6.1 Математическое ожидание и справедливая цена

11 класс · Данные◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: таблица распределения, математическое ожидание, действия с обыкновенными дробями

На ярмарке стоит аттракцион. Вход — $40$ ₽, бросаешь один кубик, и тебе платят по $10$ ₽ за каждое выпавшее очко. Максимум — $60$ ₽, минимум — $10$ ₽. Выглядит соблазнительно: шанс выиграть двадцатку есть у трёх граней из шести.

Хозяин аттракциона стоит здесь весь день и точно знает, сколько заработает к вечеру. Ты сыграешь один раз и не знаешь ничего.

Вопрос урока: каким числом описывается результат случайной величины «в среднем» и при какой цене игра перестаёт быть выгодной одной из сторон?

◎ После урока ты сможешь

• вычислять математическое ожидание по таблице распределения и объяснять его смысл
• называть справедливую цену игры и ожидание чистого результата
• применять свойства ожидания для сдвига, растяжения и суммы величин
• отличать утверждение о длинной серии от прогноза на одну попытку

Прогноз до вычислений

Ответь до того, как что-то посчитаешь, и запиши свои ответы — в конце урока сверимся.

1. Выгоден ли аттракцион игроку при цене $40$ ₽?
2. Какая цена показалась бы тебе честной?
3. Ты сыграл сто раз. Насколько твой итоговый результат, по-твоему, близок к ста «средним» результатам?

Управляемый эксперимент

Лаборатория показывает распределение выплаты столбиками. Прикинь центр тяжести картинки на глаз, введи своё число и только потом нажимай «Проверить». Ползунок цены не меняет распределение выплаты — он двигает лишь кружок на оси и итоговую строку.

Лаборатория ожидания

Справедливая цена случайной выплаты

Ожидание — это центр тяжести распределения. Назначь цену и посмотри, в какую сторону наклоняется длинная серия повторений.

M(X) = ?

Аттракцион с кубикомНадёжный конвертДжекпотСтраховка велосипеда

Бросок кубика за фиксированную плату. Платишь за вход, бросаешь кубик и получаешь 10 ₽ за каждое выпавшее очко.

Цена броска, ₽ 40Стрелки клавиатуры меняют цену шагом 5 ₽. Цена не влияет на распределение выплаты — она сдвигает только чистый результат.

?

Чему равно M(X) — справедливая цена этой игры в рублях? Можно записать дробью, например 71/2

Проверить

Как складывается ожидание: выплата за бросок

Исход	Выплата x, ₽	Вероятность p	Вклад x · p
1 очков	10	1/6	?
2 очков	20	1/6	?
3 очков	30	1/6	?
4 очков	40	1/6	?
5 очков	50	1/6	?
6 очков	60	1/6	?
Сумма	—	1	?

Третий столбец — не выплата и не вероятность, а их произведение: вклад исхода в среднее. Сумма всех вкладов и есть математическое ожидание.

?

Посчитай сумму произведений x · p, запиши ответ и нажми «Проверить».Подсказка: умножь каждую выплату на её вероятность и сложи все произведения.

↺ Вернуть пример

Переключись на другие игры. «Надёжный конверт», «Джекпот» и «Аттракцион с кубиком» устроены совершенно по-разному, но одно число у них общее — найди его сам.

Ожидание как центр распределения

∴ Математическое ожидание

Пусть дискретная случайная величина $X$ принимает значения $x_1,\ldots,x_m$ с вероятностями $p_1,\ldots,p_m$, где $p_1+\ldots+p_m=1$. Математическим ожиданием называется число

$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_mp_m.$

Это среднее значение, взвешенное по вероятностям. Механический образ: если на невесомую линейку в точках $x_i$ положить грузики масс $p_i$, то стержень уравновесится ровно в точке $M(X)$.

Смысл на языке частот: если повторить опыт много раз независимо, среднее арифметическое полученных результатов будет приближаться к $M(X)$. Это утверждение называют законом больших чисел.

Сама формула не новая — ты считал по ней в схеме Бернулли и в дискретных распределениях. Новое здесь другое: механический образ, свойства и то, ради чего всё затевалось, — справедливая цена.

Для аттракциона распределение выплаты $X$ такое:

$x$, ₽	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$	$60$
$p$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$	$\frac16$

$M(X)=\frac{10+20+30+40+50+60}{6}=\frac{210}{6}=35\ \text{₽}.$

Хозяин собирает по $40$ ₽ и отдаёт в среднем $35$ ₽. Его доход — $5$ ₽ с каждого броска. Не «иногда повезёт», а именно $5$ ₽ с броска, с точностью, которая растёт вместе с числом бросков.

Справедливая цена

∴ Справедливая цена и чистый результат

Если за участие в игре платят цену $c$, то чистый результат игрока — это величина $Y=X-c$. Её ожидание равно

$M(Y)=M(X)-c.$

Цена $c=M(X)$ называется справедливой: при ней $M(Y)=0$, и в длинной серии ни игрок, ни организатор не получают преимущества.

Знак $M(Y)$ читается однозначно: $M(Y)<0$ — в длинной серии выигрывает организатор, $M(Y)>0$ — игрок.

Для аттракциона справедливая цена равна $35$ ₽. При цене $40$ ₽ ожидание чистого результата равно $35-40=-5$ ₽ за бросок. За $200$ бросков это $-1000$ ₽ — и вот это число хозяин ярмарки может планировать в смете.

Свойства, которые экономят вычисления

∴ Три равенства

Для любых случайных величин $X$ и $Y$ и любых чисел $k$ и $c$:

$M(X+c)=M(X)+c,\qquad M(kX)=k\,M(X),\qquad M(X+Y)=M(X)+M(Y).$

Первые два очевидны из определения: сдвиг сдвигает все значения, растяжение растягивает все значения, а веса $p_i$ не меняются.

Третье равенство сильнее, чем кажется: оно верно всегда, даже если $X$ и $Y$ зависимы. Никакой независимости здесь не требуется.

Отсюда мгновенно: сумма очков на двух кубиках имеет ожидание $3{,}5+3{,}5=7$, а число успехов в схеме Бернулли — ожидание $M(X)=np$, потому что серия из $n$ испытаний это сумма $n$ величин «успех даёт $1$, неудача — $0$», у каждой из которых ожидание равно $p$.

Сколько на самом деле стоит страховой полисРазбираем вместе

Велосипед стоит $20\,000$ ₽. За год он пропадает у одного владельца из пятидесяти; в этом случае страховая компания возмещает полную стоимость. Полис продаётся за $700$ ₽.

Распределение выплаты $X$.

$x$, ₽	$0$	$20\,000$
$p$	$\frac{49}{50}$	$\frac{1}{50}$

Ожидание выплаты.

$M(X)=0\cdot\frac{49}{50}+20\,000\cdot\frac{1}{50}=400\ \text{₽}.$

Это и есть чистая цена риска — справедливая цена полиса.

Чистый результат владельца. $M(X)-700=400-700=-300$ ₽ в год.

Как это читать. Владелец в среднем теряет $300$ ₽ ежегодно — и всё равно поступает разумно. Он покупает не выгоду, а замену: вместо маленького шанса потерять $20\,000$ ₽ сразу он получает гарантированный расход $700$ ₽. Ожидание у этих двух вариантов разное, но риск — совершенно разный, и именно за снятие риска идёт наценка в $300$ ₽.

Как это читать компании. Продав $10\,000$ таких полисов, компания соберёт $7\,000\,000$ ₽ и выплатит в среднем $4\,000\,000$ ₽. Разница в $3\,000\,000$ ₽ покрывает работу сотрудников, налоги и прибыль. Компания и клиент играют в одну игру, но компания играет в неё десять тысяч раз — а закон больших чисел работает только на её стороне.

Проверка понимания

В лотерее из 500 билетов один выигрывает 20 000 ₽, четыре — по 5 000 ₽, остальные пустые. Какова справедливая цена билета?

• А. 80 ₽
• Б. 5 000 ₽
• В. 40 000 ₽

Типичная ошибка

! Требовать от ожидания того, чего оно не обещает

Первая ловушка: считать $M(X)$ прогнозом на одну попытку. Ожидание аттракциона равно $35$ ₽, но выплата $35$ ₽ невозможна в принципе: все выплаты кратны десяти. Число $-5$ ₽ описывает не твой бросок, а средний итог длинной серии.

Вторая ловушка: путать ожидание с самым вероятным значением. У страховки самое вероятное значение выплаты — ноль (вероятность $\frac{49}{50}$), а ожидание равно $400$ ₽. Столбик, на который указывает штриховая линия, вообще может отсутствовать.

Третья ловушка: складывать вероятности вместо значений. В формуле $M(X)=\sum x_ip_i$ вероятности — это веса. Сумма самих вероятностей всегда равна единице и никакой информации о величине не несёт.

Четвёртая ловушка: считать невыгодную игру бессмысленной. У страхового полиса ожидание для клиента отрицательное, и покупать его всё равно разумно. Ожидание — не единственный критерий решения; второй критерий — разброс, и о нём следующий урок.

Практика

1. Величина $X$ принимает значения $0$, $1$, $2$ с вероятностями $0{,}5$; $0{,}3$; $0{,}2$. Найди $M(X)$.
2. Для аттракциона из урока найди $M(X)$ и ожидание чистого результата при цене $40$ ₽.
3. Игрок повторил этот аттракцион $200$ раз. Каков ожидаемый итог?
4. При какой цене аттракцион становится справедливым?
5. Из $500$ лотерейных билетов один выигрывает $20\,000$ ₽, четыре — по $5\,000$ ₽, остальные пустые. Найди $M$ выигрыша и справедливую цену билета.
6. Ущерб $20\,000$ ₽ наступает с вероятностью $\frac{1}{50}$. Найди чистую цену риска и её долю в полисе за $700$ ₽.
7. Известно, что $M(X)=3{,}5$. Найди $M(2X+5)$.
8. $X$ — сумма очков на двух кубиках. Найди $M(X)$ двумя способами.
9. Проводят $20$ независимых испытаний с вероятностью успеха $0{,}3$. Найди среднее число успехов.
10. Билет «джекпота» стоит $50$ ₽; один билет из ста приносит $3500$ ₽. Найди ожидание чистого результата за одну покупку и за все сто билетов сразу.
11. Величина $X$ принимает значения $-2$ и $6$ с вероятностями $\frac34$ и $\frac14$. Найди $M(X)$ и объясни знак ответа.
12. Придумай игру с $M(X)=0$, в которой можно и выиграть, и проиграть. Чем она отличается от игры, где всегда выпадает ноль?

Ответы и пояснения

1. $M(X)=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}2=0{,}3+0{,}4=0{,}7$.
2. $M(X)=\frac{10+20+30+40+50+60}{6}=35$ ₽; чистый результат $35-40=-5$ ₽ за бросок.
3. $200\cdot(-5)=-1000$ ₽. Это ожидание итога, а не гарантированный итог.
4. При цене $35$ ₽: тогда $M(X)-c=0$.
5. $M=\dfrac{20\,000+4\cdot5\,000}{500}=\dfrac{40\,000}{500}=80$ ₽; справедливая цена билета — те же $80$ ₽.
6. $M(X)=20\,000\cdot\frac{1}{50}=400$ ₽; это $\frac{400}{700}=\frac47\approx0{,}57$, то есть около $57\%$ полиса. Остальные $300$ ₽ — расходы и прибыль компании.
7. $M(2X+5)=2\cdot3{,}5+5=12$.
8. По таблице распределения суммы получится $7$; по свойству — $3{,}5+3{,}5=7$. Второй способ короче и не требует одиннадцати вероятностей.
9. $M(X)=np=20\cdot0{,}3=6$.
10. $M(\text{выигрыша})=3500\cdot\frac{1}{100}=35$ ₽, значит чистый результат $35-50=-15$ ₽ за билет. Купив все сто билетов, заплатишь $5000$ ₽ и получишь ровно $3500$ ₽: итог $-1500$ ₽, что совпадает с $100\cdot(-15)$. Здесь ожидание превращается в точный факт, потому что случайности не остаётся.
11. $M(X)=-2\cdot\frac34+6\cdot\frac14=-\frac32+\frac32=0$. Игра справедлива: положительное и отрицательное уравновешены весами.
12. Например, «орёл — плюс $100$ ₽, решка — минус $100$ ₽». Ожидание у обеих игр равно нулю, но во второй игре результат известен заранее, а в первой — нет. Одно число $M(X)$ этой разницы не видит; чтобы её измерить, нужна дисперсия.

Итог

• Математическое ожидание $M(X)=\sum x_ip_i$ — центр распределения, среднее значение, взвешенное по вероятностям.
• $M(X)$ не обязано быть возможным значением величины и не обязано совпадать с самым вероятным значением.
• Справедливая цена игры равна $M(X)$; знак разности $M(X)-c$ показывает, кто выигрывает в длинной серии.
• Ожидание сдвигается и растягивается вместе с величиной, а ожидание суммы всегда равно сумме ожиданий — независимость для этого не нужна.
• Закон больших чисел работает на того, кто повторяет опыт много раз: на страховую компанию, на владельца аттракциона, на казино — но не на тебя в одной попытке.

Мы описали центр. Но игра «$30$ ₽ или $40$ ₽ поровну» и игра «почти всегда ноль, иногда $3500$ ₽» имеют одно и то же ожидание $35$ ₽ — а решения по ним принимаются противоположные. Значит, одного числа мало: нужна мерка разброса. Ею займёмся дальше.

← Вход в тему · Дальше: дисперсия и стандартное отклонение →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным