3.1 Числовые последовательности

9 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: степень с натуральным показателем, буквенные выражения, подстановка значения в формулу

Тест на сообразительность обычно выглядит так: «$2$, $4$, $8$, … — какое число следующее?» Ожидаемый ответ — $16$.

Но ответ $14$ ничем не хуже. Проверь: последовательность $a_n=n^2-n+2$ даёт $2$, $4$, $8$, а дальше $14$. Оба продолжения законны, потому что три выписанных числа не задают последовательность — они лишь её начало.

◎ После урока ты сможешь

• различать номер члена и значение члена последовательности
• задавать последовательность формулой n-го члена и вычислять любой её член
• задавать последовательность рекуррентно и разворачивать правило по шагам
• объяснять, почему несколько первых членов не определяют продолжение

Прогноз до вычислений

Ответь, не считая:

1. Последовательность начинается $1$, $2$, $4$. Единственно ли её продолжение?
2. У последовательности $a_n=3n-1$ член $a_{100}$ будет больше или меньше $300$?
3. Если каждый следующий член на $7$ больше предыдущего, а первый равен $5$, то сотый член — это $5+7\cdot100$ или $5+7\cdot99$?

Запиши ответы, а в конце урока сверься.

Эксперимент: одно правило — вся последовательность

Лаборатория работает по правилу «следующий член получается из предыдущего»: $a_{n+1}=m\cdot a_n+c$. Меняй множитель $m$ и слагаемое $c$ и следи за таблицей и графиком.

Лаборатория последовательностей

Одно правило — вся последовательность

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 3

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Слагаемое c 4

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Множитель m 2

−+

От −4 до 4 без нуля, шаг 0,5

Сколько членов показать 7

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 3, aₙ₊₁ = 2·aₙ + 4.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7
aₙ	3	10	24	52	108	220	444

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

aₙ

Это не арифметическая и не геометрическая прогрессия.явной формулы через n у этого правила в школьном курсе нет. Первые разности: 7 и 14 — они не совпадают, значит арифметической прогрессии нет.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на три настройки:

• $m=1$ — каждый шаг прибавляется одно и то же число $c$; точки выстраиваются по прямой;
• $c=0$ — каждый шаг умножается на одно и то же число $m$; точки резко уходят вверх или прижимаются к оси;
• $m\ne1$ и $c\ne0$ — не получается ни то ни другое, хотя правило по-прежнему одно.

И ещё: точки на графике стоят отдельно. Между номерами $3$ и $4$ никаких членов нет, поэтому соединять их сплошной линией было бы обманом.

Что такое числовая последовательность

∴ Определение

Числовая последовательность — это набор чисел, занумерованных натуральными числами: каждому номеру $n=1,2,3,\dots$ сопоставлено ровно одно число $a_n$.

Число $a_n$ называют $n$-м членом (или общим членом) последовательности, само $n$ — номером члена. Всю последовательность записывают так: $a_1,\;a_2,\;a_3,\;\dots$ или коротко $(a_n)$.

По существу это функция, у которой аргумент бывает только натуральным. Отсюда и график из отдельных точек: промежуточных значений просто не существует.

Последовательность называют возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1}>a_n$ при всех $n$), и убывающей, если каждый следующий меньше.

Два способа задать правило

Способ 1. Формула $n$-го члена. Она позволяет вычислить любой член сразу, не считая предыдущие:

$a_n=3n-1\quad\Rightarrow\quad a_1=2,\;\;a_2=5,\;\;a_{100}=299.$

Способ 2. Рекуррентная формула. Она описывает один шаг и требует знать, с чего начать:

$a_1=5,\qquad a_{n+1}=a_n+7\quad\Rightarrow\quad 5,\;12,\;19,\;26,\;\dots$

Оба описания полноценны. Первое удобно, когда нужен далёкий член; второе — когда правило естественно формулируется как «что происходит за один шаг».

✦ Латинское recurrere — «возвращаться»

Рекуррентная формула на каждом шаге возвращается к уже вычисленному члену. Именно поэтому одной формулы мало: без указания $a_1$ правило $a_{n+1}=a_n+7$ описывает бесконечно много разных последовательностей.

Разобранные примеры

Одно начало — два разных продолженияРазбираем вместе

Возьмём две формулы и вычислим по пять членов.

$b_n=2^n:\qquad 2,\;4,\;8,\;16,\;32.$

$a_n=n^2-n+2:\qquad 2,\;4,\;8,\;14,\;22.$

Проверим вторую: $a_1=1-1+2=2$, $a_2=4-2+2=4$, $a_3=9-3+2=8$, $a_4=16-4+2=14$, $a_5=25-5+2=22$.

Первые три члена совпали, четвёртые разошлись. Значит, вопрос «какое число следующее?» без указания правила корректного ответа не имеет.

Разворачиваем рекуррентную формулуРазбираем вместе

Дано: $a_1=5$ и $a_{n+1}=2a_n-3$. Найдём первые пять членов.

$a_2=2\cdot5-3=7,\quad a_3=2\cdot7-3=11,\quad a_4=2\cdot11-3=19,\quad a_5=2\cdot19-3=35.$

Получилось $5,\;7,\;11,\;19,\;35$. Прибавки $2,\;4,\;8,\;16$ каждый раз удваиваются — это не арифметическая прогрессия. Отношения $\tfrac75,\;\tfrac{11}7,\;\tfrac{19}{11}$ разные — и не геометрическая.

Чтобы найти $a_{20}$, придётся честно сделать все $19$ шагов: формулы $n$-го члена у такого правила в школьном курсе нет.

Является ли число членом последовательностиРазбираем вместе

Проверим, встречается ли число $41$ в последовательности $a_n=3n-1$.

Решаем уравнение относительно номера:

$3n-1=41,\qquad 3n=42,\qquad n=14.$

Номер получился натуральным, значит $41=a_{14}$ — четырнадцатый член.

А число $40$? Тогда $3n=41$ и $n=\dfrac{41}{3}$ — не натуральное. Значит, $40$ членом этой последовательности не является.

Проверка понимания

Первые три члена последовательности: 2, 4, 8. Чему равен четвёртый?

• А. 16 — ведь каждое число вдвое больше предыдущего
• Б. 14 — по формуле aₙ = n² − n + 2
• В. Определить нельзя: правило не задано

Проверь себя без подсказки

Здесь показаны только первые три члена, а дальше стоят вопросительные знаки. Определи правило и предскажи последний член сам.

Лаборатория последовательностей

Угадай следующий член по правилу

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ −4

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Разность d (слагаемое c) 3

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Сколько членов показать 6

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = −4, aₙ₊₁ = 1·aₙ + 3.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6
aₙ	−4	−1	2	?	?	?

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

Мой ответ: a6

Проверить

?

Предскажи a6 по трём первым членам.Сначала посмотри, что происходит при переходе от члена к члену: прибавляется одно и то же число или умножается на одно и то же число.

↺ Вернуть пример

! Три места, где теряется смысл

1. Номер вместо значения. Запись $a_5$ означает «пятый член», а не «$a$ умножить на $5$». В равенстве $a_5=17$ число $5$ стоит внизу не случайно.
2. Продолжение по нескольким членам. «Очевидное» продолжение — это гипотеза, а не вывод. В задаче правило должно быть названо; если его нет, честный ответ — «однозначно продолжить нельзя».
3. Нумерация с нуля. В школьном курсе первый член — это $a_1$, а не $a_0$. Из-за сдвига на единицу потом появляется $(n-1)$ во всех формулах прогрессий; если начать с нуля, все ответы уедут на один шаг.

Практика

1. Последовательность задана формулой $a_n=3n-1$. Найди $a_1$, $a_5$ и $a_{10}$.
2. Найди первые четыре члена последовательности $a_n=n^2+1$.
3. Для $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ найди $a_1$, $a_3$ и $a_9$.
4. Найди первые пять членов последовательности $a_n=(-1)^n\cdot n$.
5. Дано: $a_1=2$, $a_{n+1}=3a_n+1$. Найди первые четыре члена.
6. Дано: $a_1=100$, $a_{n+1}=a_n-7$. Найди $a_5$.
7. Является ли число $41$ членом последовательности $a_n=3n-1$? А число $40$?
8. Запиши формулу $n$-го члена для последовательности $1,\;4,\;7,\;10,\;\dots$, если каждый следующий член на $3$ больше предыдущего.
9. Запиши формулу $n$-го члена для $2,\;4,\;8,\;16,\;\dots$, если каждый следующий член вдвое больше предыдущего.
10. Первые три члена равны $2$, $4$, $8$. Найди пятый член, если: а) $a_n=2^n$; б) $a_n=n^2-n+2$.
11. Дано: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Выпиши шесть первых членов.
12. Возрастает ли последовательность $a_n=\dfrac{n}{n+1}$? Обоснуй ответ.

Ответы и пояснения

1. $a_1=2$, $a_5=14$, $a_{10}=29$.
2. $2,\;5,\;10,\;17$.
3. $a_1=\dfrac12$, $a_3=\dfrac34$, $a_9=\dfrac9{10}$.
4. $-1,\;2,\;-3,\;4,\;-5$. Множитель $(-1)^n$ отвечает только за знак.
5. $2,\;7,\;22,\;67$: $3\cdot2+1=7$, $3\cdot7+1=22$, $3\cdot22+1=67$.
6. $100,\;93,\;86,\;79,\;72$, значит $a_5=72$.
7. $3n-1=41$ даёт $n=14$ — да, $41=a_{14}$. Для $40$ получается $n=\dfrac{41}{3}$ — нет, не является.
8. $a_n=3n-2$. Проверка: $a_1=1$, $a_2=4$, $a_3=7$.
9. $a_n=2^n$. Проверка: $a_1=2$, $a_4=16$.
10. а) $a_5=2^5=32$; б) $a_5=25-5+2=22$. Одно начало — два разных пятых члена.
11. $1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8$ — числа Фибоначчи.
12. Да. Разность соседних членов равна $a_{n+1}-a_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$. Она положительна при всех натуральных $n$, значит каждый следующий член больше предыдущего.

Возвращаемся к прогнозу: продолжение $1$, $2$, $4$ не единственно; $a_{100}=299<300$; сотый член равен $5+7\cdot99=698$, потому что шагов от первого члена до сотого ровно $99$.

Итог

• Числовая последовательность сопоставляет каждому натуральному номеру ровно одно число; её график состоит из отдельных точек.
• Формула $n$-го члена даёт любой член сразу; рекуррентная формула описывает один шаг и требует начального значения.
• Несколько выписанных членов не задают продолжение — правило нужно называть явно.
• Вопрос «принадлежит ли число последовательности» решается уравнением относительно номера $n$; номер обязан быть натуральным.

Дальше берём самое простое правило из всех — «каждый шаг прибавляем одно и то же число» — и выжимаем из него всё: формулу любого члена и мгновенную сумму сотни слагаемых.

← Вход в тему · Дальше: арифметическая прогрессия →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным