4.5 Сумма углов треугольника

7 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: параллельные прямые и углы при секущей, равнобедренный треугольник

Вырежи из бумаги треугольник, оторви два угла и приложи их к третьему — получится развёрнутый угол. Опыт красивый, но это по-прежнему проверка на одном экземпляре и с погрешностью ножниц. Теперь у нас есть инструмент, чтобы доказать это раз и навсегда.

◎ После урока ты сможешь

• доказывать теорему о сумме углов треугольника через параллельную прямую
• находить третий угол и применять следствия теоремы
• выводить формулу суммы углов выпуклого n-угольника разрезанием на треугольники
• доказывать и применять теорему о внешнем угле
• вычислять углы равнобедренного и прямоугольного треугольников

Прогноз до вычислений

Два угла треугольника равны $35°$ и $75°$. Назови третий угол, не пользуясь готовой формулой, а просто прикинув. Затем ответь: может ли существовать треугольник с углами $100°$ и $95°$?

Главная теорема главы

Теорема 9. Сумма углов треугольника равна $180°$.

Дано: $\triangle ABC$.

Доказать: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$.

Доказательство. Через вершину $C$ проведём прямую $m$, параллельную стороне $AB$. Такая прямая существует по признаку параллельности и единственна по аксиоме параллельных.

Прямая $AC$ — секущая для параллельных прямых $m$ и $AB$. Обозначим через $\angle 1$ угол между прямой $m$ и лучом $CA$, лежащий по другую сторону от $AC$, чем угол $A$. Углы $\angle 1$ и $\angle A$ — накрест лежащие, поэтому по теореме 8

$\angle 1 = \angle A.$

Точно так же прямая $BC$ — секущая, и для угла $\angle 2$ между прямой $m$ и лучом $CB$ получаем

$\angle 2 = \angle B.$

Углы $\angle 1$, $\angle C$ и $\angle 2$ вместе составляют развёрнутый угол при вершине $C$ на прямой $m$, значит их сумма равна $180°$:

$\angle 1 + \angle C + \angle 2 = 180°.$

Подставим найденные равенства:

$\angle A + \angle C + \angle B = 180°. \qquad \blacksquare$

От треугольника к любому многоугольнику

Треугольник — не единственная фигура, у которой сумма углов постоянна. Возьми выпуклый четырёхугольник и проведи в нём диагональ: он распадётся на два треугольника, значит сумма его углов равна $2\cdot 180° = 360°$. Пятиугольник разрезается уже на три треугольника. Видна закономерность — осталось её доказать в общем виде.

Следствие теоремы 9. Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180°$.

Дано: выпуклый многоугольник $A_1A_2\ldots A_n$, где $n \geqslant 3$.

Доказать: $\angle A_1 + \angle A_2 + \ldots + \angle A_n = (n-2)\cdot 180°$.

Доказательство. Из вершины $A_1$ проведём диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних с ней вершин $A_2$ и $A_n$. Диагоналей получится $n-3$: это отрезки $A_1A_3$, $A_1A_4$, …, $A_1A_{n-1}$.

Многоугольник выпуклый, поэтому каждая такая диагональ целиком лежит внутри него. Диагонали разрезают многоугольник на треугольники

$A_1A_2A_3, \quad A_1A_3A_4, \quad \ldots, \quad A_1A_{n-1}A_n.$

Треугольников на один больше, чем диагоналей, то есть $(n-3) + 1 = n-2$.

Сложим углы всех этих треугольников. По теореме 9 каждый треугольник даёт $180°$, значит вместе они дают $(n-2)\cdot 180°$.

Теперь проверим, что мы посчитали ровно углы многоугольника — не больше и не меньше. Новых вершин при разрезании не появилось: все вершины треугольников — это вершины многоугольника. Разберём каждую:

• при $A_1$ углы всех $n-2$ треугольников примыкают друг к другу и вместе составляют угол $A_1$;
• при $A_2$ и при $A_n$ есть по одному треугольнику, и его угол совпадает с углом многоугольника;
• при любой другой вершине $A_k$ сходятся ровно два соседних треугольника, и два их угла составляют угол $A_k$.

Значит, сумма углов всех треугольников равна сумме углов многоугольника:

$\angle A_1 + \angle A_2 + \ldots + \angle A_n = (n-2)\cdot 180°. \qquad \blacksquare$

Все шесть вершин чертежа лежат на одной окружности и идут по ней подряд — поэтому шестиугольник действительно выпуклый, а не нарисован «на глаз».

Проверка на знакомых случаях

Формула обязана согласовываться с тем, что мы уже знаем:

Число вершин $n$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$12$
Диагоналей из вершины, $n-3$	$0$	$1$	$2$	$3$	$5$	$9$
Треугольников, $n-2$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$10$
Сумма углов, $(n-2)\cdot 180°$	$180°$	$360°$	$540°$	$720°$	$1080°$	$1800°$

При $n = 3$ диагоналей ноль, треугольник остаётся самим собой, и формула даёт $1 \cdot 180° = 180°$ — теорему 9. При $n = 4$ получаем $2 \cdot 180° = 360°$: тот самый четырёхугольник с одной диагональю. При $n = 5$ выходит $3 \cdot 180° = 540°$.

∴ Угол правильного многоугольника

Многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Тогда вся сумма углов делится поровну между $n$ вершинами:

$\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot 180°}{n}.$

Для шестиугольника: $\alpha_6 = \dfrac{4 \cdot 180°}{6} = \dfrac{720°}{6} = 120°$.

Для квадрата формула даёт $\dfrac{2\cdot 180°}{4} = 90°$, для правильного треугольника — $\dfrac{180°}{3} = 60°$. Оба ответа известны заранее, и это хорошая проверка формулы.

! Куда здесь легко упасть

Умножают на $n$ вместо $n-2$. Тогда у четырёхугольника вышло бы $720°$ — но квадрат состоит из четырёх прямых углов, а это $360°$.

Путают сумму углов с одним углом. У правильного восьмиугольника сумма равна $1080°$, а сам угол — $135°$. Угол выпуклого многоугольника всегда меньше $180°$: если получилось больше, забыли поделить на $n$.

Эту формулу мы ещё встретим: на ней держатся правильные многоугольники и паркеты. А сейчас вернёмся к треугольнику — у теоремы 9 есть и другие прямые следствия.

Что из этого следует

∴ Четыре следствия

1. В любом треугольнике хотя бы два угла острые. Иначе два угла были бы не меньше $90°$ каждый, и на третий угол не осталось бы ни одного градуса.

2. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90°$, ведь $180° - 90° = 90°$.

3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен $60°$: три равных угла дают $3\alpha = 180°$.

4. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $\alpha$ каждый угол при основании равен $\beta = \frac{180° - \alpha}{2}.$

Следствие 4 закрывает долг из урока 4.3: там мы знали только, что углы при основании равны, а теперь можем их вычислить.

Лаборатория доказательств

Треугольник, у которого нет свободы

Каждая длина и каждый угол на чертеже вычислены из введённых данных, а не подогнаны на глаз.

задача

Треугольник по даннымРавнобедренныйСумма углов и внешний угол

Угол при вершине C40°

−+

Чётные значения от 20° до 150°

Искомый угол, °Проверить

?

Угол при вершине равен 40°. Найди угол при основании.Углы при основании равны между собой, а все три угла дают в сумме 180°.

↺ Вернуть пример

Внешний угол

∴ Определение

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине.

При каждой вершине есть два внешних угла — они вертикальны и потому равны.

Теорема 10. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано: $\triangle ABC$, сторона $AC$ продолжена за вершину $C$ до точки $D$.

Доказать: $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

Доказательство. Углы $\angle BCD$ и $\angle ACB$ смежные, поэтому по теореме 1

$\angle BCD = 180° - \angle C.$

По теореме 9 сумма всех углов треугольника равна $180°$, значит

$\angle A + \angle B = 180° - \angle C.$

Правые части равны, значит равны и левые: $\angle BCD = \angle A + \angle B$. $\blacksquare$

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из двух внутренних углов, не смежных с ним: к каждому из них прибавляется положительное число.

Управляемый эксперимент

Меняй два угла, выбирай вопрос и проверяй ответ до того, как чертёж его покажет.

Лаборатория доказательств

Треугольник, у которого нет свободы

Каждая длина и каждый угол на чертеже вычислены из введённых данных, а не подогнаны на глаз.

задача

Треугольник по даннымРавнобедренныйСумма углов и внешний угол

Угол A50°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Угол B70°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Найти третий угол CНайти внешний угол при вершине C

Искомый угол, °Проверить

?

Даны ∠A = 50° и ∠B = 70°. Найди третий угол C.Одна теорема про сумму трёх углов, другая — про внешний угол. Реши, какая нужна.

↺ Вернуть пример

Углы в отношенииРазбираем вместе

Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Найдём их.

Пусть углы равны $2x$, $3x$ и $4x$. По теореме 9

$2x + 3x + 4x = 180°, \qquad 9x = 180°, \qquad x = 20°.$

Углы равны $40°$, $60°$ и $80°$.

Проверка: $40° + 60° + 80° = 180°$, а отношение $40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4$. $\blacksquare$

Работаем через внешний уголРазбираем вместе

Внешний угол треугольника при вершине $C$ равен $130°$, а $\angle A = 55°$. Найдём $\angle B$ и $\angle C$.

По теореме 10 внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних:

$\angle A + \angle B = 130°, \qquad \angle B = 130° - 55° = 75°.$

Внутренний угол при $C$ смежен с внешним:

$\angle C = 180° - 130° = 50°.$

Проверка по теореме 9: $55° + 75° + 50° = 180°$. Сходится. $\blacksquare$

Проверка понимания

Два угла треугольника равны 65° и 80°. Чему равен внешний угол при третьей вершине?

• А. 145°
• Б. 35°
• В. 100°

! Три частые ошибки

«Внешний угол равен сумме всех внутренних». Только двух — тех, что не смежны с ним. Третий внутренний угол как раз смежен с внешним.

«Раз сумма углов $180°$, то у треугольника может быть два прямых угла». Тогда на третий угол осталось бы $0°$, а по аксиоме A2 угол имеет положительную меру.

«Углы при основании равны половине угла при вершине». Правильно наоборот: $\beta = \dfrac{180° - \alpha}{2}$. Проверь на равностороннем: при $\alpha = 60°$ получается $\beta = 60°$.

Практика

1. Два угла треугольника равны $35°$ и $75°$. Найди третий.
2. Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Найди их.
3. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $28°$. Найди второй.
4. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $96°$. Найди углы при основании.
5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен $37°$. Найди угол при вершине.
6. Внешний угол треугольника при вершине $C$ равен $115°$. Найди $\angle C$.
7. Внешний угол при вершине $C$ равен $130°$, а $\angle A = 55°$. Найди $\angle B$ и $\angle C$.
8. Сумма двух углов треугольника равна $100°$. Найди внешний угол при третьей вершине.
9. Проведи в выпуклом четырёхугольнике диагональ и найди сумму его углов.
10. Найди сумму внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине.
11. Найди сумму углов выпуклого восьмиугольника, а затем угол правильного восьмиугольника.
12. Сумма углов выпуклого многоугольника равна $1440°$. Сколько у него сторон?

Ответы и пояснения

1. $180° - 35° - 75° = 70°$.
2. $9x = 180°$, $x = 20°$; углы $40°$, $60°$, $80°$.
3. $90° - 28° = 62°$.
4. $(180° - 96°) : 2 = 42°$; оба угла при основании по $42°$.
5. Углы при основании равны, поэтому угол при вершине равен $180° - 2\cdot 37° = 106°$.
6. $\angle C = 180° - 115° = 65°$.
7. $\angle B = 130° - 55° = 75°$, $\angle C = 180° - 130° = 50°$. Проверка: $55° + 75° + 50° = 180°$.
8. Третий угол равен $180° - 100° = 80°$, внешний при нём равен $180° - 80° = 100°$. Тот же ответ даёт теорема 10: внешний угол равен сумме двух других, то есть $100°$.
9. Диагональ делит четырёхугольник на два треугольника, поэтому сумма углов равна $2 \cdot 180° = 360°$.
10. Каждый внешний угол равен $180°$ минус соответствующий внутренний, поэтому сумма равна $3 \cdot 180° - 180° = 360°$.
11. Диагонали из одной вершины режут восьмиугольник на $8 - 2 = 6$ треугольников, поэтому сумма углов равна $6 \cdot 180° = 1080°$. У правильного восьмиугольника все восемь углов равны, значит каждый равен $\dfrac{1080°}{8} = 135°$. Проверка: $135° < 180°$, как и положено углу выпуклого многоугольника.
12. $(n-2)\cdot 180° = 1440°$, откуда $n - 2 = \dfrac{1440}{180} = 8$ и $n = 10$. Проверка: $(10-2)\cdot 180° = 1440°$. Это десятиугольник.

Итог

• Сумма углов треугольника равна $180°$; доказательство опирается на прямую, параллельную стороне, и на равенство накрест лежащих углов.
• Отсюда: хотя бы два угла острые, острые углы прямоугольного треугольника дают $90°$, каждый угол равностороннего равен $60°$.
• Диагонали из одной вершины режут выпуклый $n$-угольник на $n-2$ треугольника, поэтому сумма его углов равна $(n-2)\cdot 180°$, а угол правильного $n$-угольника — $\dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, и потому больше каждого из них.
• Теперь любой угол равнобедренного треугольника вычисляется по одному известному.

Осталось научиться собирать эти теоремы в цепочки — этим займёмся в практикуме.

← Параллельные прямые · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным