5.2 Правильные многогранники и формула Эйлера

10 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: призма и пирамида, сумма углов правильного многоугольника

В наборе кубиков для настольных игр ровно пять «правильных» форм: $d4$, $d6$, $d8$, $d12$, $d20$. Не четыре и не шесть. Производители не сговаривались — больше вариантов просто не существует.

Почему? Ответ собирается из двух простых наблюдений: соотношения между вершинами, рёбрами и гранями и того факта, что сумма плоских углов при вершине меньше полного угла.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать и применять соотношение V − E + F = 2
• находить число рёбер и вершин по числу граней, форме грани и степени вершины
• называть пять правильных многогранников и их характеристики
• объяснять, почему шестого правильного многогранника не существует

Прогноз до вычислений

Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

Сколько, по-твоему, существует таких тел? Запиши число и, если получится, назови их. Проверим догадку в конце урока.

Управляемый эксперимент

Возьми разные тела и в каждом случае вычисли $V-E+F$. Начни с призм, потом перейди к пирамидам, потом попробуй крайние случаи — треугольную пирамиду и восьмиугольную призму.

Лаборатория многогранников

Призма и пирамида: элементы и поверхность

Меняй основание, сторону и высоту. Чертёж строится честной параллельной проекцией, а невидимые рёбра рисуются штрихами.

V − E + F

Элементы и ЭйлерПлощадь поверхностиОбъём

ПризмаПирамида

3-угольная4-угольная5-угольная6-угольная8-угольная

Сторона основания a5 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Высота h8 см

−+

От 1 до 40 см; можно вводить десятичную дробь.

Проекция чертежа

ИзометрияКабинетнаяВысота и апофема

Сколько рёберПроверить

?

Сосчитай рёбра по модели.Считай по группам: рёбра оснований и боковые рёбра. Затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Комбинация $V-E+F$ упрямо равна $2$. Причём тело можно вытягивать, наклонять, менять основание — число не двигается.

Формула Эйлера

∴ Соотношение Эйлера

Для любого выпуклого многогранника

$V-E+F=2,$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.

Наглядное объяснение выглядит так. Представь, что многогранник сделан из тонкой резины. Выколем одну точку внутри какой-нибудь грани и растянем поверхность на плоскость: получится плоская сетка из вершин, рёбер и областей, причём выколотая грань превратилась во внешнюю бесконечную область. Ни вершины, ни рёбра, ни грани при растяжении не исчезли и не появились.

Теперь упрощаем сетку двумя ходами:

• у грани с числом сторон больше трёх проводим диагональ: $E$ и $F$ выросли на $1$ каждое, разность $V-E+F$ не изменилась;
• убираем «крайний» треугольник: либо уходит одно ребро и одна грань, либо два ребра, одна грань и одна вершина — в обоих случаях $V-E+F$ снова не меняется.

В конце остаётся один треугольник: $V=3$, $E=3$, $F=2$ (сам треугольник и внешняя область), и $3-3+2=2$. Значит, и в начале было $2$.

✦ Где формула перестаёт работать

Выпуклость важна. Склей из многоугольников «рамку» — тело с дыркой, похожее на бублик. Для него $V-E+F=0$, а не $2$. Число $V-E+F$ называют эйлеровой характеристикой, и оно различает поверхности: у сферы $2$, у тора $0$. Формула Эйлера — не про счёт, а про форму.

Второй счёт: через грани и вершины

Есть ещё одно соотношение, и именно оно даёт ключ к правильным многогранникам.

Пусть у каждой грани $k$ сторон, а в каждой вершине сходится $m$ рёбер.

Сосчитаем стороны всех граней: получится $Fk$. Но каждое ребро — это общая сторона ровно двух граней, значит, мы посчитали каждое ребро дважды:

$2E=Fk.$

Теперь сосчитаем «концы» рёбер в вершинах: получится $Vm$. У каждого ребра ровно два конца, значит,

$2E=Vm.$

∴ Три уравнения на пять неизвестных

$V-E+F=2, \qquad 2E=Fk, \qquad 2E=Vm.$

Зная любые два из чисел $F$, $k$, $m$, остальное восстанавливается арифметикой.

Додекаэдр по описаниюРазбираем вместе

У додекаэдра $F=12$ граней, каждая — правильный пятиугольник ($k=5$), в каждой вершине сходится $m=3$ ребра.

$2E=Fk=12\cdot5=60 \Rightarrow E=30.$

$V=\frac{2E}{m}=\frac{60}{3}=20.$

Проверка Эйлера: $20-30+12=2$. Сходится.

Футбольный мячРазбираем вместе

Классический мяч сшит из $12$ пятиугольников и $20$ шестиугольников, в каждой вершине сходятся $3$ ребра. Он не правильный (грани двух видов), но соотношения работают.

$2E=12\cdot5+20\cdot6=60+120=180 \Rightarrow E=90.$

$V=\frac{2\cdot90}{3}=60.$

Проверка: $60-90+32=2$. Значит, у мяча $60$ вершин и $90$ швов.

Почему их ровно пять

Соберём два ограничения.

Ограничение сверху. В каждой вершине сходится не меньше трёх граней, и сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника строго меньше $360°$. Если бы она равнялась $360°$, грани легли бы в одну плоскость, а если больше — не сомкнулись бы в выпуклую вершину.

Перебор. Угол правильного $k$-угольника равен $\dfrac{(k-2)\cdot180°}{k}$.

• $k=3$, угол $60°$: подходит $m=3$ ($180°$), $m=4$ ($240°$), $m=5$ ($300°$). При $m=6$ получаем ровно $360°$ — плоскость.
• $k=4$, угол $90°$: подходит только $m=3$ ($270°$). При $m=4$ — снова $360°$.
• $k=5$, угол $108°$: подходит только $m=3$ ($324°$). При $m=4$ уже $432°$.
• $k=6$, угол $120°$: даже $m=3$ даёт $360°$. Не подходит.
• $k\ge7$: угол больше $120°$, и три такие грани тем более не сомкнутся.

Остаётся ровно пять допустимых пар $(k;m)$ — и для каждой соотношения дают единственный набор $V$, $E$, $F$.

Тело	Грань	$k$	$m$	$V$	$E$	$F$	$V-E+F$
Тетраэдр	треугольник	$3$	$3$	$4$	$6$	$4$	$2$
Куб (гексаэдр)	квадрат	$4$	$3$	$8$	$12$	$6$	$2$
Октаэдр	треугольник	$3$	$4$	$6$	$12$	$8$	$2$
Додекаэдр	пятиугольник	$5$	$3$	$20$	$30$	$12$	$2$
Икосаэдр	треугольник	$3$	$5$	$12$	$30$	$20$	$2$

✦ Двойственность

Посмотри на строки таблицы парами. У куба $(V;E;F)=(8;12;6)$, у октаэдра — $(6;12;8)$: числа вершин и граней поменялись местами. То же у додекаэдра и икосаэдра. Тетраэдр же меняется сам с собой.

Геометрически это значит: если отметить центры граней куба и соединить центры соседних граней, получится октаэдр. И наоборот. Такие пары называют двойственными.

Проверка понимания

Все грани многогранника — треугольники, их 8, и в каждой вершине сходится 4 ребра. Сколько у него вершин?

• А. 6
• Б. 12
• В. 24

! Что чаще всего ломает подсчёт

Забывают делить на два. Сумма сторон всех граней равна $2E$, а не $E$: каждое ребро принадлежит двум граням. Ровно та же ловушка со степенями вершин.

Применяют формулу Эйлера к чему угодно. Она верна для выпуклых многогранников (и вообще для тел, поверхность которых устроена как сфера). Для тела с сквозным отверстием получится $0$.

Путают «правильный многогранник» и «правильную пирамиду». У правильной четырёхугольной пирамиды основание квадрат, а боковые грани — треугольники. Грани разные, значит, правильным многогранником она не является. Единственное исключение среди пирамид — тетраэдр, у которого все четыре грани равносторонние.

Считают, что правильных многогранников бесконечно много, как правильных многоугольников. На плоскости правильный $n$-угольник есть для любого $n\ge3$; в пространстве список исчерпывается пятью телами.

Практика

1. Проверь соотношение $V-E+F=2$ для октаэдра.
2. У многогранника все грани — квадраты, их $6$, в каждой вершине сходится $3$ ребра. Найди $E$ и $V$.
3. Все грани — треугольники, их $20$, в каждой вершине сходится $5$ рёбер. Найди $E$, $V$ и назови тело.
4. Мяч сшит из $12$ пятиугольников и $20$ шестиугольников, в каждой вершине сходятся $3$ ребра. Найди число швов и число вершин.
5. У выпуклого многогранника $20$ вершин и $30$ рёбер. Сколько у него граней?
6. Сколько рёбер у икосаэдра и сколько у додекаэдра? Что это означает?
7. Почему нельзя составить правильный многогранник из правильных шестиугольников?
8. У правильного многогранника $F=4$, $k=3$, $m=3$. Найди $E$ и $V$ и назови тело.
9. Существует ли выпуклый многогранник ровно с $7$ рёбрами? Обоснуй.
10. Сумма плоских углов при всех вершинах куба равна $8\cdot270°$. Проверь этот подсчёт и найди такую же сумму для тетраэдра.

Ответы и пояснения

1. $V=6$, $E=12$, $F=8$; $6-12+8=2$.
2. $2E=6\cdot4=24$, значит $E=12$; $V=\dfrac{2\cdot12}{3}=8$. Это куб.
3. $2E=20\cdot3=60$, $E=30$; $V=\dfrac{60}{5}=12$. Икосаэдр; проверка $12-30+20=2$.
4. $2E=12\cdot5+20\cdot6=180$, $E=90$ швов; $V=\dfrac{180}{3}=60$ вершин.
5. $F=2+E-V=2+30-20=12$.
6. И у икосаэдра, и у додекаэдра по $30$ рёбер. Они двойственны: числа вершин и граней у них меняются местами, а число рёбер общее.
7. Угол правильного шестиугольника равен $120°$, и уже три грани дают $3\cdot120°=360°$ — вершина не получится, грани лягут в одну плоскость.
8. $2E=4\cdot3=12$, $E=6$; $V=\dfrac{12}{3}=4$. Тетраэдр.
9. Нет. Сумма сторон всех граней равна $2E=14$, а у каждой грани не меньше $3$ сторон, поэтому $3F\le14$ и $F\le4$. Аналогично в каждой вершине не меньше $3$ рёбер, поэтому $3V\le14$ и $V\le4$. Тогда $V+F\le8$. Но по формуле Эйлера $V+F=E+2=9$. Противоречие.
10. У куба в каждой из $8$ вершин сходятся три квадрата: $3\cdot90°=270°$, всего $8\cdot270°=2160°$. У тетраэдра в каждой из $4$ вершин сходятся три равносторонних треугольника: $3\cdot60°=180°$, всего $4\cdot180°=720°$.

Итог

• Для выпуклого многогранника $V-E+F=2$; число $V-E+F$ описывает форму поверхности, а не размеры тела.
• Каждое ребро принадлежит двум граням и имеет два конца, отсюда $2E=Fk$ и $2E=Vm$.
• Правильных многогранников ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
• Ограничение возникает не из формулы Эйлера, а из условия «сумма плоских углов при вершине меньше $360°$»; формула Эйлера затем однозначно достраивает числа.
• Куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — двойственные пары.

Мы научились считать элементы тела. Теперь возьмём самое простое из этих тел — куб — и научимся его резать.

← Призма и пирамида · Дальше: построение сечений →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным