10 класс · Алгебра ◷ 55–65 минут ◇ База Нужно знать: таблица значений, основное тождество, формулы приведения
В таблице есть 30 ° 30° 30° 45 ° 45° 45° 75 ° 75° 75° 75 ° = 45 ° + 30 ° 75°=45°+30° 75° = 45° + 30° sin 75 ° \sin 75° sin 75°
Соблазн велик: написать sin ( α + β ) = sin α + sin β \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha+\sin\beta sin ( α + β ) = sin α + sin β
◎ После урока ты сможешьопровергать «линейное» правило для синуса суммы контрпримером применять формулы синуса и косинуса суммы и разности выводить формулы двойного угла как частный случай вычислять значения нетабличных углов и упрощать выражения Возьмём α = β = 30 ° \alpha=\beta=30° α = β = 30°
sin α + sin β = 1 2 + 1 2 = 1 , sin ( α + β ) = sin 60 ° = 3 2 ≈ 0,866. \sin\alpha+\sin\beta=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1, \qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866. sin α + sin β = 2 1 + 2 1 = 1 , sin ( α + β ) = sin 60° = 2 3 ≈ 0 , 866.
Числа разные, значит правило «синус суммы равен сумме синусов» неверно. Но какое правило верно? Прикинь до чтения: будут ли в формуле участвовать косинусы?
Поставь в лаборатории угол 75 ° 75° 75° 45 ° 45° 45° 30 ° 30° 30°
Точка поворота Приведение к обороту
Точка поворота на единичной окружности Единичная окружность с центром в начале координат. Угол поворота 75 градусов приведён к 75 градусам: полных оборотов нет. Точка поворота имеет координаты x = 0,2588 и y = 0,9659, она лежит в 1 четверти. Абсцисса точки равна косинусу, ордината — синусу. x = cos y = sin 1 −1 1 −1 0 0° 90° 180° 270° 75° P(0,259; 0,966) cos = 0,259 sin = 0,966 ↺ 75° → 75° = 5π/12; 1 четверть cos = ≈ 0,2588; sin = ≈ 0,9659; tg = ≈ 3,7321. Опорный острый угол равен 75°, полных оборотов нет.
↺ Вернуть пример Для 75 ° 75° 75° 0,966 0{,}966 0 , 966 sin 45 ° cos 30 ° + cos 45 ° sin 30 ° ≈ 0,707 ⋅ 0,866 + 0,707 ⋅ 0,5 ≈ 0,612 + 0,354 = 0,966 \sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°\approx 0{,}707\cdot 0{,}866+0{,}707\cdot 0{,}5\approx 0{,}612+0{,}354=0{,}966 sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° ≈ 0 , 707 ⋅ 0 , 866 + 0 , 707 ⋅ 0 , 5 ≈ 0 , 612 + 0 , 354 = 0 , 966
∴ Синус и косинус суммы и разностиcos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β , \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta, cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ,
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β , \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ,
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β , \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ,
sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β . \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β .
Мнемоника знаков: у косинуса знак переворачивается , у синуса — сохраняется. В формуле для cos ( α + β ) \cos(\alpha+\beta) cos ( α + β ) cos ( α − β ) \cos(\alpha-\beta) cos ( α − β )
Обрати внимание на структуру: у косинуса перемножаются одноимённые функции (cos cos \cos\cos cos cos sin sin \sin\sin sin sin sin cos \sin\cos sin cos cos sin \cos\sin cos sin
Формулы легко проверить на знакомых случаях. Подставь β = π 2 \beta=\dfrac{\pi}{2} β = 2 π
sin ( α + π 2 ) = sin α cos π 2 + cos α sin π 2 = cos α . \sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{2}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{2}=\cos\alpha. sin ( α + 2 π ) = sin α cos 2 π + cos α sin 2 π = cos α .
Получилась формула приведения из прошлого урока — значит, ничего нового мы не сломали.
∴ Тангенс суммы и разностиtg ( α + β ) = tg α + tg β 1 − tg α tg β , tg ( α − β ) = tg α − tg β 1 + tg α tg β . \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}, \qquad \operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}{1+\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}. tg ( α + β ) = 1 − tg α tg β tg α + tg β , tg ( α − β ) = 1 + tg α tg β tg α − tg β .
Формулы работают, когда все три тангенса существуют, а знаменатель не равен нулю.
Синус 75 градусов Разбираем вместе Разложим 75 ° = 45 ° + 30 ° 75°=45°+30° 75° = 45° + 30°
sin 75 ° = sin 45 ° cos 30 ° + cos 45 ° sin 30 ° = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 . \sin 75°=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 4 2 = 4 6 + 2 .
Оценим: 6 ≈ 2,449 \sqrt{6}\approx 2{,}449 6 ≈ 2 , 449 2 ≈ 1,414 \sqrt{2}\approx 1{,}414 2 ≈ 1 , 414 sin 75 ° ≈ 3,863 4 ≈ 0,966 \sin 75°\approx\dfrac{3{,}863}{4}\approx 0{,}966 sin 75° ≈ 4 3 , 863 ≈ 0 , 966
Разложение можно выбрать и другое: 75 ° = 30 ° + 45 ° 75°=30°+45° 75° = 30° + 45°
Косинус 15 градусов Разбираем вместе cos 15 ° = cos ( 45 ° − 30 ° ) = cos 45 ° cos 30 ° + sin 45 ° sin 30 ° = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 . \cos 15°=\cos(45°-30°)=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. cos 15° = cos ( 45° − 30° ) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = 4 6 + 4 2 = 4 6 + 2 .
Ответ совпал с sin 75 ° \sin 75° sin 75° cos 15 ° = sin ( 90 ° − 15 ° ) = sin 75 ° \cos 15°=\sin(90°-15°)=\sin 75° cos 15° = sin ( 90° − 15° ) = sin 75°
Положим β = α \beta=\alpha β = α
∴ Формулы двойного углаsin 2 α = 2 sin α cos α , \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, sin 2 α = 2 sin α cos α ,
cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 , \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1, cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 ,
tg 2 α = 2 tg α 1 − tg 2 α . \operatorname{tg} 2\alpha=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}. tg 2 α = 1 − tg 2 α 2 tg α .
Три записи косинуса равносильны: переход между ними — замена 1 1 1 sin 2 α + cos 2 α \sin^2\alpha+\cos^2\alpha sin 2 α + cos 2 α
Из второй и третьей записи получаются формулы понижения степени:
sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 , cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 . \sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}. sin 2 α = 2 1 − c o s 2 α , cos 2 α = 2 1 + c o s 2 α .
Двойной угол по известному синусу Разбираем вместе Пусть sin α = 3 5 \sin\alpha=\dfrac{3}{5} sin α = 5 3 α \alpha α cos α = 4 5 \cos\alpha=\dfrac{4}{5} cos α = 5 4
sin 2 α = 2 ⋅ 3 5 ⋅ 4 5 = 24 25 = 0,96. \sin 2\alpha=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}=0{,}96. sin 2 α = 2 ⋅ 5 3 ⋅ 5 4 = 25 24 = 0 , 96.
Для косинуса удобна запись через синус — он известен точнее всего:
cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 1 − 2 ⋅ 9 25 = 1 − 18 25 = 7 25 = 0,28. \cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}=0{,}28. cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 1 − 2 ⋅ 25 9 = 1 − 25 18 = 25 7 = 0 , 28.
Проверка основным тождеством: 0,96 2 + 0,28 2 = 0,9216 + 0,0784 = 1 0{,}96^2+0{,}28^2=0{,}9216+0{,}0784=1 0 , 9 6 2 + 0 , 2 8 2 = 0 , 9216 + 0 , 0784 = 1
! Где обычно теряют задачуРаскрывают скобки «как в алгебре»: sin ( α + β ) ≠ sin α + sin β \sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta sin ( α + β ) = sin α + sin β cos 2 α ≠ 2 cos α \cos 2\alpha\ne 2\cos\alpha cos 2 α = 2 cos α
Путают знак у косинуса. В cos ( α + β ) \cos(\alpha+\beta) cos ( α + β ) минус , хотя в аргументе плюс. Быстрая проверка на α = β = 60 ° \alpha=\beta=60° α = β = 60° cos 120 ° = − 1 2 \cos 120°=-\dfrac{1}{2} cos 120° = − 2 1 1 4 − 3 4 = − 1 2 \dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{2} 4 1 − 4 3 = − 2 1 1 4 + 3 4 = 1 \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1 4 1 + 4 3 = 1
Забывают проверить знак результата по четверти. Формулы дают точное число, но если по условию 2 α 2\alpha 2 α cos α \cos\alpha cos α
Пользуются формулой тангенса при tg α tg β = 1 \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta=1 tg α tg β = 1 Тогда знаменатель равен нулю: сумма углов даёт 90 ° + 180 ° k 90°+180°k 90° + 180° k
Проверка понимания
Чему равен cos(α + β)? А. cos α · cos β + sin α · sin βБ. cos α · cos β − sin α · sin βВ. cos α + cos β
Вычисли cos 75 ° \cos 75° cos 75°
Вычисли sin 15 ° \sin 15° sin 15°
Вычисли sin 105 ° \sin 105° sin 105°
Упрости выражение sin 20 ° cos 10 ° + cos 20 ° sin 10 ° \sin 20°\cos 10°+\cos 20°\sin 10° sin 20° cos 10° + cos 20° sin 10°
Упрости выражение cos 40 ° cos 10 ° + sin 40 ° sin 10 ° \cos 40°\cos 10°+\sin 40°\sin 10° cos 40° cos 10° + sin 40° sin 10°
Известно, что sin α = 0,6 \sin\alpha=0{,}6 sin α = 0 , 6 α \alpha α sin 2 α \sin 2\alpha sin 2 α cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α
Известно, что cos α = − 0,8 \cos\alpha=-0{,}8 cos α = − 0 , 8 α \alpha α cos 2 α \cos 2\alpha cos 2 α
Вычисли tg 75 ° \operatorname{tg} 75° tg 75°
Упрости выражение 2 sin 15 ° cos 15 ° 2\sin 15°\cos 15° 2 sin 15° cos 15°
Вычисли cos 2 π 8 − sin 2 π 8 \cos^2\dfrac{\pi}{8}-\sin^2\dfrac{\pi}{8} cos 2 8 π − sin 2 8 π
Ответы и пояснения
cos 75 ° = cos 45 ° cos 30 ° − sin 45 ° sin 30 ° = 6 4 − 2 4 = 6 − 2 4 ≈ 0,259 \cos 75°=\cos 45°\cos 30°-\sin 45°\sin 30°=\dfrac{\sqrt{6}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}259 cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = 4 6 − 4 2 = 4 6 − 2 ≈ 0 , 259 sin 15 ° = sin 45 ° cos 30 ° − cos 45 ° sin 30 ° = 6 − 2 4 ≈ 0,259 \sin 15°=\sin 45°\cos 30°-\cos 45°\sin 30°=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}259 sin 15° = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30° = 4 6 − 2 ≈ 0 , 259 sin 15 ° = cos 75 ° \sin 15°=\cos 75° sin 15° = cos 75° sin 105 ° = sin ( 60 ° + 45 ° ) = 3 2 ⋅ 2 2 + 1 2 ⋅ 2 2 = 6 + 2 4 ≈ 0,966 \sin 105°=\sin(60°+45°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}966 sin 105° = sin ( 60° + 45° ) = 2 3 ⋅ 2 2 + 2 1 ⋅ 2 2 = 4 6 + 2 ≈ 0 , 966 Это синус суммы: sin ( 20 ° + 10 ° ) = sin 30 ° = 1 2 \sin(20°+10°)=\sin 30°=\dfrac{1}{2} sin ( 20° + 10° ) = sin 30° = 2 1
Это косинус разности: cos ( 40 ° − 10 ° ) = cos 30 ° = 3 2 \cos(40°-10°)=\cos 30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2} cos ( 40° − 10° ) = cos 30° = 2 3
cos α = 0,8 \cos\alpha=0{,}8 cos α = 0 , 8 sin 2 α = 2 ⋅ 0,6 ⋅ 0,8 = 0,96 \sin 2\alpha=2\cdot 0{,}6\cdot 0{,}8=0{,}96 sin 2 α = 2 ⋅ 0 , 6 ⋅ 0 , 8 = 0 , 96 cos 2 α = 1 − 2 ⋅ 0,36 = 0,28 \cos 2\alpha=1-2\cdot 0{,}36=0{,}28 cos 2 α = 1 − 2 ⋅ 0 , 36 = 0 , 28 Удобна запись через косинус: cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 ⋅ 0,64 − 1 = 0,28 \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot 0{,}64-1=0{,}28 cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 2 ⋅ 0 , 64 − 1 = 0 , 28
tg 75 ° = tg 45 ° + tg 30 ° 1 − tg 45 ° tg 30 ° = 1 + 3 3 1 − 3 3 = 3 + 3 3 − 3 = ( 3 + 3 ) 2 9 − 3 = 12 + 6 3 6 = 2 + 3 ≈ 3,732 \operatorname{tg} 75°=\dfrac{\operatorname{tg} 45°+\operatorname{tg} 30°}{1-\operatorname{tg} 45°\operatorname{tg} 30°}=\dfrac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\dfrac{(3+\sqrt{3})^2}{9-3}=\dfrac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}\approx 3{,}732 tg 75° = 1 − tg 45° tg 30° tg 45° + tg 30° = 1 − 3 3 1 + 3 3 = 3 − 3 3 + 3 = 9 − 3 ( 3 + 3 ) 2 = 6 12 + 6 3 = 2 + 3 ≈ 3 , 732 Это sin ( 2 ⋅ 15 ° ) = sin 30 ° = 1 2 \sin(2\cdot 15°)=\sin 30°=\dfrac{1}{2} sin ( 2 ⋅ 15° ) = sin 30° = 2 1
Это cos ( 2 ⋅ π 8 ) = cos π 4 = 2 2 \cos\left(2\cdot\dfrac{\pi}{8}\right)=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} cos ( 2 ⋅ 8 π ) = cos 4 π = 2 2
Синус и косинус суммы выражаются через функции слагаемых, но не складываются: sin ( α + β ) ≠ sin α + sin β \sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta sin ( α + β ) = sin α + sin β
У косинуса перемножаются одноимённые функции и знак переворачивается; у синуса — разноимённые, и знак сохраняется.
Формулы двойного угла — это те же формулы при β = α \beta=\alpha β = α
Любую формулу полезно проверять подстановкой табличных углов: одна проверка ловит почти все ошибки в знаках.
Теперь у нас есть всё, чтобы решать уравнения: таблица, тождества и умение узнавать свёрнутые выражения.
← Тождества · Дальше: тригонометрические уравнения →
Закончил урок? Отметь прогресс — регистрация не нужна.
Отметить пройденным 