4.2 Числовые промежутки

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: координатная прямая, сравнение чисел, модуль

«Температура в теплице — от $18$ до $25$ градусов». «Ручная кладь — не тяжелее $10$ кг». «Ребёнку больше $6$ лет, но не больше $14$».

Каждая фраза описывает не одно число, а целое множество чисел. Писать это словами долго и неточно: непонятно, входят ли сами $18$ и $25$. Для таких множеств есть короткая и однозначная запись — числовой промежуток.

◎ После урока ты сможешь

• переводить условие на число в промежуток, неравенство и рисунок
• различать отрезок, интервал, полуинтервал и числовые лучи
• проверять принадлежность числа промежутку с учётом включённости границ
• находить пересечение двух промежутков и распознавать пустой случай

Прогноз до вычислений

1. Чем отличается условие «не больше $25$» от условия «строго меньше $25$»? Назови число, которое подходит под первое и не подходит под второе.
2. Сколько чисел находится между $4{,}9$ и $5$?
3. Есть ли наибольшее число, которое меньше $5$?

Второй и третий вопросы объясняют, почему у промежутков две разные скобки: на прямой нет «соседнего» числа, поэтому граница либо входит, либо нет — третьего не дано.

Эксперимент: собери промежуток

Двигай границы и переключай их включённость. Смотри сразу на три записи одного множества: рисунок, скобки и неравенство.

Лаборатория неравенств

Собери промежуток и прочитай его запись

Меняй границы и их включённость. Следи за тремя записями одного и того же множества: рисунок, скобки, неравенство.

[−2; 5)

Левая граница −2

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Правая граница 5

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Левый конец: включена

[ включена( не включена−∞

Правый конец: не включена

] включена) не включена+∞

↔

[−2; 5) — это полуинтервал.Условие на число: −2 ⩽ x < 5. Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.

↺ Вернуть пример

Определения и таблица записей

∴ Числовой промежуток

Пусть $a<b$. Тогда:

• $[a;\ b]$ — отрезок: $a\leqslant x\leqslant b$, обе границы входят;
• $(a;\ b)$ — интервал: $a<x<b$, ни одна граница не входит;
• $[a;\ b)$ и $(a;\ b]$ — полуинтервалы: входит ровно одна граница;
• $[a;\ +\infty)$ и $(-\infty;\ b]$ — числовые лучи: $x\geqslant a$ и $x\leqslant b$;
• $(a;\ +\infty)$ и $(-\infty;\ b)$ — открытые лучи: $x>a$ и $x<b$;
• $(-\infty;\ +\infty)$ — вся числовая прямая.

Квадратная скобка означает, что граница входит в промежуток, круглая — что не входит. На рисунке им отвечают закрашенная и выколотая точки.

Условие	Промежуток	Как называется
$-2\leqslant x\leqslant 5$	$[-2;\ 5]$	отрезок
$-2<x<5$	$(-2;\ 5)$	интервал
$-2\leqslant x<5$	$[-2;\ 5)$	полуинтервал
$x\geqslant 3$	$[3;\ +\infty)$	числовой луч
$x<7$	$(-\infty;\ 7)$	открытый луч

◆ Бесконечность — не число

Символы $-\infty$ и $+\infty$ не обозначают чисел. Они говорят только одно: с этой стороны промежуток не заканчивается. Поэтому рядом с ними скобка всегда круглая — включать в множество нечего.

Из условия задачи — в промежутокРазбираем вместе

«Рост участника — от $150$ см до $165$ см включительно». Слово «включительно» относится к обеим границам, значит $150\leqslant h\leqslant 165$, и это отрезок $[150;\ 165]$.

«Прибор работает больше $2$ часов, но не дольше $5$». Первая граница строгая, вторая — нет: $2<t\leqslant 5$, то есть полуинтервал $(2;\ 5]$.

«Скидка действует, пока сумма меньше $3000$ рублей». Снизу границы нет, а верхняя граница не входит: $s<3000$, то есть открытый луч $(-\infty;\ 3000)$. Модель, конечно, неполная: отрицательных сумм не бывает, и в реальной задаче добавляют условие $s\geqslant 0$.

Пересечение двух промежутковРазбираем вместе

Найдём общую часть промежутков $[-2;\ 5)$ и $(1;\ 8]$.

Левая граница общей части — самая правая из левых: между $-2$ (входит) и $1$ (не входит) выбираем $1$, и она не входит.

Правая граница — самая левая из правых: между $5$ (не входит) и $8$ (входит) выбираем $5$, и она не входит.

$[-2;\ 5)\ \cap\ (1;\ 8] = (1;\ 5).$

Проверка: число $3$ лежит в обоих исходных промежутках и в ответе; число $0$ лежит только в первом; число $6$ — только во втором.

Проверка понимания

Какому промежутку принадлежит число 5, но не принадлежит число −2?

• А. [−2; 5)
• Б. (−2; 5]
• В. (−5; −2]

! Где чаще всего теряют смысл

Первая ловушка: записать $[3;\ 3]$ и $(3;\ 3)$ как одно и то же. Первое множество состоит ровно из одного числа $3$, второе — пустое: нет чисел, которые одновременно больше и меньше трёх.

Вторая: написать $[-\infty;\ 5]$. Рядом с бесконечностью квадратной скобки не бывает.

Третья: перепутать порядок и записать $[5;\ -2]$. Слева всегда стоит меньшее число; такая запись не задаёт никакого множества.

Практика

1. Запиши промежутком условие $x\leqslant 7$.
2. Запиши промежутком условие $-1<x\leqslant 4$.
3. Прочитай промежуток $[0;\ +\infty)$ неравенством.
4. Принадлежит ли число $-3$ промежутку $(-3;\ 6]$?
5. Принадлежит ли число $6$ промежутку $(-3;\ 6]$?
6. Назови все целые числа промежутка $(-2;\ 3)$.
7. Найди пересечение $[-4;\ 2]$ и $[0;\ 7]$.
8. Найди пересечение $(-\infty;\ 5)$ и $(5;\ +\infty)$.
9. Найди пересечение $[1;\ 6]$ и $(6;\ 9]$.
10. Найди пересечение $(-\infty;\ 3]$ и $[3;\ +\infty)$.
11. Как называется промежуток $[2;\ 9)$?
12. Найди длину отрезка $[-4;\ 2{,}5]$.

Ответы и пояснения

1. $(-\infty;\ 7]$ — открытый слева, включает границу $7$.
2. $(-1;\ 4]$ — полуинтервал.
3. $x\geqslant 0$.
4. Нет: скобка круглая, сама граница $-3$ не входит.
5. Да: скобка квадратная, граница $6$ входит.
6. $-1$, $0$, $1$, $2$. Числа $-2$ и $3$ не входят.
7. $[0;\ 2]$: берём большую из левых границ и меньшую из правых.
8. Пусто: число $5$ не входит ни в один из промежутков, а других общих чисел нет.
9. Пусто: $6$ входит только в первый промежуток, всё остальное не пересекается.
10. Одно число $3$, то есть $[3;\ 3]$: оно входит в оба промежутка.
11. Полуинтервал: одна граница входит, другая нет.
12. $2{,}5-(-4)=6{,}5$.

Итог

• Промежуток — короткая и однозначная запись множества чисел.
• Квадратная скобка включает границу, круглая исключает; у бесконечности скобка всегда круглая.
• Название промежутка определяется тем, сколько границ конечны и сколько из них включено.
• Пересечение находится по правилу «самая правая левая граница и самая левая правая», а совпадение границ надо проверять отдельно.

Пока промежутки нам просто давали. Дальше научимся получать их самостоятельно — сначала разберёмся, что вообще можно делать с обеими частями неравенства.

← Галерея графиков · Дальше: свойства числовых неравенств →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным