй границы и их включённость. Следи за тремя записями одного и того же множества: рисунок, скобки, неравенство.

[−1; 6)

Левая граница −1

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Правая граница 6

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Левый конец: включена

[ включена( не включена−∞

Правый конец: не включена

] включена) не включена+∞

↔

[−1; 6) — это полуинтервал.Условие на число: −1 ⩽ x < 6. Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.

↺ Вернуть пример

Станция 3. Два условия сразу

Автоматика включается, если выполняются оба технических условия. Найди, при каких значениях параметра система работает.

Лаборатория неравенств

Система: где два условия выполняются одновременно

Каждое неравенство даёт свою часть прямой. Ответ системы — то, что закрашено дважды.

система

Первое неравенство

Коэффициент при x слева 4

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева −3

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: ⩾ — больше или равно

<⩽>⩾

Число справа 5

−+

От −10 до 10, шаг 1

Второе неравенство

Коэффициент при x слева −1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева 2

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: > — больше

<⩽>⩾

Число справа −4

−+

От −10 до 10, шаг 1

Три множества: два условия и их общая часть

Неравенство	Решение	Название
4x − 3 ⩾ 5	[2; +∞)	числовой луч
−x + 2 > −4	(−∞; 6)	открытый числовой луч
Система	[2; 6)	полуинтервал

∩

Ответ системы: [2; 6).Первое неравенство даёт [2; +∞), второе — (−∞; 6). Решение системы — общая часть.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт ответа

Рядом с каждым числом или промежутком запиши: что он описывает, точный он или это оценка, входят ли границы и какое условие реальной задачи ты отбросил. Промежуток без такого паспорта легко перепутать с соседним.

Проверка понимания

Бюджет не должен быть превышен: стоимость 250 + 90x рублей, в кассе 1000 рублей. Какая модель отвечает условию?

• А. 250 + 90x = 1000
• Б. 250 + 90x < 1000
• В. 250 + 90x ⩽ 1000

Итоговый набор задач

1. Время полива задано формулой $t=\dfrac{60}{x}$, где $x$ — напор в литрах в минуту. Найди $t$ при $x=24$ и при $x=40$.
2. График некоторой функции проходит через точки $(1;3)$, $(2;12)$ и $(-2;12)$. К какому семейству он относится и какова его формула?
3. Запиши промежутком область определения функции $y=\sqrt{x}$.
4. Запиши промежутком условие «температура не ниже $18$ и не выше $25$ градусов».
5. Найди пересечение промежутков $[18;\ 25]$ и $(20;\ 30)$.
6. Стороны грядки измерены неточно: $4{,}8\leqslant a\leqslant 5{,}0$ и $2{,}0\leqslant b\leqslant 2{,}1$ (в метрах). Оцени периметр и площадь.
7. Реши неравенство $7-3x\leqslant 1$.
8. Реши неравенство $2(x+3)>5x-3$.
9. Реши систему $4x-3\geqslant 5$ и $2-x>-4$.
10. Сколько целых решений у системы из задачи 9?
11. Прокат насоса стоит $250$ рублей плюс $90$ рублей за час, бюджет — $1000$ рублей. Сколько целых часов можно арендовать?
12. Проверь ответ задачи 8 подстановкой чисел $x=0$ и $x=3$.

Ответы, модели и проверки

1. $t=\dfrac{60}{24}=2{,}5$ мин и $t=\dfrac{60}{40}=1{,}5$ мин.
2. Значения при $x=2$ и $x=-2$ совпали — график симметричен относительно оси $y$, а рост с $3$ до $12$ при удвоении аргумента даёт множитель $4$. Это квадратичная функция $y=3x^2$: $3\cdot 1=3$, $3\cdot 4=12$.
3. $[0;\ +\infty)$: подкоренное выражение не может быть отрицательным, а ноль допустим.
4. $18\leqslant t\leqslant 25$, то есть отрезок $[18;\ 25]$.
5. Левая граница — большая из левых, это $20$, и она не входит; правая — меньшая из правых, это $25$, и она входит. Ответ: $(20;\ 25]$.
6. Сумма: $6{,}8\leqslant a+b\leqslant 7{,}1$, поэтому $13{,}6\leqslant P\leqslant 14{,}2$ м. Площадь: $4{,}8\cdot 2{,}0=9{,}6$ и $5{,}0\cdot 2{,}1=10{,}5$, поэтому $9{,}6\leqslant S\leqslant 10{,}5\ \text{м}^2$.
7. $-3x\leqslant -6$; делим на $-3$ со сменой знака: $x\geqslant 2$, то есть $[2;\ +\infty)$.
8. $2x+6>5x-3$, затем $-3x>-9$ и после деления на $-3$ со сменой знака $x<3$, то есть $(-\infty;\ 3)$.
9. Первое: $4x\geqslant 8$, значит $x\geqslant 2$. Второе: $-x>-6$, значит $x<6$. Пересечение: $[2;\ 6)$.
10. Подходят $2,\ 3,\ 4,\ 5$ — четыре целых решения. Число $6$ не входит, потому что вторая граница строгая.
11. $250+90x\leqslant 1000$, откуда $90x\leqslant 750$ и $x\leqslant \dfrac{25}{3}=8\dfrac{1}{3}$. Целых часов — $8$: $250+90\cdot 8=970$, а девять часов стоили бы $1060$ рублей.
12. При $x=0$: слева $2\cdot 3=6$, справа $-3$, и $6>-3$ — верно, значит $0$ входит в ответ. При $x=3$: слева $2\cdot 6=12$, справа $12$, и $12>12$ неверно — значит $3$ в ответ не входит. Обе проверки согласуются с промежутком $(-\infty;\ 3)$.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответом было одно число, а в каких — целый промежуток? Что об этом сообщала формулировка условия?
2. Где границу пришлось включить, а где исключить? По какому слову условия это решалось?
3. Задача 6 дала оценку, а не точное значение. Что нужно изменить в измерениях, чтобы оценка стала уже?
4. Какое реальное ограничение не учитывает модель из задачи 11?

Возможные ответы: одно число получается там, где условие задано равенством, промежуток — там, где сказано «не больше», «не меньше», «от и до»; слова «включительно» и «не превышает» дают квадратную скобку, слова «строго» и «больше» — круглую; чтобы сузить оценку, нужно измерить стороны точнее, например до миллиметра; модель проката не учитывает, что часы могут оплачиваться только целиком, что бывает залог и что деньги нужны ещё на что-то.

✦ Мост дальше

Сейчас у неравенства слева стоит линейное выражение, и ответом всегда получается луч, отрезок или пустое множество. Как только слева появится квадрат, множество решений может распасться на две части — и понадобится новый приём чтения знака выражения по числовой прямой.

Всё, что ты уже умеешь, останется в силе: свойства неравенств, запись промежутком и проверка подстановкой работают одинаково для любых неравенств.

← Системы неравенств · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным